第8节 机械能守恒定律
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第8节 机械能守恒定律
1、动能与势能的相互转化
教材开头的“做一做”栏目提供了这样的小实验：将小球用细线悬挂起来后在竖直平面内来回摆动，用直尺挡住细线，可以发现小球仍能摆到原先的高度。这个小实验表明，在只有重力做功的情况下，小球在运动过程中发生动能与重力势能的相互转化，而机械能的总量则保持不变。
2、只有重力做功时系统的机械能
只有重力做功时，根据动能定理，有
WG=Ek2－Ek1
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
WG=Ep1－Ep2
由以上两式可得 Ep1－Ep2=Ek2－Ek1
即 Ek2+ Ep2= Ek1+ Ep1。
这就是说，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3、只有弹力做功时系统的机械能
只有弹力做功时，根据动能定理，有
WN=Ek2－Ek1
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
WN=Ep1’－Ep2’
由以上两式可得 Ep1’－Ep2’=Ek2－Ek1
即 Ek2+ Ep2’= Ek1+ Ep1’。
这就是说，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
4、机械能守恒定律的内容及其表达式
综上所述，在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。其数学表达式为
Ek2+ Ep2+ Ep2’= Ek1+ Ep1+ Ep1’.
若以E1、E2分别表示系统初、末状态的总的机械能，则机械能守恒定律可以更简洁地表示为 E2= E1
5、对机械能守恒定律的深入理解
对机械能守恒定律，可从以下几方面加深理解：
（1）机械能守恒是能量守恒的特例：自然界存在各种不同形式的能量——机械能、内能、电能、化学能、光能、核能等。机械能包括动能和势能，势能包括重力势能和弹性势能。各种不同形式的能量可以相互转化，转化中总能量守恒，机械能守恒只是能量守恒的一种特殊情况。
（2）机械能守恒定律更为一般的叙述：一个物体系统，如果只有系统内部的重力和弹力做功，其他内力和外力都不做功，那么系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
（3）机械能守恒定律的研究对象：机械能守恒定律研究的对象是物体系统，是指系统的总机械能守恒，不是指某一个物体，单个物体无所谓机械能守恒。我们平时常说某物体的机械能守恒，只是一种习惯的说法，实际上应包括地球在内，因为物体的重力势能是物体与地球所共有的，而不是物体单独拥有的。系统的机械能是否守恒，选择研究对象很重要。例如：球从高处自由落下，碰到弹簧又弹起，以单个球为研究对象，无所谓机械能守恒。若以球和地球为一系统，球在下落至碰到弹簧前，只有重力做功，系统机械能守恒；但碰到弹簧又弹起的过程中，弹簧的弹力是系统的外力，弹力做功是外力做功，系统的机械能就不守恒。如果选取球、弹簧与地球三者组成的系统来研究，则系统的机械能守恒。
（4）机械能与其他形式的能的转化：机械运动中的动能和势能之间的转换和守恒，是更普遍的能量转化和守恒的特殊情况。当系统除重力和弹力做功外还有其他外力做功时，系统的机械能就不守恒。这时，必然有机械能和其他形式的能之间的转化，但它们的机械能和其他形式的能的总和仍保持不变。
5、判断机械能守恒的方法
判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：
（1）做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。
（2）能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。
（3）增减情况分析法：直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒。当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况（如系统的动能增加而势能减少）则无法做出定性的判断。
6、应用机械能守恒定律解题的一般步骤及表达方式
应用机械能守恒定律解题的一般步骤是：
（1）选取系统对象，确定研究过程；
（2）进行受力分析，考察守恒条件；
（3）选取零势能平面，确定初、末态机械能；
（4）运用守恒定律，列出方程求解。
根据机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：
（1）从守恒的角度：系统的初、末两状态机械能守恒，即
E2=E1
（2）从转化的角度：系统动能的增加等于势能的减少，即
△Ek=－△Ep
（3）从转移的角度：系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即 △EA=－△EB
【例题解析】
【例1】下列叙述中正确的是（ ）
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀速直线运动的物体的机械能可能守恒
C．外力对物体做功为0，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
【解析】做匀速直线运动的物体所受合力为0 ，重力以外的其它力的合力是重力的平衡力，只有当物体做水平方向的匀速直线运动时，这些力才对物体不做功，物体（严格地讲，应是物体与地球组成的系统，下同）的机械能才守恒。当物体沿除水平直线以外的任意直线运动时，重力以外的其它力的合力对物体做功，物体的机械能不再守恒。
做匀速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，如自由落体、竖直上抛、竖直下抛、平抛、斜抛等运动中，物体的机械能守恒；若重力以外的其它外力对物体做功的代数和不为0，则物体的机械能不守恒。
外力对物体做功为0时，有两种情况：若重力不做功，则其它力对物体做功的代数和也必为0，此时物体的机械能守恒（如小球在水平面内做匀速圆周运动）；若重力做功，其它外力做功的代数和必不为0，此时机械能不守恒。
可见，正确选项为B、D。
【例2】如图8—1所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一小球，将小球从与O点在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A．小球的重力势能减少 B．小球的重力势能增大
C．小球的机械能不变 D．小球的机械能减少
提示 注意研究对象——系统的选取。
【解析】小球从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，小球的重力势能逐渐减少，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增大。所以，小球减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能。对物体、弹簧和地球组成的系统而言，机械能守恒；但对小球（还包括地球）而言，机械能减少。正确选项为A、D。
【例3】以20m/s的速度将一物体竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10m/s2，试求：
（1）物体上升的最大高度；
（2）以水平地面为参考平面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置。
【解析】（1）设物体上升的最大高度为H，在物体整个上升过程中应用机械能守恒定律，有，解得m=20m。
（2）设物体重力势能和动能相等的位置距地面的高度为h，此时物体的速度为v，则有
在物体被抛出到运动至该位置的过程中应用机械能守恒定律，有
由以上两式解得m=10m。
【例4】如图8—2所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大
【解析】
解法一（利用E2=E1求解）：设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为参考平面，则铁链初态的机械能为
末态的机械能为
根据机械能守恒定律有 E2=E1
即
解得铁链刚脱离滑轮时的速度 。
解法二（利用△Ek=－△Ep求解）：如图8—3所示，铁链刚离开滑轮时，相当于原来的BB’部分移到了AA’的位置。重力势能的减少量
动能的增加量
根据机械能守恒定律有 △Ek=－△Ep
即
解得铁链刚脱离滑轮时的速度
【例5】如图8—4所示，跨过同一高度处的光滑轻小定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h=0.2m，开始时让连接A的细线与水平杆的夹角θ=53°。由静止释放A，在以后的运动过程中，A所能获得的最大速度为多少？（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2，且B不会与水平杆相碰。）
【解析】物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时获得最大速度，此时物体B的瞬时速度为0。以物体A所在水平面为参考平面，在从物体A刚被释放到物体A运动至左侧定滑轮正下方的过程中，对系统应用机械能守恒定律，有
解得A所能获得的最大速度为
m/s=1m/s。
【例6】如图8—5所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时，将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，所有摩擦均忽略不计。当A沿斜面下滑距离s后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。（设B不会与定滑轮相碰）
【解析】设细线断裂前一瞬间A和B速度的大小为v，A沿斜面下滑s的过程中，A的高度降低了ssinθ，B的高度升高了s。对A和B以及地球组成的系统，机械能守恒，有物块A机械能的减少量等于物块B机械能的增加量，即
细线断后，物块B做竖直上抛运动，物块B与地球组成的系统机械能守恒，设物块B继续上升的高度为h，有
由以上两式联立解得
故物块B上升的最大高度为
【课后练习】
1．物体在下列运动中机械能一定守恒的是（ ）
A．自由落体运动 B．在竖直方向上做匀加速直线运动
C．在竖直方向上做匀速直线运动 D．在水平方向上做匀加速直线运动
2．质量为m的小球从桌面等高处竖直上抛，桌面离地面的高度为h，小球能达到的最大高度离地面为H。若以桌面为参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为（ ）
A．mgH B．mgh C．mg(H+h) D．mg(H－h)
3．两个物体的质量之比为1︰3，它们距地面的高度之比也为1︰3。让它们自由落下，则它们落地时的动能之比为（ ）
A．1︰3 B．3︰1 C．1︰9 D．9︰1
4．一个人站在高处地面h处，抛出一个质量为m的物体，物体落地时速率为v，空气阻力不计，则人对物体所做的功为（ ）
A．mgh B．
C． D．
5．从离地高H处的A点水平抛出一质量为m的物体，抛出的初速度为v0，物体下落到离抛出点竖直距离为h的B点，如图5—53所示。试用动能定理推证物体在B点的机械能等于在A点的机械能。
6．如图5—54所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H=72m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h=37m。不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度。（g取10m/s2）
7．如图5—55所示，均匀铁链长为L，平放在距地面为h=2L的光滑水平桌面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，由于光滑挡板的限制，铁链只能竖直下落。求铁链的下端刚要触及地面时的速度。
8．如图5—56所示，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点。已知ab=1m，bc=0.2m，那么（ ）
A．整个过程中滑块动能的最大值为6J
B．整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做功6J
D．整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒
9．如图5—57所示，一艘快艇发动机的冷却水箱离水面高度为0.8m，现用导管与箱底连通到水中，要使水流进水箱，快艇的航行速度至少应达到多大？（不考虑导管对水的阻力，g取10m/s2）
10．如图5—58所示，质量均为m的物体A和B，通过跨过定滑轮的轻绳相连。斜面光滑，不计绳子与滑轮之间的摩擦，开始时物体A离地面的高度为h，物体B位于斜面的底端，用手按住物体A，物体A和B静止。撤去手后，问：
（1）物体A将要落地时的速度多大？
（2）物体A落地后，物体B由于惯性将继续沿斜面上升，则物体B在斜面上的最高点离地面的高度多大？
图8—1
O
B
A
图8－2
A
B
图8－3
A
B
L/2
L/2
B’
A’
图8－4
B
A
h
θ
图8—5
θ
B
A
图5—53
v0
A
B
h
H
图5—54
A
B
h
H
图5—55
2L
图5—56
c
30°
a
b
v
水箱
图5—57
图5—58
θ
B
A
h
1、动能与势能的相互转化
教材开头的“做一做”栏目提供了这样的小实验：将小球用细线悬挂起来后在竖直平面内来回摆动，用直尺挡住细线，可以发现小球仍能摆到原先的高度。这个小实验表明，在只有重力做功的情况下，小球在运动过程中发生动能与重力势能的相互转化，而机械能的总量则保持不变。
2、只有重力做功时系统的机械能
只有重力做功时，根据动能定理，有
WG=Ek2－Ek1
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
WG=Ep1－Ep2
由以上两式可得 Ep1－Ep2=Ek2－Ek1
即 Ek2+ Ep2= Ek1+ Ep1。
这就是说，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3、只有弹力做功时系统的机械能
只有弹力做功时，根据动能定理，有
WN=Ek2－Ek1
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
WN=Ep1’－Ep2’
由以上两式可得 Ep1’－Ep2’=Ek2－Ek1
即 Ek2+ Ep2’= Ek1+ Ep1’。
这就是说，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
4、机械能守恒定律的内容及其表达式
综上所述，在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。其数学表达式为
Ek2+ Ep2+ Ep2’= Ek1+ Ep1+ Ep1’.
若以E1、E2分别表示系统初、末状态的总的机械能，则机械能守恒定律可以更简洁地表示为 E2= E1
5、对机械能守恒定律的深入理解
对机械能守恒定律，可从以下几方面加深理解：
（1）机械能守恒是能量守恒的特例：自然界存在各种不同形式的能量——机械能、内能、电能、化学能、光能、核能等。机械能包括动能和势能，势能包括重力势能和弹性势能。各种不同形式的能量可以相互转化，转化中总能量守恒，机械能守恒只是能量守恒的一种特殊情况。
（2）机械能守恒定律更为一般的叙述：一个物体系统，如果只有系统内部的重力和弹力做功，其他内力和外力都不做功，那么系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
（3）机械能守恒定律的研究对象：机械能守恒定律研究的对象是物体系统，是指系统的总机械能守恒，不是指某一个物体，单个物体无所谓机械能守恒。我们平时常说某物体的机械能守恒，只是一种习惯的说法，实际上应包括地球在内，因为物体的重力势能是物体与地球所共有的，而不是物体单独拥有的。系统的机械能是否守恒，选择研究对象很重要。例如：球从高处自由落下，碰到弹簧又弹起，以单个球为研究对象，无所谓机械能守恒。若以球和地球为一系统，球在下落至碰到弹簧前，只有重力做功，系统机械能守恒；但碰到弹簧又弹起的过程中，弹簧的弹力是系统的外力，弹力做功是外力做功，系统的机械能就不守恒。如果选取球、弹簧与地球三者组成的系统来研究，则系统的机械能守恒。
（4）机械能与其他形式的能的转化：机械运动中的动能和势能之间的转换和守恒，是更普遍的能量转化和守恒的特殊情况。当系统除重力和弹力做功外还有其他外力做功时，系统的机械能就不守恒。这时，必然有机械能和其他形式的能之间的转化，但它们的机械能和其他形式的能的总和仍保持不变。
5、判断机械能守恒的方法
判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：
（1）做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。
（2）能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。
（3）增减情况分析法：直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒。当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况（如系统的动能增加而势能减少）则无法做出定性的判断。
6、应用机械能守恒定律解题的一般步骤及表达方式
应用机械能守恒定律解题的一般步骤是：
（1）选取系统对象，确定研究过程；
（2）进行受力分析，考察守恒条件；
（3）选取零势能平面，确定初、末态机械能；
（4）运用守恒定律，列出方程求解。
根据机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：
（1）从守恒的角度：系统的初、末两状态机械能守恒，即
E2=E1
（2）从转化的角度：系统动能的增加等于势能的减少，即
△Ek=－△Ep
（3）从转移的角度：系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即 △EA=－△EB
【例题解析】
【例1】下列叙述中正确的是（ ）
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀速直线运动的物体的机械能可能守恒
C．外力对物体做功为0，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
【解析】做匀速直线运动的物体所受合力为0 ，重力以外的其它力的合力是重力的平衡力，只有当物体做水平方向的匀速直线运动时，这些力才对物体不做功，物体（严格地讲，应是物体与地球组成的系统，下同）的机械能才守恒。当物体沿除水平直线以外的任意直线运动时，重力以外的其它力的合力对物体做功，物体的机械能不再守恒。
做匀速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，如自由落体、竖直上抛、竖直下抛、平抛、斜抛等运动中，物体的机械能守恒；若重力以外的其它外力对物体做功的代数和不为0，则物体的机械能不守恒。
外力对物体做功为0时，有两种情况：若重力不做功，则其它力对物体做功的代数和也必为0，此时物体的机械能守恒（如小球在水平面内做匀速圆周运动）；若重力做功，其它外力做功的代数和必不为0，此时机械能不守恒。
可见，正确选项为B、D。
【例2】如图8—1所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一小球，将小球从与O点在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A．小球的重力势能减少 B．小球的重力势能增大
C．小球的机械能不变 D．小球的机械能减少
提示 注意研究对象——系统的选取。
【解析】小球从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，小球的重力势能逐渐减少，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增大。所以，小球减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能。对物体、弹簧和地球组成的系统而言，机械能守恒；但对小球（还包括地球）而言，机械能减少。正确选项为A、D。
【例3】以20m/s的速度将一物体竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10m/s2，试求：
（1）物体上升的最大高度；
（2）以水平地面为参考平面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置。
【解析】（1）设物体上升的最大高度为H，在物体整个上升过程中应用机械能守恒定律，有，解得m=20m。
（2）设物体重力势能和动能相等的位置距地面的高度为h，此时物体的速度为v，则有
在物体被抛出到运动至该位置的过程中应用机械能守恒定律，有
由以上两式解得m=10m。
【例4】如图8—2所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大
【解析】
解法一（利用E2=E1求解）：设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为参考平面，则铁链初态的机械能为
末态的机械能为
根据机械能守恒定律有 E2=E1
即
解得铁链刚脱离滑轮时的速度 。
解法二（利用△Ek=－△Ep求解）：如图8—3所示，铁链刚离开滑轮时，相当于原来的BB’部分移到了AA’的位置。重力势能的减少量
动能的增加量
根据机械能守恒定律有 △Ek=－△Ep
即
解得铁链刚脱离滑轮时的速度
【例5】如图8—4所示，跨过同一高度处的光滑轻小定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h=0.2m，开始时让连接A的细线与水平杆的夹角θ=53°。由静止释放A，在以后的运动过程中，A所能获得的最大速度为多少？（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2，且B不会与水平杆相碰。）
【解析】物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时获得最大速度，此时物体B的瞬时速度为0。以物体A所在水平面为参考平面，在从物体A刚被释放到物体A运动至左侧定滑轮正下方的过程中，对系统应用机械能守恒定律，有
解得A所能获得的最大速度为
m/s=1m/s。
【例6】如图8—5所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时，将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，所有摩擦均忽略不计。当A沿斜面下滑距离s后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。（设B不会与定滑轮相碰）
【解析】设细线断裂前一瞬间A和B速度的大小为v，A沿斜面下滑s的过程中，A的高度降低了ssinθ，B的高度升高了s。对A和B以及地球组成的系统，机械能守恒，有物块A机械能的减少量等于物块B机械能的增加量，即
细线断后，物块B做竖直上抛运动，物块B与地球组成的系统机械能守恒，设物块B继续上升的高度为h，有
由以上两式联立解得
故物块B上升的最大高度为
【课后练习】
1．物体在下列运动中机械能一定守恒的是（ ）
A．自由落体运动 B．在竖直方向上做匀加速直线运动
C．在竖直方向上做匀速直线运动 D．在水平方向上做匀加速直线运动
2．质量为m的小球从桌面等高处竖直上抛，桌面离地面的高度为h，小球能达到的最大高度离地面为H。若以桌面为参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为（ ）
A．mgH B．mgh C．mg(H+h) D．mg(H－h)
3．两个物体的质量之比为1︰3，它们距地面的高度之比也为1︰3。让它们自由落下，则它们落地时的动能之比为（ ）
A．1︰3 B．3︰1 C．1︰9 D．9︰1
4．一个人站在高处地面h处，抛出一个质量为m的物体，物体落地时速率为v，空气阻力不计，则人对物体所做的功为（ ）
A．mgh B．
C． D．
5．从离地高H处的A点水平抛出一质量为m的物体，抛出的初速度为v0，物体下落到离抛出点竖直距离为h的B点，如图5—53所示。试用动能定理推证物体在B点的机械能等于在A点的机械能。
6．如图5—54所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H=72m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h=37m。不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度。（g取10m/s2）
7．如图5—55所示，均匀铁链长为L，平放在距地面为h=2L的光滑水平桌面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，由于光滑挡板的限制，铁链只能竖直下落。求铁链的下端刚要触及地面时的速度。
8．如图5—56所示，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点。已知ab=1m，bc=0.2m，那么（ ）
A．整个过程中滑块动能的最大值为6J
B．整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做功6J
D．整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒
9．如图5—57所示，一艘快艇发动机的冷却水箱离水面高度为0.8m，现用导管与箱底连通到水中，要使水流进水箱，快艇的航行速度至少应达到多大？（不考虑导管对水的阻力，g取10m/s2）
10．如图5—58所示，质量均为m的物体A和B，通过跨过定滑轮的轻绳相连。斜面光滑，不计绳子与滑轮之间的摩擦，开始时物体A离地面的高度为h，物体B位于斜面的底端，用手按住物体A，物体A和B静止。撤去手后，问：
（1）物体A将要落地时的速度多大？
（2）物体A落地后，物体B由于惯性将继续沿斜面上升，则物体B在斜面上的最高点离地面的高度多大？
图8—1
O
B
A
图8－2
A
B
图8－3
A
B
L/2
L/2
B’
A’
图8－4
B
A
h
θ
图8—5
θ
B
A
图5—53
v0
A
B
h
H
图5—54
A
B
h
H
图5—55
2L
图5—56
c
30°
a
b
v
水箱
图5—57
图5—58
θ
B
A
h