2018-2019学年高二物理粤教版选修3-1学案：第1章 第4节

第四节　电势和电势差
[学习目标]　1.知道电场力做功的特点；掌握电场力做功与电势能变化的关系.2.理解电势差、电势、等势面、电势能的概念；知道电势零点的选取原则.3.会用UAB＝φA－φB及UAB＝进行有关计算．
一、电场力做功与电势能的变化
[导学探究]　(1)如图1所示，试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中，沿直线从A移动到B，电场力做的功为多少？若q沿折线AMB从A点移动到B点，电场力做的功为多少？
图1
(2)若q沿任意曲线从A点移动到B点，电场力做的功为多少？由此可得出什么结论？
(3)电场力做功将引起什么形式的能发生变化？电场力做功与该能变化有什么关系？
答案　(1)电场力F＝qE，电场力与位移夹角为θ，电场力对试探电荷q做的功W＝F·|AB|cos θ＝qE·|AM|.在线段AM上电场力做的功W1＝qE·|AM|，在线段MB上电场力做的功W2＝0，总功W＝W1＋W2＝qE·|AM|.
(2)W＝qE·|AM|.电荷在匀强电场中经不同路径由A运动到B，电场力做功相同．说明电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关．
(3)电势能　W电＝Ep1－Ep2
[知识梳理]
1．电场力做功的特点：电场力对某电荷所做的功，与电荷经过的路径无关(填“有关”或“无关”)，只与电荷的始末位置有关，该结论在任何电场中均成立．
2．电势能：由于移动电荷时电场力做的功与移动电荷的路径无关，电荷在电场中也具有势能，这种势能叫做电势能，可用Ep表示．
3．电场力做功是电势能变化的量度，用公式表示为WAB＝EpA－EpB，即电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加．
二、电势差
[导学探究]　对于电场中固定的两点A和B，把＋q从A移到B时，电场力做功为W，当把＋2q从A移到B时，电场力做功是多少？两次移动电荷时电场力做的功与移动电荷电荷量的比值是否相同？
答案　电场力做功2W　比值相同
[知识梳理]
1．电势差：电场力做的功与所移动电荷的电荷量的比值．
公式：UAB＝.
2．物理意义：电势差反映了电场本身的性质，与移动的电荷无关．
3．单位：国际单位制中，单位是伏特，如果电场力把电荷量为1 C的电荷从A点移动到B点时所做的功是1 J，则A、B两点间的电势差就是1 V.
4．电势差是标量，但有正负之分，两点间的电势差也叫电压．
三、电势　等势面
[导学探究]　(1)把电荷q从电场中的A点移到P点，电场力做功为WAP，则AP两点间的电势差是多少？
(2)若规定P点的电势为零，则A点的电势是多少？
(3)电场中两点间的电势差与两点的电势有什么关系？
答案　(1)UAP＝　(2)φA＝　(3)UAB＝φA－φB
[知识梳理]
1．电势
(1)电势：若规定P点电势为零，则电场中任意一点A的电势，数值上等于把单位正电荷从A点移到参考点P时电场力所做的功．即φA＝，电势的单位是伏特．
(2)特点
①电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．
②电势具有相对性：一般选大地或无穷远为零电势点，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小．
(3)电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关(填“有关”或“无关”)．
(4)电势差与电势的关系：
UAB＝φA－φB.若UAB为正值，表示A点的电势比B点的电势高．若UAB为负值，表示A点的电势比B点电势低．
2．电势高低的判断：沿电场线方向电势逐渐降低．
3．等势面
(1)定义：电场中电势相等的点构成的曲面叫做等势面．
(2)特点：相邻等势面之间的电势差值相等时，等势面密集的地方，电场较强，等势面稀疏的地方电场较弱．
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)电荷从电场中的A点运动到B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同．(　×　)
(2)正电荷沿着电场线运动，电场力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，电场力对负电荷做正功．(　√　)
(3)正电荷和负电荷沿着电场线运动，电势能均减少．(　×　)
(4)电荷在电势高处具有的电势能大．(　×　)
(5)电势差与电势都是相对量，与零电势点的选取有关．(　×　)
(6)电势差是一个标量，但有正值和负值之分．(　√　)
2.如图2所示，把电荷量为－5×10－9 C的电荷，从电场中的A点移到B点，其电势能________(选填“增大”或“减小”)．若A点电势为φA＝15 V，B点电势为φB＝10 V，则电荷在A点和B点具有的电势能分别为EpA＝______ J，EpB＝________ J，此过程电场力所做的功WAB＝__________ J.
图2
答案　增大　－7.5×10－8　－5×10－8　－2.5×10－8
解析　电荷从A点移到B点，电场力做负功，电势能增大．
EpA＝qφA＝－5×10－9×15 J＝－7.5×10－8 J
EpB＝qφB＝－5×10－9×10 J＝－5×10－8 J
WAB＝EpA－EpB＝－2.5×10－8 J.
3．在某电场中，将一带电荷量为q＝＋2.0×10－9 C的点电荷从a点移到b点，电场力做功W＝－4.0×10－7 J，则a、b两点间的电势差Uab为________V.
答案　－200
一、对电势和电势差的理解
1．对电势差的进一步理解
(1)电势差的客观性：电势差虽然可以由UAB＝表示，但电势差UAB由电场本身决定，与在这两点间移动电荷q的电荷量、静电力做的功WAB均无关．
(2)电势差的绝对性：电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关．
2．电势和电势差的比较
概念
比较内容
电势φ
电势差U
区别
定义
电势能与电荷量的
比值φ＝
电场力做功与电荷量比值U＝
决定因素
由电场和在电场中的位置决定
由电场和场内两点位置决定
相对性
与零电势点的选取有关
与零电势点的选取无关
联系
数值关系
UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位
相同，均是伏特(V)，常用单位还有kV、mV等
标矢性
都是标量，但均具有正负
物理意义
均是描述电场能的性质的物理量
例1　(多选)下面关于电势、电势差和电势能的关系，正确的是(　　)
A．电荷在某点的电势能越大，该点的电势越高
B．在电场中的两点之间移动相同电荷，电场力做功越多，这两点的电势差越大
C．由于零电势点的选取是任意的，所以电场中两点间的电势差也是不确定的
D．电场中A点电势比B点高1 V，则电荷量为10－2 C的正电荷从A移到B电势能减少了10－2 J
答案　BD
解析　根据电势能的公式Ep＝qφ可知：电场中电势越高的地方，正电荷在该点具有的电势能越大，负电荷在该点具有的电势能越小，故A错误；根据公式：UAB＝，在电场中的两点之间移动电荷，电场力做功越多，这两点的电势差越大，故B正确；电势差与零电势点的选取无关，零电势点的选取是任意的，但是电场中两点间的电势差是确定的，故C错误；电场中A点电势比B点高1 V，则电荷量为10－2 C的正电荷从A移到B电场力做功
10－2 J，电势能减少了10－2 J，故D正确．
针对训练1　(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)
A．UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B．UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C．φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D．电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
答案　BD
解析　UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B对；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D对．
二、电势的计算及电势高低的判断
1．电势的计算方法
(1)把电荷从A点移到零电势点时电场力做功为WA，则φA＝.
(2)电场中A点到零电势点的电势差为UA，则φA＝UA.
2．电势高低的判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．
(2)电势差判断法：由UAB＝判定UAB的正负，然后根据UAB＝φA－φB判定A、B两点电势的高低．
例2　将一正电荷从无穷远处移入电场中M点，电势能减少了8.0×10－9 J，若将另一等量的负电荷从无穷远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10－9 J，则下列判断中正确的是(　　)
A．φM＜φN＜0 B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0 D．φM＞φN＞0
答案　C
解析　根据电势的定义式φA＝，
有φM＝＝＝.
φN＝＝＝－.
因此φN<φM<0，故C正确．
三、电场力做功与电势能、电势差的关系
例3　有一个带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服电场力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，电场力对电荷做9×10－4 J的功，问：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
答案　见解析
解析　(1)解法一：先求电势差的绝对值，再判断正、负．
|UAB|＝＝ V＝200 V，
因负电荷从A移到B克服电场力做功，必是从高电势点移到低电势点，
即φA＞φB，UAB＝200 V.
|UBC|＝＝ V＝300 V，
因负电荷从B移到C电场力做正功，必是从低电势点移到高电势点，
即φB＜φC，UBC＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
解法二：直接取代数值求．
电荷由A移到B克服电场力做功即电场力做负功，
WAB＝－6×10－4 J，
UAB＝＝ V＝200 V.
UBC＝＝ V＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200 V.
由UBC＝φB－φC，
得φC＝φB－UBC＝0－(－300) V＝300 V.
由WAB＝EpA－EpB得EpA＝WAB＋EpB＝－6×10－4 J＋0＝－6×10－4 J
由WCB＝EpC－EpB得
EpC＝WCB＋EpB＝－9×10－4 J＋0＝－9×10－4 J.
关于公式UAB＝：
(1)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，其中UAB为电场中A、B两点间的电势差，WAB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时，其他力所做的功．
(2)公式WAB＝qUAB中各量均有正负，计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA.
(3)计算时各量也可用绝对值代入，而功的正负可借助于力与移动方向间的关系确定．
针对训练2　若将一个电荷量为2.0×10－10 C的正电荷，从零电势点移到电场中M点要克服电场力做功8.0×10－9 J，则M点的电势是________V；若再将该电荷从M点移到电场中的N点，电场力做功1.8×10－8 J，则M、N两点间的电势差UMN＝________V.
答案　40　90
解析　由题意可知，从零电势点移到M点电场力做功WM＝－8×10－9 J，根据公式W＝qU可知，UM＝＝ V＝－40 V，UM＝0－φM＝－40 V，故φM＝40 V；
将该点电荷从M点再移至N点电场力做功1.8×10－8 J，根据公式W＝qU可知，
UMN＝＝ V＝90 V.
四、等势面的理解
例4　如图3所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是(　　)
图3
A．1、2两点的场强相等
B．1、3两点的场强相等
C．1、2两点的电势相等
D．2、3两点的电势相等
答案　D
1．(多选)关于电势，下列说法正确的是(　　)
A．电场中某点的电势，其大小等于单位正电荷从该点移动到零电势点时，电场力所做的功
B．电场中某点的电势与零电势点的选取有关
C．由于电势是相对的，所以无法比较电场中两点的电势高低
D．电势是描述电场能的性质的物理量
答案　ABD
解析　由电势的定义可知A正确；由于电势是相对量，电势的大小与零电势点的选取有关，故B正确；虽然电势是相对的，但电势的高低是绝对的，因此C错误；电势与电势能相联系，它是描述电场能的性质的物理量，故D正确．
2．(多选)关于对UAB＝和WAB＝qUAB的理解，正确的是(　　)
A．电场中A、B两点的电势差和两点间移动电荷的电荷量q成反比
B．在电场中A、B两点移动不同的电荷，电场力做的功WAB和电荷量q成正比
C．UAB与q、WAB无关，与是否移动电荷也没有关系
D．WAB与q、UAB无关，与电荷移动的路径无关
答案　BC
3.如图4所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9 C的正点电荷从A经B、C到达D点，则从A至D，电场力对电荷做的功为(　　)
图4
A．4.8×10－8 J B．－4.8×10－8 J
C．8.0×10－8 J D．－8.0×10－8 J
答案　B
解析　UAD＝φA－φD＝－40 V－(－10) V＝－30 V.
所以WAD＝qUAD＝1.6×10－9×(－30) J＝－4.8×10－8 J.
4．将一电荷量为－3×10－6 C的负电荷从电场中的A点移动到B点，克服电场力做了3×10－5 J的功，再将该电荷从B点移动到C点，电场力做了1.2×10－5 J的功，则A、C间的电势差为多少？电荷从A点移动到B点再从B点移动到C点的过程中，电势能变化了多少？
答案　6 V　增加了1.8×10－5 J
解析　AB间的电势差为：
UAB＝＝ V＝10 V
BC间的电势差为：UBC＝＝ V＝－4 V
所以有：UAC＝UAB＋UBC＝(10－4) V＝6 V；
电荷从A点移动到B点再从B点移动到C点的过程中，电场力做的功为
WAC＝WAB＋WBC＝(－3×10－5＋1.2×10－5) J＝－1.8×10－5 J
电场力做负功，电荷的电势能增大，增加量为1.8×10－5 J.
一、选择题(1～4题为单选题，5～10题为多选题)
1．下列关于电势高低的判断，正确的是(　　)
A．负电荷从A移到B时，静电力做正功，A点的电势一定较高
B．负电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较低
C．正电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较高
D．正电荷只在电场力作用下从静止开始，由A移到B，A点的电势一定较高
答案　D
解析　根据静电力做功和电势能变化的关系，不管是正电荷还是负电荷，只要静电力做正功，电势能就减少；只要静电力做负功，电势能就增加．正、负电荷在电势高低不同的位置具有的电势能不同，正电荷在电势高处具有的电势能大；负电荷在电势低处具有的电势能大．可以确定选项A、B、C错，D正确．
2．下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相同的是(C、D中a、b两点在两电荷连线的中垂线上且关于两电荷的连线对称)(　　)
答案　D
解析　匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相同；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，而且场强的方向相同、大小相等，故本题选D.
3.如图1，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面．A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是(　　)
图1
A．A点场强等于B点场强
B．C点电势高于B点电势
C．将电子从A点移到B点，电场力不做功
D．将质子从A点移到C点，其电势能增加
答案　C
解析　A、B两点场强大小相等，方向不同，A错；A、B两点电势相等，均高于C点电势，B错；A、B在同一等势面上，将电子从A点移到B点，电势能不变，电场力不做功，C对；由于φA＞φC，质子带正电，故由A点到C点，质子的电势能减少，D错．
4.将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图2所示，金属球表面的电势处处相等，a、b为电场中的两点，则(　　)
图2
A．a点的电势比b点的低
B．a点的电场强度比b点的小
C．带负电的电荷q在a点的电势能比在b点的小
D．带正电的电荷q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
答案　C
解析　a点所在的电场线从Q出发到不带电的金属球终止，所以a点的电势高于金属球的电势，而b点所在处的电场线从金属球发出到无穷远，所以金属球的电势高于b点的电势，故A错误；电场线的疏密表示场强的大小，故B错误；电势越高的地方，负电荷具有的电势能越小，即负电荷在a点的电势能较b点小，故C正确；正电荷在a点的电势能较b点大，则把带正电的电荷q从电势能大的a点移动到电势能小的b点，电场力做正功，故D错误．
5.如图3所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功大小比较(　　)
图3
A．WAB＞WAC B．WAD＞WAB
C．WAC＝WAD D．WAB＝WAC
答案　CD
解析　点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UAB＝UAC＝UAD，将同一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点，由功的计算公式W＝qU可得电场力做功相同，故选C、D.
6.如图4是某一点电荷形成的电场中的一条电场线，A、B是电场线上的两点，一负电荷q仅在静电力作用下以初速度v0从A向B运动并经过B点，一段时间后q以速度v又一次经过A点，且v与v0的方向相反，则以下说法中正确的是(　　)
图4
A．A、B两点的电场强度是EA＜EB
B．A、B两点的电势是φA＞φB
C．负电荷q在A、B两点的电势能EpA＜EpB
D．负电荷q先后经过A点的速度大小v0＝v
答案　BCD
解析　由于负电荷从A至B做减速运动，则静电力的方向由B→A，电场E的方向应由A→B，所以φA＞φB，EpA＜EpB，选项B、C正确．由于只有这一条电场线，不知道电场的具体分布，所以无法判断电场强度的大小，选项A错误．负电荷再回到A点时，其电势能不变，动能也不变，所以v与v0大小相等，选项D正确．
7.如图5所示，虚线a、b和c是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb和φc，且φa＞φb＞φc.一带正电的粒子射入该电场中，其运动轨迹如图中KLMN所示，可知(　　)
图5
A．粒子从K到L的过程中，电场力做负功
B．粒子从L到M的过程中，电场力做负功
C．粒子从K到L的过程中，电势能增加
D．粒子从L到M的过程中，动能减少
答案　AC
8.如图6所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知＜ .下列叙述正确的是(　　)
图6
A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加
C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服静电力做的功等于静电力对该电荷所做的功，电势能不变
答案　AD
解析　由正点电荷产生的电场的特点可知，M点的电势高，N点的电势低，所以将正的点电荷从M点移到N点，静电力做正功，电势能减小，故A对，B错；将负的点电荷由M点移到N点，克服静电力做功，电势能增加，故C错；静电力做功与路径无关，负点电荷又回到M点，则整个过程中静电力不做功，电势能不变，故D对．
9.两个带等量正电的点电荷，固定在图7中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点．一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则(　　)
图7
A．q由A向O的运动是匀加速直线运动
B．q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C．q运动到O点时的动能最大
D．q运动到O点时电势能为零
答案　BC
解析　q由A向O运动的过程中，电场力的方向始终由A指向O，但力的大小变化，所以电荷q做变加速直线运动，电场力做正功，q通过O点后在电场力的作用下做变减速运动，所以q到O点时速度最大，动能最大，电势能最小，因无限远处的电势为零，则O点的电势φ≠0，所以q在O点的电势能不为零，故选项B、C正确，选项A、D错误．
10.如图8所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设a、b所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则(　　)
图8
A．带电粒子带负电
B．a、b两点间的电势差Uab＝
C．b点场强大于a点场强
D．a点场强大于b点场强
答案　ABC
解析　带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而粒子运动到b点时动能没有增大，说明静电力做负功，又电场线竖直向下，故粒子带负电，A正确．根据动能定理有：mgh－qUab＝0，解得a、b两点间电势差为Uab＝，B正确．带电粒子由a运动到b过程中，在重力和静电力的共同作用下，先加速运动后减速运动，因为重力为恒力，所以静电力为变力，且静电力越来越大，由此可见b点场强大于a点场强，C正确，D错误．
二、非选择题
11．把带电荷量为2×10－6 C的正点电荷从无限远处移到电场中A点，要克服电场力做功8×10－8 J，若把该电荷从无限远处移到电场中B点，需克服电场力做功2×10－8 J，取无限远处电势为零．求：
(1)A点的电势；
(2)A、B两点的电势差；
(3)若把2×10－5 C的负电荷由A点移到B点电场力做的功．
答案　(1)0.04 V　(2)0.03 V　(3)－6×10－7 J
解析　(1)无限远处与A点间的电势差U∞A＝＝ V＝－0.04 V，而U∞A＝φ∞－φA，由题可知φ∞＝0，则φA＝0.04 V.
(2)无限远处与B点间的电势差U∞B＝＝ V＝－0.01 V，则U∞B＝φ∞－φB，
由题可知φ∞＝0，
则φB＝0.01 V.
则A、B两点的电势差为：
UAB＝φA－φB＝0.04 V－0.01 V＝0.03 V.
(3)电场力做的功：
W＝q′UAB＝－2×10－5×0.03 J＝－6×10－7 J.
12.如图9所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10 V，φD＝－30 V，将电荷量为q＝1.2×10－6 C的电荷在该电场中移动．
图9
(1)把这个电荷从C移到D，静电力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
答案　(1)3.6×10－5 J　(2)增加了4.8×10－5 J
解析　(1)UCD＝φC－φD＝30 V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30 J＝3.6×10－5 J.
(2)UDA＝φD－φA＝－30 V－10 V＝－40 V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40) J＝－4.8×10－5 J
所以电势能增加了4.8×10－5 J.