第7节 动能和动能定理
图片预览
文档简介
第7节 动能和动能定理
１、对三个具体问题的分析
在本章第１节“追寻守恒量”中，我们已经知道物体由于运动而具有的能量叫做动能。上一节又探究了功与物体速度变化的关系，物体的动能一定与物体的运动速度的二次方成正比。那么，动能还与哪些因素有关呢？为了探究动能的表达式，让我们来分析三个具体问题：
问题1：如图7—1所示，在光滑的水平面上，一质量为m、初速度为v1的物体在水平拉力F的作用下，发生的位移为l，试求该物体的末速度v2。
解：由牛顿第二定律有F=ma
由匀变速直线运动公式有v22－v12=2al
解得。
问题2：如图7—2所示，将质量为m的小球从离地h高处以初速度v1竖直向下抛出，所受空气阻力恒为F，求小球落地时的速度v2。
解：由牛顿第二定律有mg－F=ma
由匀变速直线运动公式有v22－v12=2ah
解得。
问题3：如图7—3所示，用一水平力F将质量为m的物块推上倾角为θ的光滑斜面。物块的初速度为v1，位移为l，求物块的末速度v2。
解：由牛顿第二定律有Fcosθ－mgsinθ=ma
由匀变速直线运动公式有v22－v12=2al
解得。
2、动能表达式的确立
将上述三个具体问题所得的结论适当变换，可依次得到如下的表达式：
问题1：
问题2：
问题3：
仔细研究上述三个表达式，可以发现它们有着相同的特点：
第一，式中的与v相关，因而与动能Ek相关，且与v2成正比也与前面的探究相一致；
第二，始末两态的之差与力的功W相等，因而与前面重力势能、弹性势能的研究相一致，即功是它的变化的量度。
可见，就是我们寻找的动能的表达式。至此，我们可以定义质量为m的物体，以速度v运动时的动能为Ek=。
3、对动能的深入理解
关于动能，可从以下四方面来加深理解：
（1）动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。一般都以地面为参考系描述物体的动能。
（2）动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量。物体的运动状态一旦确定，物体的动能就唯一地被确定了。
（3）物体的动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关。动能是标量，且恒为正值。
（4）由动能的表达式可知，动能的单位与功的单位相同，因为
1kg·(m/s)2=1(kg·m/s2)·m=1N·m=1J。
4、动能定理及其表达式
在上述三个具体问题所得结论的变换式中，我们可以看到，式子左边均为合力对物体所做的功，式子右边均为物体动能的变化。这就是说，力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理。其数学表达式为
W=Ek2－Ek1
5、关于合力的功
通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：
（1）外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。
（2）合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
6、关于动能的变化
动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量，而不一定是大的减小的，有些书上称之为“增量”。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；物体的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。
7、动能定理的适用范围
动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式v22－v12=2al推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。
值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立。动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体。
动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。
8、应用动能定理解题的一般步骤及注意点
应用动能定理解题的一般步骤是：
（1）选取研究对象，确定研究过程；
（2）分析问题受力，明确做功情况；
（3）根据初、末状态，确定初、末动能；
（4）应用动能定理，列出方程求解。
应用动能定理解题应注意以下几点：
（1）正确分析物体受力，要考虑物体所受的所有外力，包括重力。
（2）有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待。
（3）若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑也可视全过程为一整体，用动能定理解题，后者往往更为简捷。
9、动能定理的应用
（1）求变力做功；
（2）处理多过程问题．
【例题解析】
【例1】在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【解析】在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有
解得小球着地时速度的大小为。正确选项为C。
【例2】新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m2的风的电能的50%转化为电能，使推导利用上述已知量计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。
【解析】首先建立风的“柱体模型”，如图7—4所示，设经过时间t通过截面S的空气的质量为m，则有
m=ρV=ρSl=ρSvt
这部分空气的动能为。
因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为
。
代入数据得W=5.6×104W。
【例3】一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图7—5所示，则拉力F所做的功为（ ）
A．mglcosθ B．mgl(1－cosθ) C．Flcosθ D．Flθ
【解析】小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得W－mgl(1－cosθ)=0，解得W= mgl(1－cosθ)。正确选项为B。
【例4】将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
【解析】
解法一（应用牛顿第二定律与运动学公式求解）：
石头在空中做自由落体运动，落地速度
在泥潭中的运动阶段，设石头做减速运动的加速度的大小为a，则有v2=2ah
解得
由牛顿第二定律
所以泥对石头的平均阻力
N=820N。
解法二（应用动能定理分段求解）：
设石头着地时的速度为v，对石头在空中运动阶段应用动能定理，有
对石头在泥潭中运动阶段应用动能定理，有
由以上两式解得泥对石头的平均阻力
N=820N。
解法三（应用动能定理整体求解）：
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
所以，泥对石头的平均阻力
N=820N。
【例5】如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零）
A．大于v0 B．等于v0
C．小于v0 D．取决于斜面的倾角
【例6】总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢的质量为m，中途脱节。司机发现时，机车已行驶了距离l，于是立即关闭油门，除去牵引力。设列车运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们间的距离是多少？
【解析】设阻力与质量的比例系数为k，机车脱钩前的速度为v0。对车头部分，研究脱钩前后的全过程，根据动能定理有
对末节车厢，研究脱钩后的过程，根据动能定理有
由于原先列车匀速运动，所以，F=kMg
由以上三式联立解得，列车的两部分都停止时，它们间的距离是
【课后练习】
1．某物体在恒力作用下，从静止开始做直线运动，若t表示时间，l表示位移，则物体的动能（ ）
A．与t成正比 B．与t2成正比 C．与l成正比 D．与l2成正比
2．一物体在水平方向的两个平衡力（均为恒力）作用下，沿水平方向做匀速直线运动。若撤去一个水平力，且保持另一个水平力不变，则有（ ）
A．物体的动能可能减少 B．物体的动能可能不变
C．物体的动能可能增加 D．余下的那个力一定对物体作正功
3．甲、乙两个滑块以相同的初动能在同一水平面上滑行，若甲的质量大于乙的质量，两滑块与水平面间的动摩擦因数相同，则最后当它们均静止时滑行的距离（ ）
A．相等 B．甲大 C．乙大 D．无法比较
4．某运动员臂长l，将质量为m的铅球推出。铅球出手时的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则运动员对铅球做了多少功？
5．人从高h处将一质量为m的小球水平抛出，不计空气阻力，测得球落地时速度的大小为v，则人抛球时对球做了多少功？
6．质量为1kg的铁球，由离泥浆地面3m高处自由落下，陷入泥浆中30cm后静止，则重力对铁球所做的功是多少？铁球克服泥浆阻力所做的功是多少？（g取10m/s2）
7．一架小型喷气式飞机的质量为5×103kg，在跑道上从静止开始滑行时受到的发动机的牵引力为1.8×104N，设飞机在运动中的阻力是它所受重力的0.2倍，飞机离开跑道的起飞速度为60m/s，求飞机在跑道上滑行的距离。（g取10m/s2）
8．如图5—47所示，在摩擦可忽略的水平面上停着一辆小车，小车的左端放着一只箱子。在水平恒力F作用下，把箱子从小车的左端拉至右端卸下。如果一次小车被制动，另一次小车未被制动，小车可沿地面运动，在这两种情况下有（ ）
A．箱子与车面之间的摩擦力一样大 B．水平恒力F所做的功一样大
C．箱子获得的加速度一样大 D．箱子获得的动能一样大
9．自行车上坡，坡高5.0m，坡长100m，车与人共重9.8×102N，人蹬车的牵引力为78N，车在坡底的速度为5.0m/s，到坡顶时速度为3.0m/s。问：
（1）上坡过程中，自行车克服摩擦力做了多少功？
（2）如果人不用力蹬车，车在坡底速度仍为5.0m/s，自行车能上行多远？
10．质量为3×106kg的列车，在恒定的额定功率下由静止出发，运行中受到一个恒定不变的阻力作用，经过103s，行程1.2×104m后达到最大速度20m/s。求列车的额定功率和它所受到的阻力。
图7—1
F
m
l
v1
v2
图7—2
m
v1
h
v2
F
mg
m
图7—3
l
v1
v2
F
mg
FN
θ
m
l
S
图7—4
图7—5
θ
F
O
P
Q
l
h
H
图7—6
图5—47
F
１、对三个具体问题的分析
在本章第１节“追寻守恒量”中，我们已经知道物体由于运动而具有的能量叫做动能。上一节又探究了功与物体速度变化的关系，物体的动能一定与物体的运动速度的二次方成正比。那么，动能还与哪些因素有关呢？为了探究动能的表达式，让我们来分析三个具体问题：
问题1：如图7—1所示，在光滑的水平面上，一质量为m、初速度为v1的物体在水平拉力F的作用下，发生的位移为l，试求该物体的末速度v2。
解：由牛顿第二定律有F=ma
由匀变速直线运动公式有v22－v12=2al
解得。
问题2：如图7—2所示，将质量为m的小球从离地h高处以初速度v1竖直向下抛出，所受空气阻力恒为F，求小球落地时的速度v2。
解：由牛顿第二定律有mg－F=ma
由匀变速直线运动公式有v22－v12=2ah
解得。
问题3：如图7—3所示，用一水平力F将质量为m的物块推上倾角为θ的光滑斜面。物块的初速度为v1，位移为l，求物块的末速度v2。
解：由牛顿第二定律有Fcosθ－mgsinθ=ma
由匀变速直线运动公式有v22－v12=2al
解得。
2、动能表达式的确立
将上述三个具体问题所得的结论适当变换，可依次得到如下的表达式：
问题1：
问题2：
问题3：
仔细研究上述三个表达式，可以发现它们有着相同的特点：
第一，式中的与v相关，因而与动能Ek相关，且与v2成正比也与前面的探究相一致；
第二，始末两态的之差与力的功W相等，因而与前面重力势能、弹性势能的研究相一致，即功是它的变化的量度。
可见，就是我们寻找的动能的表达式。至此，我们可以定义质量为m的物体，以速度v运动时的动能为Ek=。
3、对动能的深入理解
关于动能，可从以下四方面来加深理解：
（1）动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。一般都以地面为参考系描述物体的动能。
（2）动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量。物体的运动状态一旦确定，物体的动能就唯一地被确定了。
（3）物体的动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关。动能是标量，且恒为正值。
（4）由动能的表达式可知，动能的单位与功的单位相同，因为
1kg·(m/s)2=1(kg·m/s2)·m=1N·m=1J。
4、动能定理及其表达式
在上述三个具体问题所得结论的变换式中，我们可以看到，式子左边均为合力对物体所做的功，式子右边均为物体动能的变化。这就是说，力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理。其数学表达式为
W=Ek2－Ek1
5、关于合力的功
通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：
（1）外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。
（2）合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
6、关于动能的变化
动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量，而不一定是大的减小的，有些书上称之为“增量”。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；物体的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。
7、动能定理的适用范围
动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式v22－v12=2al推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。
值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立。动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体。
动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。
8、应用动能定理解题的一般步骤及注意点
应用动能定理解题的一般步骤是：
（1）选取研究对象，确定研究过程；
（2）分析问题受力，明确做功情况；
（3）根据初、末状态，确定初、末动能；
（4）应用动能定理，列出方程求解。
应用动能定理解题应注意以下几点：
（1）正确分析物体受力，要考虑物体所受的所有外力，包括重力。
（2）有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待。
（3）若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑也可视全过程为一整体，用动能定理解题，后者往往更为简捷。
9、动能定理的应用
（1）求变力做功；
（2）处理多过程问题．
【例题解析】
【例1】在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【解析】在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有
解得小球着地时速度的大小为。正确选项为C。
【例2】新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m2的风的电能的50%转化为电能，使推导利用上述已知量计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。
【解析】首先建立风的“柱体模型”，如图7—4所示，设经过时间t通过截面S的空气的质量为m，则有
m=ρV=ρSl=ρSvt
这部分空气的动能为。
因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为
。
代入数据得W=5.6×104W。
【例3】一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图7—5所示，则拉力F所做的功为（ ）
A．mglcosθ B．mgl(1－cosθ) C．Flcosθ D．Flθ
【解析】小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得W－mgl(1－cosθ)=0，解得W= mgl(1－cosθ)。正确选项为B。
【例4】将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
【解析】
解法一（应用牛顿第二定律与运动学公式求解）：
石头在空中做自由落体运动，落地速度
在泥潭中的运动阶段，设石头做减速运动的加速度的大小为a，则有v2=2ah
解得
由牛顿第二定律
所以泥对石头的平均阻力
N=820N。
解法二（应用动能定理分段求解）：
设石头着地时的速度为v，对石头在空中运动阶段应用动能定理，有
对石头在泥潭中运动阶段应用动能定理，有
由以上两式解得泥对石头的平均阻力
N=820N。
解法三（应用动能定理整体求解）：
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
所以，泥对石头的平均阻力
N=820N。
【例5】如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零）
A．大于v0 B．等于v0
C．小于v0 D．取决于斜面的倾角
【例6】总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢的质量为m，中途脱节。司机发现时，机车已行驶了距离l，于是立即关闭油门，除去牵引力。设列车运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们间的距离是多少？
【解析】设阻力与质量的比例系数为k，机车脱钩前的速度为v0。对车头部分，研究脱钩前后的全过程，根据动能定理有
对末节车厢，研究脱钩后的过程，根据动能定理有
由于原先列车匀速运动，所以，F=kMg
由以上三式联立解得，列车的两部分都停止时，它们间的距离是
【课后练习】
1．某物体在恒力作用下，从静止开始做直线运动，若t表示时间，l表示位移，则物体的动能（ ）
A．与t成正比 B．与t2成正比 C．与l成正比 D．与l2成正比
2．一物体在水平方向的两个平衡力（均为恒力）作用下，沿水平方向做匀速直线运动。若撤去一个水平力，且保持另一个水平力不变，则有（ ）
A．物体的动能可能减少 B．物体的动能可能不变
C．物体的动能可能增加 D．余下的那个力一定对物体作正功
3．甲、乙两个滑块以相同的初动能在同一水平面上滑行，若甲的质量大于乙的质量，两滑块与水平面间的动摩擦因数相同，则最后当它们均静止时滑行的距离（ ）
A．相等 B．甲大 C．乙大 D．无法比较
4．某运动员臂长l，将质量为m的铅球推出。铅球出手时的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则运动员对铅球做了多少功？
5．人从高h处将一质量为m的小球水平抛出，不计空气阻力，测得球落地时速度的大小为v，则人抛球时对球做了多少功？
6．质量为1kg的铁球，由离泥浆地面3m高处自由落下，陷入泥浆中30cm后静止，则重力对铁球所做的功是多少？铁球克服泥浆阻力所做的功是多少？（g取10m/s2）
7．一架小型喷气式飞机的质量为5×103kg，在跑道上从静止开始滑行时受到的发动机的牵引力为1.8×104N，设飞机在运动中的阻力是它所受重力的0.2倍，飞机离开跑道的起飞速度为60m/s，求飞机在跑道上滑行的距离。（g取10m/s2）
8．如图5—47所示，在摩擦可忽略的水平面上停着一辆小车，小车的左端放着一只箱子。在水平恒力F作用下，把箱子从小车的左端拉至右端卸下。如果一次小车被制动，另一次小车未被制动，小车可沿地面运动，在这两种情况下有（ ）
A．箱子与车面之间的摩擦力一样大 B．水平恒力F所做的功一样大
C．箱子获得的加速度一样大 D．箱子获得的动能一样大
9．自行车上坡，坡高5.0m，坡长100m，车与人共重9.8×102N，人蹬车的牵引力为78N，车在坡底的速度为5.0m/s，到坡顶时速度为3.0m/s。问：
（1）上坡过程中，自行车克服摩擦力做了多少功？
（2）如果人不用力蹬车，车在坡底速度仍为5.0m/s，自行车能上行多远？
10．质量为3×106kg的列车，在恒定的额定功率下由静止出发，运行中受到一个恒定不变的阻力作用，经过103s，行程1.2×104m后达到最大速度20m/s。求列车的额定功率和它所受到的阻力。
图7—1
F
m
l
v1
v2
图7—2
m
v1
h
v2
F
mg
m
图7—3
l
v1
v2
F
mg
FN
θ
m
l
S
图7—4
图7—5
θ
F
O
P
Q
l
h
H
图7—6
图5—47
F