第5节 探究弹性势能的表达式

第5节 探究弹性势能的表达式
1、什么是弹性势能？
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。可见，物体具有弹性势能的条件是发生了弹性形变。卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓、正在击球的网球拍、撑杆运动员手中弯曲的杆，等等，都发生了弹性形变，都具有弹性势能。
2、研究弹性势能的出发点
弹性势能与重力势能都是物体凭借其位置而具有的能。在讨论重力势能的时候，我们从重力做功的分析入手。同样，在讨论弹性势能的时候，则要从弹力做功的分析入手。弹力做功应是我们研究弹性势能的出发点。
3、弹性势能表达式中相关物理量的猜测
弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关呢？
（1）可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。这是因为，与重力势能相类比，重力势能与物体被举起（或下降）的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。重力势能与高度成正比，但是弹性势能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度则不一定成正比，在地球表面附近可认为重力不随高度变化，而弹力在弹簧形变过程中则是变力。
（2）可能与弹簧的劲度系数有关。这是因为，不同弹簧的“软硬”程度不同，即劲度系数不同，使弹簧发生相同长度的形变所需做的功也不相同。
4、弹性势能与拉力做功的关系
当弹簧的长度为原长时，我们设它的弹性势能为零，弹簧被拉长或缩短后就具有了弹性势能。我们研究弹簧被拉长的情况，那么弹簧的弹性势能应该与拉力所做的功相等。可见，研究弹性势能的表达式，只需研究拉力做功的表达式。
5、如何计算拉力所做的功？
在拉伸弹簧的过程中，拉力是随弹簧的形变量的变化而变化的，拉力还因弹簧的不同而不同。因此，拉力做功不能直接用功的公式W=Flcosα。那么，如何求出拉力的功呢？与研究匀变速直线运动的位移方法类似，就是将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段中近似认为拉力是不变的。所以，每一小段的功分别为
W1=F1△l1，W2=F2△l2，W3=F3△l3，……
拉力在整个过程中所做的功为
W=W1+W2+W3+……=F1△l1+ F2△l2+ F3△l3+……
要直接计算上述各小段功的求和式是较困难的。与匀变速直线运动中利用v—t图象求位移x相似，我们可以画出F—l，如图5—1所示。每段拉力的功就可用图中细窄的矩形面积表示，对这些矩形面积求和，就得到了由F和 l围成的三角形的面积，这块三角形面积就表示拉力在整个过程中所做的功。
6、弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系，跟重力做功与重力势能变化的关系及其相似。重力做正功，重力势能减少；重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加。同样，弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功（物体克服弹力做功），弹性势能增加。
7、弹性势能也具有相对性
在本节的“说一说”栏目中，提出了“能不能规定弹簧某一任意长度时的势能为0势能”的问题。这个问题可与重力势能参考平面的选取相比较。如果我们规定了弹簧某一任意长度时的势能为0势能，在弹簧从0势能位置拉至某一位置的过程中，拉力所做的功就等于弹簧处于该位置的弹性势能。显然，这与规定自然长度为0势能时，从从0势能位置拉至该位置的功是不同的。所以，弹簧在某一位置时的弹性势能是与0势能位置的规定有关的，弹性势能也具有相对性。
【例题讲解】
【例1】关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
【解析】发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能。所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关。正确选项为A、B。
【例2】在本节课的探究活动中，我们多次采用了类比的研究方法，试举例说明。
【解析】在本节课的探究活动中，采用类比研究方法的地方主要有：
（1）研究弹性势能的出发点，将重力势能与弹性势能类比。讨论重力势能从分析重力做功入手，讨论弹性势能则从分析弹力做功入手。
（2）弹性势能表达式中相关物理量的猜测，将重力势能与弹性势能、重力与弹力类比。重力势能与物体被举起的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸的长度有关。弹力与重力的变化规律不一样，弹性势能与重力势能的表达式很可能也不一样。
（3）计算拉力所做的功，与计算匀变速直线运动的位移类比。计算匀变速直线运动的位移时，将位移分成很多小段，每一小段的速度可近似认为相等，物体在整个过程中的位移等于各小段位移之和。计算拉力所做的功，可将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段的拉力可近似认为是不变的，拉力在整个过程中的功等于各小段功之和。
（4）计算各小段功的求和式，将由v— t图象求位移与由F—l图象求功类比。v— t图象下的相关面积表示位移，F—l图象下的相关面积则表示功。
类比，就是将同类型的事物或问题进行对比，从中找出规律性的东西。类比的方法，是物理学中一种重要的研究方法。
【例3】教材中说：“在探究弹性势能的表达式时，可以参考对重力势能的讨论。”当物体处于参考平面时，重力势能为0；在参考平面上方，重力势能为正；在参考平面下方，重力势能为负。当弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0；弹簧拉伸时，弹性势能为正；那么，弹簧压缩时弹性势能也为负值吗？为什么？
【解析】弹力做功与重力做功有所不同。当物体从参考平面向下运动时，重力做正功，重力势能减少。所以，在参考平面下方，重力势能为负。若规定弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0，当弹簧压缩时弹力并不是做正功而是做负功，弹性势能并不是减少而是增加。所以，弹簧压缩时弹性势能不是负值而是正值。
【例4】弹簧原长为l0，劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。试求W1与W2的比值。
【解析】拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在F—l图象中是一条倾斜直线，如图5—2所示，直线下的相关面积表示功的大小。其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2。显然，两块面积之比为1︰3，即W1︰W2=1︰3。
【例5】如图5—3所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为W，则物块移动了多大的距离？
【解析】若以Ep表示弹簧最终的弹性势能，则外力所做的功
所以，弹簧的伸长量亦即物块移动的距离。
【例6】如图5—4所示，质量为m物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求拉力所做的功。
【解析】拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。
物体离开地面后，弹簧的伸长量为
可见，物体上升的高度为
从而，物体重力势能的增加量为
弹簧的弹性势能为
所以，拉力所做的功为
【例7】 如图5－5所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动. 在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
解析：由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大. 答案：D
【例8】 竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间的距离为h1，如图5－6所示，现将一质量为m的物块，轻轻地放在平板中心，让它从静止开始往下运动，直至物块速度为零，此时平板与地面间的距离为h2，若取无形变时为弹簧弹性势能零点，则此时弹簧的弹性势能_________.
解析：物块下落过程中克服弹力做的功等于重力做的功，即全部转化成了弹性势能，所以 答案：
【例9】 在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10 m，力F做功2.5 J. 此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N，如图5－7所示. 求：
（1）在木块下移0.10 m的过程中弹性势能的增加量.
（2）弹簧的劲度系数（g取10 N/kg）．
解析：（1）弹性势能的增加量等于弹力做负功的值，所以设法求出弹簧弹力所做的功是解决问题的关键.
木块下移0.1 m过程中，力F和重力做的功全部用于增加弹簧的弹性势能，故弹性势能的增加量为
（2）由平衡条件得，木块再次处于平衡时
所以劲度系数
答案：（1）4.5 J （2）500 N／m
例10 在一次演示实验中，一个压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一个小物体，测得弹簧压缩的距离d和小球在粗糙水平面滑动的距离x如下表所示. 由此表可以归纳出小物体滑动的距离x跟弹簧压缩的距离d之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能跟弹簧压缩的距离d之间的关系分别是（选项中k1、k2是常量）．
实验次数 1 2 3 4
d/cm 0.50 1.00 2.00 4.00
x/cm 4.98 20.02 80.10 319.5
A．x=k1d，Ep=k2d B．x=k1d，Ep=k2d2
C．x=k1d2，Ep=k2d D．x=k1d2，Ep=k2d2
解析：由图表信息知，，则d2=2d0，x2=20.02 cm=4x0，d3=4d0，x3=80.10 cm=16x0……，则可归纳为x=k1d2；又由能量转化知：，由于为恒量，故可写作，故选项D正确.
图5—1
O
F
l
B
F
O
l
l
2l
A
图5—2
图5—3
F
图5—4
k
F
m
图5－5
图 5－6
图 5－7