第五节 宇宙航行
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第五节 宇宙航行
理解领悟
本节涉及万有引力理论的实践成就——航天事业的发展。三个宇宙速度的计算和人造卫星、宇宙飞船的运行，是本节教材的重点。
1. 三个宇宙速度
1 第一宇宙速度：我们知道，从某一高度以不同的初速度将物体水平抛出，初速度越大，物体落地越远。当平抛运动的初速度很大时，物体的运动区域就不能简单地视为平面，而是球面的一部分，如教材图7.5-1所示。如果速度足够大，物体就不再落回地面，成为一颗人造地球卫星。
第一宇宙速度也叫做地面附近的环绕速度，是卫星在地面附近环绕地球运行的速度，是卫星的最大的轨道速度。根据 ，
可得第一宇宙速度
。
第一宇宙速度也可根据 ，
求得 。
2 第二宇宙速度：第二宇宙速度也叫做地面附近的逃逸速度，是使物体挣脱地球引力束缚的最小速度，其大小为11.2km/s。
3 第三宇宙速度：第三宇宙速度是使物体挣脱太阳引力束缚的最小速度，其大小为16.7km/s。
2. 人造地球卫星
1 运行速度：设离地面高度为h的人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的运行速度为v，地球半径为R，地球质量为M，则由
可得 。
可见，，h越大，v越小。
2 角速度：由 ，
可得人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的角速度
。
此式也可由和求得。可见，，h越大，ω越小。
3 周期：由 ，
可得人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的周期
。
此式也可由和求得，或由和求得。可见，，h越大，T越大。
4 超重与失重：人造地球卫星在发射升空时，有一段加速上升的过程；当人造地球卫星返回地面时，有一段减速下降的过程。在这两个过程中，卫星均处于超重状态。人造地球卫星在沿轨道运行时，万有引力提供向心力，卫星处于完全失重状态。
3. 同步卫星
1 周期：相对于地面静止的、跟地球自转同步的人造卫星叫做地球同步卫星，它的主要用途是通讯，又称通讯卫星。因此，同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，即T=24h。
2 离地高度：设同步卫星的离地高度为h，由万有引力定律
，
可得
≈3.6×104km。
我们也可运用开普勒第三定律来求h。用R ’表示月球的轨道半径，T ’表示月球的公转周期，由 ，
可得 ≈3.6×104km。
3 运行速度：同步卫星绕地球做匀速圆周运动的运行速度为
。
4. 宇宙飞船
宇宙飞船在载人航天史上有着不可磨灭的功绩，它使人类实现了千百年的登天梦想。由于它在技术上较其他载人航天器易于实现，所需投资较少，研制周期也短，因而首先拉开了载人航天的帷幕。
人类通过飞船突破并掌握了载人航天的基本技术，使人类千百年来的上天梦想得以实现。在送人上太空后，宇宙飞船被用于对地观测、航天员出舱作业和生物学研究等多种科学研究和各项航天技术试验，取得了巨大的成果。
宇宙飞船最重要的用途之一就是为空间站和月球基地等接送航天员和物资，且费用较航天飞机低许多。目前在轨的“国际空间站”和以前的和平号空间站、礼炮号系列空间站以及美国“天空实验室”空间站，都是用宇宙飞船作为天地往返交通工具的，立下了许多汗马功劳。苏联联盟15号飞船，曾在礼炮7号空间站与和平号空间站间来回飞行并对接，成为世界第1辆太空“公共汽车”。
5. 黑洞
可以证明，逃逸速度是环绕速度的倍，即（参阅本“理解领悟”12）。可见，天体的质量越大、半径越小，逃逸速度就越大。当脱离速度达到光速c时，即使该天体确实在发光，光也不能进入太空，这种天体称为黑洞。对于一个质量为M的球状物体，当其半径不大于时，即是一个黑洞。
在本节的“科学漫步”栏目里，介绍了黑洞概念的起源、人们对它的种种猜测、几代科学家对于黑洞的理论研究，以及黑洞的最新研究和观测结果，并明确指出在黑洞问题上经典力学不适用。这给我们打开了一扇窗口，引导我们向窗外的世界望一望，开阔眼界，启迪思维，可以加深对本章知识达到理解。
6. 航天事业与人类生活
人们常常认为航天事业是一项高精尖的事业，与自己相去甚远。其实，它正在改变着我们的日常生活。在本节的“STS”栏目里，着重展示了航天事业与人类生活的关系。
例如：卫星通信的发展，使人们通过卫星实现了越洋通话；通过卫星广播，实时收看世界各地发来的电视新闻，已经成了人们基本生活的一部分；全球气象卫星观测系统的形成，为天气预报提供了全面、及时的气象资料；卫星引起了船舶、飞机导航技术的重大变化，甚至出租车也可利用全球卫星定位系统进行自动导航；等等。
总之，航天事业的发展给人们带来了先进技术和无尽资源，已成为推动社会发展的强大动力。
7. 同步卫星的发射
怎样把卫星发射到同步轨道上去呢？有两种方法。
一种是直线发射，由火箭把卫星发射到3600km的赤道上空，然后做90°的转折飞行，使卫星进入轨道。
另一种方法是变轨发射。即先把卫星发射到高度约为200km~300km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道。当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空3600km处，这条轨道叫转移轨道。当卫星到达远地点时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。
第一种发射方法，在整个发射过程中，火箭都处于动力飞行状态，要消耗大量燃料，还必须在赤道上设置发射场，有一定的局限性。第二种发射方法，运载火箭消耗的燃料较少，发射场的位置也不受限制。目前各国发射同步卫星都用第二种方法。但这种方法在操作和控制上都比较复杂。
8. 神州五号飞天全过程
我国第一艘载人宇宙飞船神州五号的飞天，经历了以下过程：
射前准备：整体垂直运到脐带塔进行最后功能检查；
火箭发射：火箭一级发动机及4个助推器同时点火；
程序转弯：升空数秒后，程序拐弯，飞向预定方向；
船箭分离：抛逃逸塔，火箭一、二级分离，整流罩分离；
入轨：建立轨道运行姿态，展开电池帆板并定向；
接受发射信息：当进入海陆测控区时，设备发射遥测信息；
陆海基测控：陆海基测控网对飞船跟踪、测量和控制；
准备返回：注入返回参数,下降，分离；
进入黑障区：姿态调整，再入大气层，通信短暂中断；
返回：约10km高时，抛撒舱盖，拉出引导伞和辅助引导伞，抛返回舱返回大地；
缓冲：离地面约1m左右高度时，着陆缓冲发动机工作；
着陆：截断主伞，抛天线罩，发射信标信号，等待回收。
9. 两个向心加速度的区别
物体随地球自转的向心加速度和卫星环绕地球运行的向心加速度，是两个不同的概念，必须加以区别，不可混淆。
放于地面上的物体随地球自转所需的向心力，是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力，完全由地球对其的引力提供。两个向心力的数值相差很多，如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034N，而它所受地球的引力仍为9.8N。
对应的两个向心加速度的计算方法也不同。物体随地球自转的向心加速度，式中T为地球自转周期，R为地球半径；卫星绕地球运行的向心加速度，式中M为地球质量，r为卫星绕地球运动的轨道半径。
10. 卫星的环绕速度与发射速度
对于人造地球卫星，由得，该速度指的是人造地球卫星在轨道上运行的环绕速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射时要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度便越大。靠运载火箭发射人造地球卫星时，需将卫星运载到一定的高度，达到一定的速度，然后通过过渡轨道（椭圆）再进入预定的圆形轨道，因此实际上没有一个确定的发射速度。
11. 平抛运动和人造卫星的运动
在地球表面附近以较小的水平速度平抛物体时，由于物体受到的重力大于物体做圆周运动的向心力，mg＞，所以物体将落回地面，不可能绕地球做圆周运动，并且平抛的速度越大，物体落地时 的水平位移也越大。
当平抛的速度达到某一数值时，物体受到的重力刚好等于物体环绕地球做圆周运动的向心力，mg=，物体将环绕地球做匀速圆周运动，此速度为（式中r≥）。
当平抛的速度大于时，物体所需的向心力大于重力，故物体将做离心运动，此时物体的运动轨迹是椭圆。若速度大于第二宇宙速度，物体将脱离地球的引力作用而不可能返回。
1. 第二、第三宇宙速度的推导
① 推导第二宇宙速度：若取无穷远处为引力势能的零点，则地球上的物体所具有的引力势能为
(式中M、m分别表示地球和物体的质量，R表示地球半径)。
要使物体克服地球引力的控制，必须使物体具有的动能Ek满足Ek＋Ep=0，即
。
所以，第二宇宙速度
。
② 推导第三宇宙速度：地球以约30km/s的速度绕太阳运动，地球上的物体也随着地球以这个速度绕太阳运动。正像物体挣脱地球引力所需的最小速度等于它绕地球运动的速度的倍那样，物体克服太阳引力的束缚所需的最小速度应等于它绕太阳运动的速度的倍，即。由于物体已有绕太阳运动的速度30km/s，所以只要使它沿地球运动轨道方向增加12.4km/s的速度就行。但要物体获得这个速度，首先必须使它挣脱地球引力的作用。因此，除了给予物体的动能外（其中m表示物体的质量，v表示增加的速度12.4km/s），还需给予它的动能（v2表示第二宇宙速度）。
用v3表示第三宇宙速度（以地球为参考系），则物体应具有的动能为
。
所以， 。
应用链接
本节知识的应用主要涉及三个宇宙速度的理解与计算，涉及人造地球卫星轨道半径、运行速度、运转周期等物理量的分析与计算，也涉及航天飞机、黑洞等的分析计算。
例1 假如一个做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）
A. 根据公式，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B. 根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C. 根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D. 根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
提示 分清问题中的变量和不变量，灵活运用有关公式进行讨论。
解析 根据公式，其中G、M、m为定值，可得。现r增大到原来的2倍，所以F减小到原来的，选项C正确。
根据公式和，可得，其中G、M为定值，可得。现r增大到原来的2倍，所以v减小到原来的，选项D正确。
因为式中的ω和v并非定值，选项A、B不正确。
正确选项为C、D。
点悟 分清问题中的变量和不变量，灵活运用有关公式进行讨论，是正确解决这类问题的关键。有人会问：卫星的轨道半径增大，线速度反而减小，那不是说卫星的轨道半径越大越容易发射吗？这里，应将卫星的“环绕速度”和“发射速度”区分开来。事实上，卫星的轨道半径越大，它的势能越大，发射过程中必须对它做更多的功，即提高发射速度。有人对卫星在运行过程中受到阻力而在半径较小的轨道上继续做圆周运动时，其线速度反而增大想不通。其实，在卫星减小其轨道半径的过程中，卫星势能减小，一部分消耗在克服阻力做功之中，其余则转化成了卫星的动能。
例2 2003年10月15日北京时间9时整，我国“神舟”五号飞船载着我国首位太空人杨利伟在酒泉卫星发射中心发射升空，10min后“神舟”五号飞船准确进入预定轨道。在北京航天指挥控制中心的调度下，我国陆海空航天测控网对飞船进行了持续的跟踪、测量与控制，截至10月16日零点，“神舟”五号载人飞船已按预定轨道(视为圆轨道)环绕地球10圈。若地球质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据资料可估算出“神舟”五号飞船的
A．离地高度 B．环绕速度 C．发射速度 D．向心力
提示 万有引力提供向心力。
解析 由飞船环绕地球10圈的时间，可算得飞船的运行周期T。由
，
可得飞船离地高度h。
由，可得飞船环绕速度v。
由于不知道飞船燃料耗尽时的高度，也不知道飞船燃料耗尽到进入预定轨道的过程中因克服空气阻力做功所消耗的能量，故无法求出飞船的发射速度。飞船进入预定轨道后的向心力，因飞船质量m未知，故F也无法求出。
正确选项为A、B。
点悟 这是一道密切联系科研实际的物理题。分清发射速度和环绕速度，应用相关的物理公式，方能对各选项作出正确判断。
例3 航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果.探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时
A. 探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B. 探测器运行的轨道半径将变大
C. 探测器飞行的速率将变大
D. 探测器飞行的速率将变小
提示 质量分布不均匀的球体，不能将其球心到探测器的距离作为万有引力公式中的r。
解析 由可知，探测器飞越质量密集区域时，R 减小，F增大。由可知，R 减小，v增大。
正确选项为A、C。
点悟 万有引力公式中的r是两质点间的距离，也可是两质量均匀分布的球的球心之间的距离。对于质量非均匀分布的球体，计算万有引力时，要注意r的变化。
例4 1990年3月，紫金山天文台将该台发现的2752号小行星命名为“吴健雄星”，将其看作球形，直径约为32km，密度与地球的密度相近。若在此小行星上发射一颗卫星绕它的表面附近旋转，求该卫星的环绕速度（取地球半径为6400km，且已知地球卫星的环绕速度v1=7.9km/s）。
提示 “吴健雄星”的卫星所需的向心力当然就是“吴健雄星”对其卫星的万有引力，即有。由此可求出它的卫星的环绕速度。但是“吴健雄星”的质量是未知的，直接计算环绕速度是困难的。怎么办呢？注意到题目中的一句关键语，即“吴健雄星”的密度与地球的密度相近，应用密度公式可得“吴健雄星”与地球之间的质量之比和半径之比达到关系，。并根据与地球卫星的环绕速度的关系去求出结果来。
解析 根据题意，“吴健雄星”的密度与地球的密度相近，由密度公式得 ，
即 。
故“吴健雄星”的卫星的环绕速度为
。
点悟 审题是解题的首要与关键，不轻易放过题目中的每一句话的意思也是解题中的至重。例如，本题中“吴健雄星”的“密度与地球的密度相近”，括号中“取地球半径为6400km，且已知地球卫星的环绕速度v1=7.9km/s”等，都在解题中起到关键作用。认真审题，理解题目中的每一句话，抓住关键语等，应成为我们养成良好解题习惯中的重要组成部分。
例5 用m表示地球通信卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是（ ）
A. 等于0 B. 等于
C. 等于 D. 以上结果均不对
提示 根据黄金代换及万有引力定律、求解，可得万有引力的几种表达式。
解析 根据万有引力定律，有 。
又因为 ，
所以 。
地球对通信卫星的万有引力为卫星的向心力，所以
，。
又因为 ，
所以有 。
从而， 。
正确选项为B、C。
点悟 根据地面附近的万有引力近似等于重力，即，可得。这个代换式非常重要，在关于人造地球卫星的计算中会经常应用这个代换，所以称之为“黄金代换”。
例6 德国科学家用口径为3.5m的天文望远镜，对猎户座中位于银河与系中心附近的星体进行了近6年的观察，发现了与银河系中心距离r=6.0×109km的星体，正以v=2.0×103km/s的速度围绕银河系中心旋转，据此提出银河系中心可能存在一个大黑洞。黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至包括光在内的所有物质都逃脱不了其引力的作用。当黑洞表面的物体速度达到光速c时才能恰好围绕其表面做匀速圆周运动。
(1) 试写出计算黑洞半径的表达式（用r、v、c表示）；
(2) 由已知数据估算该黑洞的半径值。
提示 比较距离银河系中心r=6.0×109km的星体和黑洞表面物体的运动，设法将黑洞的质量M消去。
解析 (1) 根据与银河系中心距离r=6.0×109km的星体，以v=2.0×103km/s的速度围绕银河系中心旋转，可得
（式中m为星体的质量，M为黑洞的质量）。
设质量为m’的物体绕黑洞表面做匀速圆周运动，则有
。
联列上述两式，即可求出黑洞的半径。
(2) 代入数据得黑洞的半径
6.0×109km≈2.7×105km。
点悟 黑洞的质量非常大而体积半径小，由密度十分巨大的物质组成。由于其巨大的引力，任何物质都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出，由此我们无法直接观察到黑洞，但是科学家仍然可以根据黑洞对星体的引力来研究黑洞。关于黑洞是否存在及黑洞的研究，现在已经成为一门理论即黑洞理论。有兴趣的同学可以关注这一理论的进展。
想想看：本题的处理方法和教材中关于黑洞的计算有什么区别？本题的处理方法是由黑洞表面物体的环绕速度达到光速c进行分析；教材中关于黑洞的计算是利用黑洞的逃逸速度超过光速c进行分析，两者结果虽有差别，但数量级是相同的。
【反馈练习】
1、月球质量是把地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8，在距月球表面14m高处，有一质量m=60kg的物体自由下落．
（1）它落到月球表面需要多少时间？
（2）它在月球上的重力和质量跟在地球上是否相同？（已知地球表面的重力加速度）
2、根据你所掌握的地球的半径R，地球表面处的重力加速度g和引力常量G的值，估算一下地球的质量M多大？
3、把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为km，已知万有引力常量，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字）
4、宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G 。求该星球的质量M。
5、1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。根据你学过的知识，能否知道地球平均密度的大小。
6、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
7、如图所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为l，万有引力常量为G，求：
（1）双星转动的中心位置；
（2）转动周期。
8、地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（ ）
A. a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C. a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
9、如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后在轨道的Q点“点火”使卫星沿椭圆轨道2运行，当它经过椭圆轨道的远地点P时，再次“点火”将卫星送入同步轨道3。卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时（即不包括“点火”过程），下面的判断正确的是（ ）
A. 卫星轨道3上运行时的速率大于在轨道1上运行时的速率
B. 卫星轨道3上运行时的角速度小于在轨道1上运行时的角速度
C. 卫星轨道1上运行经过Q时的加速度等于在轨道2上运行经过Q点时的加速度
D. 卫星轨道2上运行经过Q时的加速度等于在轨道2上运行经过P点时的加速度
10、图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
11、侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。
12、某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
13、如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为 g，O为地球中心。
（1）求卫星B的运行周期
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？
14、2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。据报道，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.67×10－11牛·米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留1位有效数学）
15、地球质量为M，半径为R，自转角速度为。万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？
16、英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为
A． B． C． D．
17、 1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Planck学会的一个研究组宣布了他们的研究成果：银河系的中心可能存在大黑洞，他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。他们发现，距离银河系中约60亿千米的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面数据，试在经典力学的范围内（见提示2）通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少？（引力常数是G＝6.67×10－20km3·kg－1s－2 ）
理解领悟
本节涉及万有引力理论的实践成就——航天事业的发展。三个宇宙速度的计算和人造卫星、宇宙飞船的运行，是本节教材的重点。
1. 三个宇宙速度
1 第一宇宙速度：我们知道，从某一高度以不同的初速度将物体水平抛出，初速度越大，物体落地越远。当平抛运动的初速度很大时，物体的运动区域就不能简单地视为平面，而是球面的一部分，如教材图7.5-1所示。如果速度足够大，物体就不再落回地面，成为一颗人造地球卫星。
第一宇宙速度也叫做地面附近的环绕速度，是卫星在地面附近环绕地球运行的速度，是卫星的最大的轨道速度。根据 ，
可得第一宇宙速度
。
第一宇宙速度也可根据 ，
求得 。
2 第二宇宙速度：第二宇宙速度也叫做地面附近的逃逸速度，是使物体挣脱地球引力束缚的最小速度，其大小为11.2km/s。
3 第三宇宙速度：第三宇宙速度是使物体挣脱太阳引力束缚的最小速度，其大小为16.7km/s。
2. 人造地球卫星
1 运行速度：设离地面高度为h的人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的运行速度为v，地球半径为R，地球质量为M，则由
可得 。
可见，，h越大，v越小。
2 角速度：由 ，
可得人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的角速度
。
此式也可由和求得。可见，，h越大，ω越小。
3 周期：由 ，
可得人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的周期
。
此式也可由和求得，或由和求得。可见，，h越大，T越大。
4 超重与失重：人造地球卫星在发射升空时，有一段加速上升的过程；当人造地球卫星返回地面时，有一段减速下降的过程。在这两个过程中，卫星均处于超重状态。人造地球卫星在沿轨道运行时，万有引力提供向心力，卫星处于完全失重状态。
3. 同步卫星
1 周期：相对于地面静止的、跟地球自转同步的人造卫星叫做地球同步卫星，它的主要用途是通讯，又称通讯卫星。因此，同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，即T=24h。
2 离地高度：设同步卫星的离地高度为h，由万有引力定律
，
可得
≈3.6×104km。
我们也可运用开普勒第三定律来求h。用R ’表示月球的轨道半径，T ’表示月球的公转周期，由 ，
可得 ≈3.6×104km。
3 运行速度：同步卫星绕地球做匀速圆周运动的运行速度为
。
4. 宇宙飞船
宇宙飞船在载人航天史上有着不可磨灭的功绩，它使人类实现了千百年的登天梦想。由于它在技术上较其他载人航天器易于实现，所需投资较少，研制周期也短，因而首先拉开了载人航天的帷幕。
人类通过飞船突破并掌握了载人航天的基本技术，使人类千百年来的上天梦想得以实现。在送人上太空后，宇宙飞船被用于对地观测、航天员出舱作业和生物学研究等多种科学研究和各项航天技术试验，取得了巨大的成果。
宇宙飞船最重要的用途之一就是为空间站和月球基地等接送航天员和物资，且费用较航天飞机低许多。目前在轨的“国际空间站”和以前的和平号空间站、礼炮号系列空间站以及美国“天空实验室”空间站，都是用宇宙飞船作为天地往返交通工具的，立下了许多汗马功劳。苏联联盟15号飞船，曾在礼炮7号空间站与和平号空间站间来回飞行并对接，成为世界第1辆太空“公共汽车”。
5. 黑洞
可以证明，逃逸速度是环绕速度的倍，即（参阅本“理解领悟”12）。可见，天体的质量越大、半径越小，逃逸速度就越大。当脱离速度达到光速c时，即使该天体确实在发光，光也不能进入太空，这种天体称为黑洞。对于一个质量为M的球状物体，当其半径不大于时，即是一个黑洞。
在本节的“科学漫步”栏目里，介绍了黑洞概念的起源、人们对它的种种猜测、几代科学家对于黑洞的理论研究，以及黑洞的最新研究和观测结果，并明确指出在黑洞问题上经典力学不适用。这给我们打开了一扇窗口，引导我们向窗外的世界望一望，开阔眼界，启迪思维，可以加深对本章知识达到理解。
6. 航天事业与人类生活
人们常常认为航天事业是一项高精尖的事业，与自己相去甚远。其实，它正在改变着我们的日常生活。在本节的“STS”栏目里，着重展示了航天事业与人类生活的关系。
例如：卫星通信的发展，使人们通过卫星实现了越洋通话；通过卫星广播，实时收看世界各地发来的电视新闻，已经成了人们基本生活的一部分；全球气象卫星观测系统的形成，为天气预报提供了全面、及时的气象资料；卫星引起了船舶、飞机导航技术的重大变化，甚至出租车也可利用全球卫星定位系统进行自动导航；等等。
总之，航天事业的发展给人们带来了先进技术和无尽资源，已成为推动社会发展的强大动力。
7. 同步卫星的发射
怎样把卫星发射到同步轨道上去呢？有两种方法。
一种是直线发射，由火箭把卫星发射到3600km的赤道上空，然后做90°的转折飞行，使卫星进入轨道。
另一种方法是变轨发射。即先把卫星发射到高度约为200km~300km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道。当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空3600km处，这条轨道叫转移轨道。当卫星到达远地点时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。
第一种发射方法，在整个发射过程中，火箭都处于动力飞行状态，要消耗大量燃料，还必须在赤道上设置发射场，有一定的局限性。第二种发射方法，运载火箭消耗的燃料较少，发射场的位置也不受限制。目前各国发射同步卫星都用第二种方法。但这种方法在操作和控制上都比较复杂。
8. 神州五号飞天全过程
我国第一艘载人宇宙飞船神州五号的飞天，经历了以下过程：
射前准备：整体垂直运到脐带塔进行最后功能检查；
火箭发射：火箭一级发动机及4个助推器同时点火；
程序转弯：升空数秒后，程序拐弯，飞向预定方向；
船箭分离：抛逃逸塔，火箭一、二级分离，整流罩分离；
入轨：建立轨道运行姿态，展开电池帆板并定向；
接受发射信息：当进入海陆测控区时，设备发射遥测信息；
陆海基测控：陆海基测控网对飞船跟踪、测量和控制；
准备返回：注入返回参数,下降，分离；
进入黑障区：姿态调整，再入大气层，通信短暂中断；
返回：约10km高时，抛撒舱盖，拉出引导伞和辅助引导伞，抛返回舱返回大地；
缓冲：离地面约1m左右高度时，着陆缓冲发动机工作；
着陆：截断主伞，抛天线罩，发射信标信号，等待回收。
9. 两个向心加速度的区别
物体随地球自转的向心加速度和卫星环绕地球运行的向心加速度，是两个不同的概念，必须加以区别，不可混淆。
放于地面上的物体随地球自转所需的向心力，是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力，完全由地球对其的引力提供。两个向心力的数值相差很多，如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034N，而它所受地球的引力仍为9.8N。
对应的两个向心加速度的计算方法也不同。物体随地球自转的向心加速度，式中T为地球自转周期，R为地球半径；卫星绕地球运行的向心加速度，式中M为地球质量，r为卫星绕地球运动的轨道半径。
10. 卫星的环绕速度与发射速度
对于人造地球卫星，由得，该速度指的是人造地球卫星在轨道上运行的环绕速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射时要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度便越大。靠运载火箭发射人造地球卫星时，需将卫星运载到一定的高度，达到一定的速度，然后通过过渡轨道（椭圆）再进入预定的圆形轨道，因此实际上没有一个确定的发射速度。
11. 平抛运动和人造卫星的运动
在地球表面附近以较小的水平速度平抛物体时，由于物体受到的重力大于物体做圆周运动的向心力，mg＞，所以物体将落回地面，不可能绕地球做圆周运动，并且平抛的速度越大，物体落地时 的水平位移也越大。
当平抛的速度达到某一数值时，物体受到的重力刚好等于物体环绕地球做圆周运动的向心力，mg=，物体将环绕地球做匀速圆周运动，此速度为（式中r≥）。
当平抛的速度大于时，物体所需的向心力大于重力，故物体将做离心运动，此时物体的运动轨迹是椭圆。若速度大于第二宇宙速度，物体将脱离地球的引力作用而不可能返回。
1. 第二、第三宇宙速度的推导
① 推导第二宇宙速度：若取无穷远处为引力势能的零点，则地球上的物体所具有的引力势能为
(式中M、m分别表示地球和物体的质量，R表示地球半径)。
要使物体克服地球引力的控制，必须使物体具有的动能Ek满足Ek＋Ep=0，即
。
所以，第二宇宙速度
。
② 推导第三宇宙速度：地球以约30km/s的速度绕太阳运动，地球上的物体也随着地球以这个速度绕太阳运动。正像物体挣脱地球引力所需的最小速度等于它绕地球运动的速度的倍那样，物体克服太阳引力的束缚所需的最小速度应等于它绕太阳运动的速度的倍，即。由于物体已有绕太阳运动的速度30km/s，所以只要使它沿地球运动轨道方向增加12.4km/s的速度就行。但要物体获得这个速度，首先必须使它挣脱地球引力的作用。因此，除了给予物体的动能外（其中m表示物体的质量，v表示增加的速度12.4km/s），还需给予它的动能（v2表示第二宇宙速度）。
用v3表示第三宇宙速度（以地球为参考系），则物体应具有的动能为
。
所以， 。
应用链接
本节知识的应用主要涉及三个宇宙速度的理解与计算，涉及人造地球卫星轨道半径、运行速度、运转周期等物理量的分析与计算，也涉及航天飞机、黑洞等的分析计算。
例1 假如一个做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）
A. 根据公式，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B. 根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C. 根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D. 根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
提示 分清问题中的变量和不变量，灵活运用有关公式进行讨论。
解析 根据公式，其中G、M、m为定值，可得。现r增大到原来的2倍，所以F减小到原来的，选项C正确。
根据公式和，可得，其中G、M为定值，可得。现r增大到原来的2倍，所以v减小到原来的，选项D正确。
因为式中的ω和v并非定值，选项A、B不正确。
正确选项为C、D。
点悟 分清问题中的变量和不变量，灵活运用有关公式进行讨论，是正确解决这类问题的关键。有人会问：卫星的轨道半径增大，线速度反而减小，那不是说卫星的轨道半径越大越容易发射吗？这里，应将卫星的“环绕速度”和“发射速度”区分开来。事实上，卫星的轨道半径越大，它的势能越大，发射过程中必须对它做更多的功，即提高发射速度。有人对卫星在运行过程中受到阻力而在半径较小的轨道上继续做圆周运动时，其线速度反而增大想不通。其实，在卫星减小其轨道半径的过程中，卫星势能减小，一部分消耗在克服阻力做功之中，其余则转化成了卫星的动能。
例2 2003年10月15日北京时间9时整，我国“神舟”五号飞船载着我国首位太空人杨利伟在酒泉卫星发射中心发射升空，10min后“神舟”五号飞船准确进入预定轨道。在北京航天指挥控制中心的调度下，我国陆海空航天测控网对飞船进行了持续的跟踪、测量与控制，截至10月16日零点，“神舟”五号载人飞船已按预定轨道(视为圆轨道)环绕地球10圈。若地球质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据资料可估算出“神舟”五号飞船的
A．离地高度 B．环绕速度 C．发射速度 D．向心力
提示 万有引力提供向心力。
解析 由飞船环绕地球10圈的时间，可算得飞船的运行周期T。由
，
可得飞船离地高度h。
由，可得飞船环绕速度v。
由于不知道飞船燃料耗尽时的高度，也不知道飞船燃料耗尽到进入预定轨道的过程中因克服空气阻力做功所消耗的能量，故无法求出飞船的发射速度。飞船进入预定轨道后的向心力，因飞船质量m未知，故F也无法求出。
正确选项为A、B。
点悟 这是一道密切联系科研实际的物理题。分清发射速度和环绕速度，应用相关的物理公式，方能对各选项作出正确判断。
例3 航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果.探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时
A. 探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B. 探测器运行的轨道半径将变大
C. 探测器飞行的速率将变大
D. 探测器飞行的速率将变小
提示 质量分布不均匀的球体，不能将其球心到探测器的距离作为万有引力公式中的r。
解析 由可知，探测器飞越质量密集区域时，R 减小，F增大。由可知，R 减小，v增大。
正确选项为A、C。
点悟 万有引力公式中的r是两质点间的距离，也可是两质量均匀分布的球的球心之间的距离。对于质量非均匀分布的球体，计算万有引力时，要注意r的变化。
例4 1990年3月，紫金山天文台将该台发现的2752号小行星命名为“吴健雄星”，将其看作球形，直径约为32km，密度与地球的密度相近。若在此小行星上发射一颗卫星绕它的表面附近旋转，求该卫星的环绕速度（取地球半径为6400km，且已知地球卫星的环绕速度v1=7.9km/s）。
提示 “吴健雄星”的卫星所需的向心力当然就是“吴健雄星”对其卫星的万有引力，即有。由此可求出它的卫星的环绕速度。但是“吴健雄星”的质量是未知的，直接计算环绕速度是困难的。怎么办呢？注意到题目中的一句关键语，即“吴健雄星”的密度与地球的密度相近，应用密度公式可得“吴健雄星”与地球之间的质量之比和半径之比达到关系，。并根据与地球卫星的环绕速度的关系去求出结果来。
解析 根据题意，“吴健雄星”的密度与地球的密度相近，由密度公式得 ，
即 。
故“吴健雄星”的卫星的环绕速度为
。
点悟 审题是解题的首要与关键，不轻易放过题目中的每一句话的意思也是解题中的至重。例如，本题中“吴健雄星”的“密度与地球的密度相近”，括号中“取地球半径为6400km，且已知地球卫星的环绕速度v1=7.9km/s”等，都在解题中起到关键作用。认真审题，理解题目中的每一句话，抓住关键语等，应成为我们养成良好解题习惯中的重要组成部分。
例5 用m表示地球通信卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是（ ）
A. 等于0 B. 等于
C. 等于 D. 以上结果均不对
提示 根据黄金代换及万有引力定律、求解，可得万有引力的几种表达式。
解析 根据万有引力定律，有 。
又因为 ，
所以 。
地球对通信卫星的万有引力为卫星的向心力，所以
，。
又因为 ，
所以有 。
从而， 。
正确选项为B、C。
点悟 根据地面附近的万有引力近似等于重力，即，可得。这个代换式非常重要，在关于人造地球卫星的计算中会经常应用这个代换，所以称之为“黄金代换”。
例6 德国科学家用口径为3.5m的天文望远镜，对猎户座中位于银河与系中心附近的星体进行了近6年的观察，发现了与银河系中心距离r=6.0×109km的星体，正以v=2.0×103km/s的速度围绕银河系中心旋转，据此提出银河系中心可能存在一个大黑洞。黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至包括光在内的所有物质都逃脱不了其引力的作用。当黑洞表面的物体速度达到光速c时才能恰好围绕其表面做匀速圆周运动。
(1) 试写出计算黑洞半径的表达式（用r、v、c表示）；
(2) 由已知数据估算该黑洞的半径值。
提示 比较距离银河系中心r=6.0×109km的星体和黑洞表面物体的运动，设法将黑洞的质量M消去。
解析 (1) 根据与银河系中心距离r=6.0×109km的星体，以v=2.0×103km/s的速度围绕银河系中心旋转，可得
（式中m为星体的质量，M为黑洞的质量）。
设质量为m’的物体绕黑洞表面做匀速圆周运动，则有
。
联列上述两式，即可求出黑洞的半径。
(2) 代入数据得黑洞的半径
6.0×109km≈2.7×105km。
点悟 黑洞的质量非常大而体积半径小，由密度十分巨大的物质组成。由于其巨大的引力，任何物质都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出，由此我们无法直接观察到黑洞，但是科学家仍然可以根据黑洞对星体的引力来研究黑洞。关于黑洞是否存在及黑洞的研究，现在已经成为一门理论即黑洞理论。有兴趣的同学可以关注这一理论的进展。
想想看：本题的处理方法和教材中关于黑洞的计算有什么区别？本题的处理方法是由黑洞表面物体的环绕速度达到光速c进行分析；教材中关于黑洞的计算是利用黑洞的逃逸速度超过光速c进行分析，两者结果虽有差别，但数量级是相同的。
【反馈练习】
1、月球质量是把地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8，在距月球表面14m高处，有一质量m=60kg的物体自由下落．
（1）它落到月球表面需要多少时间？
（2）它在月球上的重力和质量跟在地球上是否相同？（已知地球表面的重力加速度）
2、根据你所掌握的地球的半径R，地球表面处的重力加速度g和引力常量G的值，估算一下地球的质量M多大？
3、把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为km，已知万有引力常量，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字）
4、宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G 。求该星球的质量M。
5、1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。根据你学过的知识，能否知道地球平均密度的大小。
6、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
7、如图所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为l，万有引力常量为G，求：
（1）双星转动的中心位置；
（2）转动周期。
8、地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（ ）
A. a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C. a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
9、如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后在轨道的Q点“点火”使卫星沿椭圆轨道2运行，当它经过椭圆轨道的远地点P时，再次“点火”将卫星送入同步轨道3。卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时（即不包括“点火”过程），下面的判断正确的是（ ）
A. 卫星轨道3上运行时的速率大于在轨道1上运行时的速率
B. 卫星轨道3上运行时的角速度小于在轨道1上运行时的角速度
C. 卫星轨道1上运行经过Q时的加速度等于在轨道2上运行经过Q点时的加速度
D. 卫星轨道2上运行经过Q时的加速度等于在轨道2上运行经过P点时的加速度
10、图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
11、侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。
12、某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
13、如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为 g，O为地球中心。
（1）求卫星B的运行周期
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？
14、2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。据报道，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.67×10－11牛·米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留1位有效数学）
15、地球质量为M，半径为R，自转角速度为。万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？
16、英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为
A． B． C． D．
17、 1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Planck学会的一个研究组宣布了他们的研究成果：银河系的中心可能存在大黑洞，他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。他们发现，距离银河系中约60亿千米的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面数据，试在经典力学的范围内（见提示2）通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少？（引力常数是G＝6.67×10－20km3·kg－1s－2 ）