第2节 功
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第2节 功
【知识要点】
1、做功的两个不可缺少的因素
理解功的概念，首先要知道做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移。只有两者同时不为零，力才对物体做了功。
例如，人提着水桶在水平路面上行走，人提水桶的力对水桶就不做功，因为提水桶的力沿竖直方向，而水桶在竖直方向上无位移。
再如，在光滑水平面上用绳子拉着物体绕固定端做匀速圆周运动，绳子的拉力对物体也不做功，因为绳子的拉力方向和物体的运动方向始终垂直，也就是说，在拉力方向上物体无位移。
2、功的计算
（1）如图2—1所示，当力的方向与物体位移的方向一致时，功等于力的大小F与位移的大小l的乘积，即
W=Fl
（2）当力的方向与物体位移的方向成某一角度时，我们可以将力F沿位移l的方向和垂直于位移l的方向分解为两个分力F1、F2，如图2—2所示。其中，分力F2与位移l垂直，做功为零，因此力F对物体所做的功等于分力F1对物体所做的功，即
W=F1l=（Fcosα）l=Flcosα
（3）我们也可以换一种思路：将位移l沿力F的方向和垂直于力F的方向分解为两个分位移l1、l2，如图2—3所示，同样可以得出力F对物体所做的功为
W=Fl1=F（l cosα）=Flcosα
可见，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦的乘积。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
3、对功的公式的理解
对功的公式W=Flcosα，应从以下几方面加强理解：
（1）恒力做功才可以直接用公式W=Flcosα计算。例如，如图2—4所示，被压缩的弹簧将物体弹出的过程中，弹力所做的功就是变力做功，力F的大小时刻在变化，这时就不能直接应用W=Flcosα来计算弹力的功。
（2）公式中的l是指力的作用点的位移。如果研究对象是一个可当成质点的物体，则l亦即物体的位移（物体上各点的位移都和力的作用点的位移相同）。如果研究对象是一个物体系，力的作用点的位移与物体系各物体的位移不相同时，则必须用力的作用点的位移代入公式计算该力对物体系做的功。
（3）公式中α的含义：α是指力的方向和位移方向的夹角，即代表力和位移的两个矢量的箭头所指方向间的夹角。
（4）公式中F和l分别指“力的大小”和“位移的大小”，即公式中F和l恒取正值。而W是可正可负的（当然也可能为0），从公式容易看出，W的正负完全取决于的cosα正负，也就是α的大小。
（5）对公式W=Flcosα，可以理解为功W等于力在位移方向上的分量Fcosα与位移l的乘积，也可以理解为功W等于力F和位移在力的方向上的分量lcosα的乘积。
（6）由公式可以看出，某个力对物体所做的功只跟这个力、力的作用点的位移以及力与位移间的夹角有关，而跟物体是否还受到其他力的作用无关，跟物体的运动状态也无关。4、关于正功与负功
功是标量，只有大小，没有方向，但功有正负。若力和位移的夹角为α，当0°≤α＜90°时，W＞0，即力对物体做正功；当α=90°时，W=0，即力对物体不做功；当90°＜α≤180°时，W＜0，即力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功（正功）。
功的正值与负值不是代表不同的方向，也不表示功的大小，而是表示所做功的性质，反映力对物体产生位移所起的作用，反映不同的做功效果。在物体发生位移的过程中，各个力的作用不同。对这个物体发生位移起推动作用的力（即动力）做正功；反之，在对物体产生位移起阻碍作用的力（即阻力）做负功，也就是这个物体克服阻力做功。我们不能说“正功与负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”。
5、功为什么不是矢量？
功有正负，而为什么功不是矢量、没有方向呢？让我们来看一个例子：
如图2—5所示，在光滑水平面上，物体受两个沿水平方向、互相垂直的大小分别为F1=3N和F2=4N的恒力，从静止开始运动l=10m。求每个力做的功和合力做的总功。
解：合力N=5N
合力方向即合位移方向容易求得与F1、F2的夹角分别为53°和37°。
所以W1=F1lcosα1=3×10×cos53°=18J
W2=F2lcosα2=4×10×cos37°=32J
J=50J= W1+ W2≠
可见，功的合成不符合平行四边形定则，所以，功不是矢量。
6、几个力的总功的计算
计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：
（1）几个力的总功等于各个力所做功的代数和。若以W1、W2、W3、……Wn分别表示力F1、F2、F3、……Fn所做的功（含正功与负功），则这些力所做的总功为
=W1+W2+W3+……+Wn
（2）几个力的总功等于这几个力的合力的功。若以表示合力的功，则这些力所做的总功为
=
需要指出的是，方法②仅适用于几个力同时作用于物体的情况，因为只有当这几个力同时作用于物体上时，才能求出它们的合力；方法①则不管几个力同时作用，还是作用时间有先后，均是适用的。
7、功与参考系（功的相对性）
同一运动，相对于不同的参考系，位移是不同的，因此对不同的参考系，同一过程中算出的功也会不同，也就是说，功具有相对性。在中学物理中计算功都以地面为参考系。
8、如何计算变力的功？
在某些问题中力的大小或方向发生变化，或者大小和方向同时发生变化，此时如何来求变力所做的功呢？计算变力的功常见的有以下几种方法：
（1）转换研究对象求解：在有些问题中，我们可以通过转换研究对象的方法，将变力所做的功转化为恒力做功问题处理。
（2）运用累积思想求解：例如，一个物体在变力作用下做曲线运动，我们可以将曲线分成很多小段，每小段都足够小，可以认为是直线，且力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用W=Flcosα计算功，所以求变力做功的方法是：把物体通过各个小段所做的功累加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功。
（3）应用动能定理求解：这种求变力的功的方法我们将在本章第七节中再作介绍。
9、关于作用力与反作用力做的功
有时会遇到讨论作用力做的功和反作用力做的功的大小问题。作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，并且作用在不同的物体上。比较作用力与反作用力的功的数值，关键是看两个物体的位移情况如何，而物体的位移情况由具体的相互作用情景而定。当相互作用的两个物体的位移大小相等时，作用力与反作用力做功的绝对值相等；当相互作用的两个物体的位移大小不等时，作用力与反作用力做功的绝对值亦不等。作用力与反作用力可以同时做正功，也可以同时做负功，还可以一个做正功而另一个做负功，或者一个做功而另一个不做功。你能就以上各种情况分别举出实例加以说明吗？
【例题讲解】
【例1】如图2—6所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ）
A．垂直于接触面，做功为零 B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零 D．不垂直于接触面，做功不为零
【解析】小物块在下滑过程中受到斜面的支持力，由于支持力属于弹力，其方向总是垂直于接触面指向被支持的物体，所以此时斜面对小物块的作用力应垂直于接触面。如图2—7所示，小物块下滑过程中斜面向右运动，小物块相对地面的位移与斜面不平行，所以小物块所受支持力与物块位移方向不垂直，支持力做功不为0。正确选项为B。
【例2】质量m=3kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F=10N，沿固定斜面下滑距离l=2m。斜面倾角θ=30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ=。求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功。（g取10m/s2）
【解析】方法一：总功等于各力做功之和。如图2—8所示，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动，其位移的大小与移动的距离相等。所以，重力所做的功为
WG=mglcosα=mglcos(90°－θ) =3×10×2×cos60°J=30J
拉力所做的功为
WF=Fl=10×2J=20J
支持力与物体运动方向垂直，它所做的功
WN=0
滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为
J=－30J
总功W= WG +WF+WN+Wf=30J+20J+(－30)J=20J。
方法二：总功等于合力所做的功（同学们自己完成）
【例3】如图2—9，作用于绳端的拉力F恒定不变，方向与水平方绳的夹角为θ，绳子跨过装在物块前端的定滑轮，拉动物块在水平地面上运动。在物块移动距离s的过程中，拉力F做的功是多少？
【解析】如图5—15所示，当物块沿水平方向移动距离s时，水平绳缩短了s，斜绳加长了s。根据几何关系，拉力F与力的作用点的位移l的夹角为，位移的大小为。
所以，拉力F做的功为
本题也可采用等效法计算，即把拉力做的功等效于两段绳子对物体做的功，这时公式中的位移应是物体的位移。如图2-10所示，有
W=W1+W2=Fs+Fscosθ=Fs(1+cosθ)。
【例4】如图2—11所示的水平传送装置，AB间距为l，传送带以v匀速运转。把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功。
【解析】摩擦力的大小为F=μmg
分两种情况进行讨论：
（1）零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用，则摩擦力对零件所做的功W=Fl=μmgl
（2）零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，零件就不受摩擦力作用，既无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在，则摩擦力对零件所做的功
W’=Fl’=μmg=
【例5】如图2—12所示，人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升。已知A、B两点间的水平距离为s，细线与水平方向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力所做的功。
【解析】人的拉力应沿细线拉伸的方向，在题给过程中是个变力，无法直接用功的公式求此变力的功，需设法转换研究对象，转换为恒力的功计算。即人的拉力的功等于细绳对物体拉力的功。在物体匀速上升的过程中，细线对物体的拉力FT=mg，物体上升的高度h=
从而细线对物体拉力的功。
所以，人的拉力所做的功为。
【例6】用水平拉力拉着滑块沿半径为r的水平圆轨道匀速运动一周，已知滑块的质量为m，滑块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中拉力所做的功。
【解析】在滑块沿水平圆轨道匀速运动的过程中，拉力的大小不变，但方向时刻改变，拉力的功是变力做功，可运用累积思想求解。滑块沿水平圆轨道匀速运动，故拉力的大小为
F=Ff=μmg。
把圆轨道分成l1、l2、l3、……ln很多个小段，每一段小到可以看成直线段，从而拉力在每一小段上的方向可认为不变，则拉力在每一小段上所做的功分别为
W1=－μmg l1，W2=－μmg l2，W3=－μmg l3，……Wn=－μmg ln
所以，在滑块沿水平圆轨道匀速运动一周的过程中，拉力所做的功为
W= W1+ W2+ W3+……+ Wn=－μmg (l1+ l2+ l3+……+ ln) =－μmg·(2πr) =－2πμmgr。
例7 如图2－13所示，物体A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F将B拉着右移. 用、FAB、FBA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是（ ）
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，不做功
B．F、FAB做正功，FAB、不做功
C．F做正功，FAB做负功，FAB和不做功
D．F做正功，其他力都不做功
解析：据可知，力F作用点的位移不为零，且与F方向相同，所以F做正功；绳子中拉力的作用点的位移为零，所以不做功；FBA作用点的位移为零，FBA不做功；FAB作用点的位移不为零，且与FAB反向，所以FAB做负功. 故本题正确选项为C.
例6 如图2－14所示，绳的一端固定在天花板上，通过一动滑轮将质量m=10 kg的物体由静止开始以2 m/s2的加速度提升3 s. 求绳的另一端拉力F在3 s内所做的功．（g取10 m/s2，滑轮和绳的质量及摩擦均不计）
解法一：物体受到两个力的作用：拉力和重力mg，由牛顿第二定律得所以
则力F为
物体从静止开始运动，3 s内的位移为
力F作用在绳的端点，而在物体发生9 m的位移的过程中，绳的端点的位移为2l=18 m，所以力F做的功为
例7、 如图2－15所示，一人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是，图中高度是h，求绳子拉力对物体做的功．（绳的质量、滑轮的大小、质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）
解析：在物体向右运动的过程中，绳子的拉力是一个变力（方向改变），但扛力的大小时刻等于F的大小，因此绳子拉力对物体做的功等于F所做的功. 由图可以知道，力F的作用点移动的位移大小为：则 答案：
例8 如图2－16所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由下滑，然后在水平面上前进至B点后停止. 已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数皆为，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m，A、B两点间的水平距离为L. 在滑雪者经过AB段运动的过程中，摩擦力做的功（ ）
A．大于 B．小于
C．等于 D．以上三种情况都有可能
解析：设水平部分的长度为s1，斜坡的长度为s2，斜坡与水平面的夹角为，则下滑的过程中摩擦力做功为
答案：C
【反馈练习】
1、关于一对作用力和反作用力的功，下列说法中哪些正确？（ ）
①如果其中一个力做正功，则另一个力必做负功
②一对作用力与反作用力做功的代数和必为零
③这两个力可能同时都能做正功或同时都做负功
④一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零
A．①② B． ③④ C．①④ D．都不正确
2、关于力对物体做功，以下说法正确的是（ ）
A．一对作用力和反作用力在相同时间内做的功一定大小相等，正负相反
B．不论怎样的力对物体做功，都可以用W=Fscosα
C．合外力对物体不作功，物体必定做匀速直线运动
D．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功或负功
3、如图2-17所示，均匀长直木板长L=40cm，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量m=2kg，与桌面间的摩擦因数μ=0.2，今用水平推力F将其推下桌子，（g取10/s2）则水平推力至少做功为（ ）
A．0.8J B．1.6J C．8J D．4J
4.如图2-18所示，质量为m的物块，始终固定在倾角为α的斜面上，下面说法中正确的是 ( )
①若斜面向左匀速移动距离s，斜面对物块没有做功
②若斜面向上匀速移动距离s，斜面对物块做功mgs
③若斜面向左以加速度a移动距离s，斜面对物块做功mas
④若斜面向下以加速度a移动距离s，斜面对物块做功m(g+a)s
A.①②③ B.②④ C.②③④ D.①③④
5.一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，另一端穿过滑轮用恒力F拉住保持两股绳之间的夹角θ不变，如图2-19所示.当用力拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和摩擦)是 ( )
A.Fscosθ B.Fs（1＋cosθ）
C.2Fscosθ D.2Fs
6.物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经t秒后撤去F1，立即再对它施一个水平向左的恒力F2，又经t秒后物体回到出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2间的关系是 （ ）
A．W1=W2 B．W2=2W1 C．W2=3W1 D．W2=5W1
7.如图2-21所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：( )
A. 0J B.20πJ C .10J D.20J.
8 如图2－22所示，水平传送带以速度顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L=10 m，若在M轮的正上方，将一质量为的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带队物体的摩擦力做了多少功 （g取10 m/s2）
图2－1
l
F
图2－2
l
α
F
F1
F2
图2－3
l
α
F
l1
l2
图2—4
l
F2
F1
37°
图2—5
53°
图2－6
l
F
图2－7
图2－8
mg
F
Ff
FN
l
θ
s
图2－9
θ
F
F
l
s
α
图2－10
θ
F
F
s
图2—11
A
B
v
图2－12
s
A
B
图 2－13
图 2－14
图 2－15
图 2－16
图2-17
F
图2-18
图2-19
图2-21
图 2－22
【知识要点】
1、做功的两个不可缺少的因素
理解功的概念，首先要知道做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移。只有两者同时不为零，力才对物体做了功。
例如，人提着水桶在水平路面上行走，人提水桶的力对水桶就不做功，因为提水桶的力沿竖直方向，而水桶在竖直方向上无位移。
再如，在光滑水平面上用绳子拉着物体绕固定端做匀速圆周运动，绳子的拉力对物体也不做功，因为绳子的拉力方向和物体的运动方向始终垂直，也就是说，在拉力方向上物体无位移。
2、功的计算
（1）如图2—1所示，当力的方向与物体位移的方向一致时，功等于力的大小F与位移的大小l的乘积，即
W=Fl
（2）当力的方向与物体位移的方向成某一角度时，我们可以将力F沿位移l的方向和垂直于位移l的方向分解为两个分力F1、F2，如图2—2所示。其中，分力F2与位移l垂直，做功为零，因此力F对物体所做的功等于分力F1对物体所做的功，即
W=F1l=（Fcosα）l=Flcosα
（3）我们也可以换一种思路：将位移l沿力F的方向和垂直于力F的方向分解为两个分位移l1、l2，如图2—3所示，同样可以得出力F对物体所做的功为
W=Fl1=F（l cosα）=Flcosα
可见，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦的乘积。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
3、对功的公式的理解
对功的公式W=Flcosα，应从以下几方面加强理解：
（1）恒力做功才可以直接用公式W=Flcosα计算。例如，如图2—4所示，被压缩的弹簧将物体弹出的过程中，弹力所做的功就是变力做功，力F的大小时刻在变化，这时就不能直接应用W=Flcosα来计算弹力的功。
（2）公式中的l是指力的作用点的位移。如果研究对象是一个可当成质点的物体，则l亦即物体的位移（物体上各点的位移都和力的作用点的位移相同）。如果研究对象是一个物体系，力的作用点的位移与物体系各物体的位移不相同时，则必须用力的作用点的位移代入公式计算该力对物体系做的功。
（3）公式中α的含义：α是指力的方向和位移方向的夹角，即代表力和位移的两个矢量的箭头所指方向间的夹角。
（4）公式中F和l分别指“力的大小”和“位移的大小”，即公式中F和l恒取正值。而W是可正可负的（当然也可能为0），从公式容易看出，W的正负完全取决于的cosα正负，也就是α的大小。
（5）对公式W=Flcosα，可以理解为功W等于力在位移方向上的分量Fcosα与位移l的乘积，也可以理解为功W等于力F和位移在力的方向上的分量lcosα的乘积。
（6）由公式可以看出，某个力对物体所做的功只跟这个力、力的作用点的位移以及力与位移间的夹角有关，而跟物体是否还受到其他力的作用无关，跟物体的运动状态也无关。4、关于正功与负功
功是标量，只有大小，没有方向，但功有正负。若力和位移的夹角为α，当0°≤α＜90°时，W＞0，即力对物体做正功；当α=90°时，W=0，即力对物体不做功；当90°＜α≤180°时，W＜0，即力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功（正功）。
功的正值与负值不是代表不同的方向，也不表示功的大小，而是表示所做功的性质，反映力对物体产生位移所起的作用，反映不同的做功效果。在物体发生位移的过程中，各个力的作用不同。对这个物体发生位移起推动作用的力（即动力）做正功；反之，在对物体产生位移起阻碍作用的力（即阻力）做负功，也就是这个物体克服阻力做功。我们不能说“正功与负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”。
5、功为什么不是矢量？
功有正负，而为什么功不是矢量、没有方向呢？让我们来看一个例子：
如图2—5所示，在光滑水平面上，物体受两个沿水平方向、互相垂直的大小分别为F1=3N和F2=4N的恒力，从静止开始运动l=10m。求每个力做的功和合力做的总功。
解：合力N=5N
合力方向即合位移方向容易求得与F1、F2的夹角分别为53°和37°。
所以W1=F1lcosα1=3×10×cos53°=18J
W2=F2lcosα2=4×10×cos37°=32J
J=50J= W1+ W2≠
可见，功的合成不符合平行四边形定则，所以，功不是矢量。
6、几个力的总功的计算
计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：
（1）几个力的总功等于各个力所做功的代数和。若以W1、W2、W3、……Wn分别表示力F1、F2、F3、……Fn所做的功（含正功与负功），则这些力所做的总功为
=W1+W2+W3+……+Wn
（2）几个力的总功等于这几个力的合力的功。若以表示合力的功，则这些力所做的总功为
=
需要指出的是，方法②仅适用于几个力同时作用于物体的情况，因为只有当这几个力同时作用于物体上时，才能求出它们的合力；方法①则不管几个力同时作用，还是作用时间有先后，均是适用的。
7、功与参考系（功的相对性）
同一运动，相对于不同的参考系，位移是不同的，因此对不同的参考系，同一过程中算出的功也会不同，也就是说，功具有相对性。在中学物理中计算功都以地面为参考系。
8、如何计算变力的功？
在某些问题中力的大小或方向发生变化，或者大小和方向同时发生变化，此时如何来求变力所做的功呢？计算变力的功常见的有以下几种方法：
（1）转换研究对象求解：在有些问题中，我们可以通过转换研究对象的方法，将变力所做的功转化为恒力做功问题处理。
（2）运用累积思想求解：例如，一个物体在变力作用下做曲线运动，我们可以将曲线分成很多小段，每小段都足够小，可以认为是直线，且力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用W=Flcosα计算功，所以求变力做功的方法是：把物体通过各个小段所做的功累加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功。
（3）应用动能定理求解：这种求变力的功的方法我们将在本章第七节中再作介绍。
9、关于作用力与反作用力做的功
有时会遇到讨论作用力做的功和反作用力做的功的大小问题。作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，并且作用在不同的物体上。比较作用力与反作用力的功的数值，关键是看两个物体的位移情况如何，而物体的位移情况由具体的相互作用情景而定。当相互作用的两个物体的位移大小相等时，作用力与反作用力做功的绝对值相等；当相互作用的两个物体的位移大小不等时，作用力与反作用力做功的绝对值亦不等。作用力与反作用力可以同时做正功，也可以同时做负功，还可以一个做正功而另一个做负功，或者一个做功而另一个不做功。你能就以上各种情况分别举出实例加以说明吗？
【例题讲解】
【例1】如图2—6所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ）
A．垂直于接触面，做功为零 B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零 D．不垂直于接触面，做功不为零
【解析】小物块在下滑过程中受到斜面的支持力，由于支持力属于弹力，其方向总是垂直于接触面指向被支持的物体，所以此时斜面对小物块的作用力应垂直于接触面。如图2—7所示，小物块下滑过程中斜面向右运动，小物块相对地面的位移与斜面不平行，所以小物块所受支持力与物块位移方向不垂直，支持力做功不为0。正确选项为B。
【例2】质量m=3kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F=10N，沿固定斜面下滑距离l=2m。斜面倾角θ=30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ=。求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功。（g取10m/s2）
【解析】方法一：总功等于各力做功之和。如图2—8所示，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动，其位移的大小与移动的距离相等。所以，重力所做的功为
WG=mglcosα=mglcos(90°－θ) =3×10×2×cos60°J=30J
拉力所做的功为
WF=Fl=10×2J=20J
支持力与物体运动方向垂直，它所做的功
WN=0
滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为
J=－30J
总功W= WG +WF+WN+Wf=30J+20J+(－30)J=20J。
方法二：总功等于合力所做的功（同学们自己完成）
【例3】如图2—9，作用于绳端的拉力F恒定不变，方向与水平方绳的夹角为θ，绳子跨过装在物块前端的定滑轮，拉动物块在水平地面上运动。在物块移动距离s的过程中，拉力F做的功是多少？
【解析】如图5—15所示，当物块沿水平方向移动距离s时，水平绳缩短了s，斜绳加长了s。根据几何关系，拉力F与力的作用点的位移l的夹角为，位移的大小为。
所以，拉力F做的功为
本题也可采用等效法计算，即把拉力做的功等效于两段绳子对物体做的功，这时公式中的位移应是物体的位移。如图2-10所示，有
W=W1+W2=Fs+Fscosθ=Fs(1+cosθ)。
【例4】如图2—11所示的水平传送装置，AB间距为l，传送带以v匀速运转。把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功。
【解析】摩擦力的大小为F=μmg
分两种情况进行讨论：
（1）零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用，则摩擦力对零件所做的功W=Fl=μmgl
（2）零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，零件就不受摩擦力作用，既无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在，则摩擦力对零件所做的功
W’=Fl’=μmg=
【例5】如图2—12所示，人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升。已知A、B两点间的水平距离为s，细线与水平方向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力所做的功。
【解析】人的拉力应沿细线拉伸的方向，在题给过程中是个变力，无法直接用功的公式求此变力的功，需设法转换研究对象，转换为恒力的功计算。即人的拉力的功等于细绳对物体拉力的功。在物体匀速上升的过程中，细线对物体的拉力FT=mg，物体上升的高度h=
从而细线对物体拉力的功。
所以，人的拉力所做的功为。
【例6】用水平拉力拉着滑块沿半径为r的水平圆轨道匀速运动一周，已知滑块的质量为m，滑块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中拉力所做的功。
【解析】在滑块沿水平圆轨道匀速运动的过程中，拉力的大小不变，但方向时刻改变，拉力的功是变力做功，可运用累积思想求解。滑块沿水平圆轨道匀速运动，故拉力的大小为
F=Ff=μmg。
把圆轨道分成l1、l2、l3、……ln很多个小段，每一段小到可以看成直线段，从而拉力在每一小段上的方向可认为不变，则拉力在每一小段上所做的功分别为
W1=－μmg l1，W2=－μmg l2，W3=－μmg l3，……Wn=－μmg ln
所以，在滑块沿水平圆轨道匀速运动一周的过程中，拉力所做的功为
W= W1+ W2+ W3+……+ Wn=－μmg (l1+ l2+ l3+……+ ln) =－μmg·(2πr) =－2πμmgr。
例7 如图2－13所示，物体A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F将B拉着右移. 用、FAB、FBA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是（ ）
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，不做功
B．F、FAB做正功，FAB、不做功
C．F做正功，FAB做负功，FAB和不做功
D．F做正功，其他力都不做功
解析：据可知，力F作用点的位移不为零，且与F方向相同，所以F做正功；绳子中拉力的作用点的位移为零，所以不做功；FBA作用点的位移为零，FBA不做功；FAB作用点的位移不为零，且与FAB反向，所以FAB做负功. 故本题正确选项为C.
例6 如图2－14所示，绳的一端固定在天花板上，通过一动滑轮将质量m=10 kg的物体由静止开始以2 m/s2的加速度提升3 s. 求绳的另一端拉力F在3 s内所做的功．（g取10 m/s2，滑轮和绳的质量及摩擦均不计）
解法一：物体受到两个力的作用：拉力和重力mg，由牛顿第二定律得所以
则力F为
物体从静止开始运动，3 s内的位移为
力F作用在绳的端点，而在物体发生9 m的位移的过程中，绳的端点的位移为2l=18 m，所以力F做的功为
例7、 如图2－15所示，一人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是，图中高度是h，求绳子拉力对物体做的功．（绳的质量、滑轮的大小、质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）
解析：在物体向右运动的过程中，绳子的拉力是一个变力（方向改变），但扛力的大小时刻等于F的大小，因此绳子拉力对物体做的功等于F所做的功. 由图可以知道，力F的作用点移动的位移大小为：则 答案：
例8 如图2－16所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由下滑，然后在水平面上前进至B点后停止. 已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数皆为，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m，A、B两点间的水平距离为L. 在滑雪者经过AB段运动的过程中，摩擦力做的功（ ）
A．大于 B．小于
C．等于 D．以上三种情况都有可能
解析：设水平部分的长度为s1，斜坡的长度为s2，斜坡与水平面的夹角为，则下滑的过程中摩擦力做功为
答案：C
【反馈练习】
1、关于一对作用力和反作用力的功，下列说法中哪些正确？（ ）
①如果其中一个力做正功，则另一个力必做负功
②一对作用力与反作用力做功的代数和必为零
③这两个力可能同时都能做正功或同时都做负功
④一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零
A．①② B． ③④ C．①④ D．都不正确
2、关于力对物体做功，以下说法正确的是（ ）
A．一对作用力和反作用力在相同时间内做的功一定大小相等，正负相反
B．不论怎样的力对物体做功，都可以用W=Fscosα
C．合外力对物体不作功，物体必定做匀速直线运动
D．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功或负功
3、如图2-17所示，均匀长直木板长L=40cm，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量m=2kg，与桌面间的摩擦因数μ=0.2，今用水平推力F将其推下桌子，（g取10/s2）则水平推力至少做功为（ ）
A．0.8J B．1.6J C．8J D．4J
4.如图2-18所示，质量为m的物块，始终固定在倾角为α的斜面上，下面说法中正确的是 ( )
①若斜面向左匀速移动距离s，斜面对物块没有做功
②若斜面向上匀速移动距离s，斜面对物块做功mgs
③若斜面向左以加速度a移动距离s，斜面对物块做功mas
④若斜面向下以加速度a移动距离s，斜面对物块做功m(g+a)s
A.①②③ B.②④ C.②③④ D.①③④
5.一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，另一端穿过滑轮用恒力F拉住保持两股绳之间的夹角θ不变，如图2-19所示.当用力拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和摩擦)是 ( )
A.Fscosθ B.Fs（1＋cosθ）
C.2Fscosθ D.2Fs
6.物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经t秒后撤去F1，立即再对它施一个水平向左的恒力F2，又经t秒后物体回到出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2间的关系是 （ ）
A．W1=W2 B．W2=2W1 C．W2=3W1 D．W2=5W1
7.如图2-21所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：( )
A. 0J B.20πJ C .10J D.20J.
8 如图2－22所示，水平传送带以速度顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L=10 m，若在M轮的正上方，将一质量为的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带队物体的摩擦力做了多少功 （g取10 m/s2）
图2－1
l
F
图2－2
l
α
F
F1
F2
图2－3
l
α
F
l1
l2
图2—4
l
F2
F1
37°
图2—5
53°
图2－6
l
F
图2－7
图2－8
mg
F
Ff
FN
l
θ
s
图2－9
θ
F
F
l
s
α
图2－10
θ
F
F
s
图2—11
A
B
v
图2－12
s
A
B
图 2－13
图 2－14
图 2－15
图 2－16
图2-17
F
图2-18
图2-19
图2-21
图 2－22