2018-2019学年高二物理粤教版选修3-1学案：第1章 第5节电场强度与电势差的关系

第五节　电场强度与电势差的关系
[学习目标]　1.理解在匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed，并了解其适用条件.2.会用U＝Ed或E＝解决有关问题.3.知道电场线与等势面的关系，理解在等势面上移动电荷时电场力不做功．
一、电势差与电场强度的关系
[导学探究]　如图1所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，A、B之间相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.
图1
(1)由A至B电场力做功是多少？
(2)由电场力所做的功，根据电势差的定义式计算A、B间的电势差．
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
答案　(1)电场力做功WAB＝qEd
(2)UAB＝＝＝Ed.
(3)UAC＝UAB＝Ed.
[知识梳理]
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：U＝Ed或E＝.
(2)物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
(3)适用条件
①匀强电场；
②d为两点沿电场方向的距离．
2．公式E＝的意义
(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离的比值．
(2)电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
(4)电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m.1V/m＝1 N/C.
二、电场线与等势面的关系
[导学探究]　(1)电场中A、B两点的电势相等，把电荷q从A移到B，电场力做功是多少？
(2)电荷在等势面上移动时，电场力的方向与移动速度方向的关系如何？电场线的方向与等势面有何关系？
答案　(1)零　(2)垂直　垂直
[知识梳理]　对等势面的理解
(1)等势面的特点
①在等势面上移动电荷时，电场力不做功(填“做功”或“不做功”)．
②电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱．
④任意两个等势面不相交．
(2)几种常见电场的等势面(如图2所示)
图2
①点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．
②等量异号点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线．
③等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高．
④匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)公式U＝Ed适用于所有电场．(　×　)
(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比．(　×　)
(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值．(　√　)
(4)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积．(　×　)
2.如图3所示，场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为________ V.
图3
答案　1.0
解析　U＝Edcos 60°＝1.0×102×2.0×10－2× V＝1.0 V.
一、对关系式U＝Ed和E＝的理解
1．关系式表明了电场强度与电势差的关系
(1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小．
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
2．U＝Ed的两个推论
(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等．
(2)在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等．
例1　如图4所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)

图4
A．UOP＝－10sin θ (V) B．UOP＝10sin θ (V)
C．UOP＝－10cos θ (V) D．UOP＝10cos θ (V)
答案　A
解析　由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的，沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值．根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsin θ＝－10sin θ (V)，所以A正确．
例2　如图5所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
图5
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
答案　(1)－50 V　－30 V　(2)－10 V
解析　板间场强方向水平向左，可见Q板电势最高．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势．
(1)场强E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d?＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度E′＝＝ V·m－1＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d?＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA′＝－10 V.
在应用U＝Ed时只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向我们可根据题意另作判断.
二、非匀强电场中的电势差与电场强度的关系
例3　如图6所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为(　　)
图6
A．等于35 V B．大于35 V
C．小于35 V D．等于15 V
答案　C
解析　从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜＝35 V.
U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
(1)由图7中电场线分布可知，ab段上任一点的场强都大于bc段上任一点的场强，由U＝Ed知，Uab＞Ubc.
(2)在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小(等势面越密)，场强E＝就越大．
三、关于场强的三个表达式的比较
区别
公式
物理含义
引入过程
适用范围
说明
E＝
电场强度大小的定义式
E与F、q无关，是反映某点电场的性质
一切电场
q为试探电荷的电荷量
E＝k
真空中点电荷场强的决定式
由E＝和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是点电荷
Q为场源电荷的电荷量
E＝
匀强电场中电场强度与电势差的关系
由F＝qE和W＝qU导出
匀强电场
d为沿电场方向的距离
例4　如图7所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上做一个半径为10 cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1 350 V.
图7
(1)求匀强电场的场强大小．
(2)若在圆心O处放置电荷量为10－8 C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向．(结果保留三位有效数字)
答案　(1)9 000 V/m　(2)1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上
解析　(1)由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d＝r＋＝0.15 m，
所以匀强电场场强E＝＝9 000 V/m.
(2)设正点电荷在C处产生的电场强度为E1，则
E1＝＝9×103 N/C，方向由O指向C.
C处另有匀强电场，场强E＝9×103 N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据平行四边形定则，C处合电场的场强为E′＝≈1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上．
四、等势面的特点与应用
例5　电场中等势面如图8所示，下列关于该电场描述正确的是(　　)
图8
A．A点的电场强度比C点的小
B．负电荷在A点的电势能比在C点的电势能大
C．电荷沿等势面AB移动的过程中，电场力始终不做功
D．正电荷由A移动到C，电场力做负功
答案　C
解析　由等势面与电场线密集程度的关系可知，等势面越密集的地方电场强度越大，故A点的电场强度比C点的大，A错误；负电荷在电势越高的位置电势能越小，B错误；沿等势面移动电荷，电场力不做功，C正确；正电荷由A移动到C，电场力做正功，D错误．故选C.
等势面的应用
1．利用等势面和电场线垂直以及沿电场线电势降低的特点可判断电场线的方向．
2．利用等势面的密集程度可以比较场强大小，密大疏小．
3．在等势面上移动电荷时，或者带电粒子从一个等势面运动又返回到这个等势面上时，电场力均不做功．
1．关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是(　　)
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等
C．电势降低的方向必是场强方向
D．在相同距离的两点上，电势差大的场强也大
答案　B
解析　公式E＝中，d是沿场强方向上两点的距离，由此很容易判断出A、D错，B正确；场强的方向是电势降低最快的方向，电势降低的方向不一定是场强方向，故C错．
2.如图9所示是某电场中的三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A点的电势是φA＝30 V，B点的电势φB＝－20 V，则下列说法正确的是(　　)
图9
A．C点的电势φC＝5 V
B．C点的电势φC＞5 V
C．C点的电势φC＜5 V
D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
答案　C
解析　由题图看出，AC段电场线比CB段电场线密，则AC段场强较大，根据公式U＝Ed可知，AC间电势差UAC大于CB间电势差UCB，所以 φC＜＝5 V，故C正确，A、B错误．而负电荷在电势低处电势能较大，故D错误．
3．如图10所示，沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，OA为半径逆时针转动一周，r＝OA，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正向(E方向)成θ角，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为(　　)
图10
A．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cos θ＋1) D．U＝2Er
答案　C
解析　由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，
dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C项正确．
4．空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图11所示，a、b、c、d为电场中的4个点．则(　　)
图11
A．P、Q两点处的电荷等量同号
B．a点和b点的电场强度相同
C．c点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a到c，电势能减少
答案　D
解析　根据题图可知，该电场是等量异号点电荷的电场，故A错误．根据电场的对称性，a、b两点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误．c点所在等势面离P点(正电荷)较d点所在等势面离P点近，c点的电势较高，故C错误．负电荷从a到c，电场力做正功，所以电势能减少，故D正确．
5.平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图12所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是60 V.
图12
(1)两板间的场强大小是________；
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差U12＝______.
答案　(1)1.2×103 V/m　(2)48 V
解析　(1)两板间是匀强电场，由UAB＝Ed可得两板间的场强
E＝＝＝1.2×103 V/m.
(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4 cm.
所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2 V＝48 V.
一、选择题(1～7题为单选题，8～10题为多选题)
1．下列说法正确的是(　　)
A．由公式E＝得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积
D．公式E＝只适用匀强电场
答案　D
2.如图1所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为(　　)
图1
A．竖直向下，E＝0.4 V/m
B．水平向右，E＝0.4 V/m
C．水平向左，E＝40 V/m
D．水平向右，E＝40 V/m
答案　D
解析　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确．
3．如图2所示，A、B两点相距10 cm，E＝100 V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，求A、B两点间的电势差为(　　)
图2
A．5 V 　　　 B．－5 V
C．10 V 　　　 D．－10 V
答案　B
解析　A、B两点在场强方向上的距离d＝·cos (180°－120°)＝10× cm＝5 cm.
由于φA＜φB，则根据U＝Ed得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2 V＝－5 V.
4．图3中虚线表示某一电场的等势面，cd为过O点的等势面的切线，现用非电场力将负电荷q从a点沿着aOb匀速移到b点，当电荷通过O点时，关于外力的方向，下列说法正确的是(忽略重力)(　　)
图3
A．Od方向 B．Oc方向
C．Oa方向 D．以上说法都不对
答案　D
解析　负电荷受力方向与该点场强方向相反，根据等势面的性质可知负电荷在O点受到的电场力方向应垂直于cd向左，由q匀速运动可知负电荷q受到的外力方向应垂直于cd向右，故选D.
5.如图4所示的匀强电场场强为103 N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm.则下述计算结果正确的是(　　)
图4
A．a、b之间的电势差为40 V
B．a、c之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
答案　A
解析　由U＝Ed得Uab＝103×0.04 V＝40 V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，D错误．
6．如图5所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的(　　)
图5
A．上方30 cm处 B．下方30 cm处
C．上方25 cm处 D．下方25 cm处
答案　B
解析　匀强电场的场强E＝＝ V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109× V/m＝500 V/m，故L＝0.3 m，负点电荷在L处的电场竖直向上，故该点在电场中P点的下方，B正确．
7.如图6所示，一带电粒子在电场中沿曲线AB运动，从B点穿出电场，a、b、c、d为该电场中的等势面，这些等势面都是互相平行的竖直平面，不计粒子所受重力，则(　　)
图6
A．该粒子一定带负电
B．此电场不一定是匀强电场
C．该电场的电场线方向一定水平向左
D．粒子在电场运动过程中动能不断减少
答案　D
解析　由于不能确定电场线方向，故不能确定粒子所带电性，A、C错误；等势面互相平行，故一定是匀强电场，B错误；粒子所受电场力一定沿电场线指向轨迹凹侧，而电场线和等势面垂直，由此可确定电场力一定做负功，故动能不断减少，D正确．
8.如图7所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是(　　)
图7
A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V
B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V
C．电子在C点具有的电势能为－200 eV
D．电子在C点具有的电势能为200 eV
答案　BD
解析　A板接地，则其电势为零，因为A板带正电且A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，A、B两板间场强E＝＝＝50 V/cm＝5 000 V/m，φC＝－E×dAC＝－50 V/cm×4 cm＝－200 V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，C错误，D正确．
9.如图8所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是(　　)
图8
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
答案　AD
解析　根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确．将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误．根据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确．
10．如图9所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有(　　)
图9
A．φA＞φB＞φC B．EC＞EB＞EA
C．UAB＜UBC D．UAB＝UBC
答案　ABC
解析　由电场线的方向是电势降低的方向知选项A正确．由题图中电场线的分布规律可知，电场不是匀强电场，C附近电场线稠密，B附近电场线次之，A附近电场线最稀疏，所以EC＞EB＞EA，选项B正确；由公式U＝Ed进行定性分析知：UBC＞UAB，选项C正确，D错误；故选A、B、C.
二、非选择题
11.如图10所示，在水平放置的两个平行金属板之间的匀强电场沿竖直方向，电场中A、B两点之间的连线与竖直方向的夹角为60°.把带电荷量为q＝－1.5×10－8 C的点电荷由A点移到B点，克服电场力做了4.2×10－5 J的功．若已知A点电势φA＝800 V，|AB|＝1 cm，求：
图10
(1)B点的电势．
(2)求电场强度的大小和方向．
答案　(1)－2 000 V　(2)5.6×105 V/m，方向竖直向下
解析　(1)A、B两点的电势差为
UAB＝＝ V＝2 800 V，
设B点的电势为φB，根据UAB＝φA－φB得
φB＝φA－UAB＝800 V－2 800 V＝－2 000 V.
(2)电场强度为E＝＝＝ V/m＝5.6×105 V/m，
方向竖直向下．
12．如图11所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102 V/m，极板间距离d＝5 cm，电场中C点和D点分别到A、B两板的距离均为0.5 cm，B板接地，求：
图11
(1)C、D两点的电势、两点间电势差各为多少？
(2)将点电荷q＝2×10－2 C从C点匀速移到D点时除电场力外的其它力做多少功？
答案　(1)－5.4 V　－0.6 V　－4.8 V　(2)9.6×10－2 J
解析　(1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，由U＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2 V＝0.6 V，
即φD＝－0.6 V.
由于dCB＝5 cm－0.5 cm＝4.5 cm＝4.5×10－2 m，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2 V＝－5.4 V＝φC.
所以UCD＝φC－φD＝－5.4 V－(－0.6 V)＝－4.8 V.
(2)因为点电荷匀速移动，除电场力外的其它力所做的功等于克服电场力所做的功
W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8 J＝9.6×10－2 J.
13.如图12所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：(重力加速度为g)
图12
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力大小；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移大小sm.(电场足够大)
答案　(1)正电荷　　(2)mg　(3)
解析　(1)作电场线如图(a)所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示．只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝.
(2)由图(b)知，
F合＝＝mg.
(3)由动能定理得－F合 sm＝0－mv
所以sm＝＝.