第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.认识三角形的概念及其基本要素;
2.掌握三角形三条边之间的关系.
【过程与方法】
1.通过操作对比、观察、推理、交流等活动认识三角形及其概念和表示方法,运用分类思想对三角形进行分类;
2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形的三边关系.
【情感、态度与价值观】
培养学生的符号语言表达能力,体会三角形在日常生活中的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形的三边关系.
【教学难点】
三角形三边关系的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
埃及金字塔、常见的交通标志和移动信号塔都是什么形状?在我们日常生活中还有哪些东西是三角形的?
二、合作探究
探究点1 三角形的概念
典例1 看图填空:
(1)图中共有 个三角形,它们是 ;?
(2)△BGE的三个顶点分别是 ,三条边分别是 ,三个角分别是 ;?
(3)△AEF中,顶点A所对的边是 ;?
(4)∠ACB是△ 的内角,∠ACB的对边是 .?
[解析] 根据三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角.
[答案] (1)4;△ABC,△EBG,△AEF,△CGF
(2)B,G,E;BE,EG,BG;∠B,∠BEG,∠BGE
(3)EF
(4)ACB;AB
探究点2 三角形的分类
典例2 如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形.
(1)以AB为边画三角形,能画几个?写出各三角形的名称.
(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.
[解析] (1)如图所示,以AB为边的三角形能画3个,分别是△EAB,△DAB,△CAB.
(2)△ABD是等腰三角形,△EAB,△CAB是钝角三角形.
探究点3 三角形的三边关系
典例3 已知三角形的三条边互不相等,且有两边长分别为7和9,另一条边长为偶数.
(1)请写出一个符合上述条件的第三边长.
(2)符合上述条件的三角形有多少个?
[解析] (1)第三边长是4.(答案不唯一)
(2)∵2∴m的值为4,6,8,10,12,14,共六个.
【归纳总结】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
变式训练 “佳园工艺店”打算制作一批两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有几种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问至少需要多少钱购买材料?(忽略接头)
[解析] (1)三角形的第三边x满足:7-3(2)制作这种木框的木条的长为:3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),
所以51×8=408(元).
答:至少需要408元购买材料.
三、板书设计
三角形的边
三角形
◇教学反思◇
由于初次接触三角形的相关元素,教师要注意引导学生发现三角形的三边关系,要留给学生充足的时间和空间去思考讨论,培养学生解决问题的能力.
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解三角形的高、中线、角平分线的概念;
2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线.
【过程与方法】
1.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线过程,理解三角形的高、中线、角平分线的特点以及符号语言和图形语言的表达方法;
2.培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践操作、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形的高线、中线、角平分线的概念及画法.
【教学难点】
探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程.
◇教学过程◇
一、情境导入
有一块三角形的地,小明的爸爸想种花草,妈妈想种菜.于是想平分三角形的面积,一半种花草,一半种菜,不知如何作,小明说,这还不好办,做一边的中线就行了,聪明的你,能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗?知道小明这样做的原因吗?
二、合作探究
探究点1 三角形的高
典例1 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD,BE相交于点F,连接CF.
(1)在△ABC中,AC边上的高为 ,BC边上的高为 ;?
(2)在△ABD中,AD边上的高为 ;?
(3)在△BCE中,CE边上的高为 ;?
(4)在△BCF中,BC边上的高为 ;?
(5)在△ABF中,AF边上的高为 ,BF边上的高为 .?
[解析] 三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线引垂线,顶点和垂足间的线段.
[答案] (1)BE;AD
(2)BD
(3)BE
(4)FD
(5)BD;AE
【归纳提升】锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.
变式训练 下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是( )
[答案] D
探究点2 中线的特性
典例2 三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
[解析] 根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义,知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等.
[答案] B
【技巧点拨】三角形的中线把三角形分为两个等底同高的三角形,这两个三角形的面积相等.
探究点3 三角形的角平分线
典例3 如图,CD,BE分别是△ABC的角平分线,它们相交于点I,则:
(1)∠ACD=∠ = ∠ACB,∠ABC= ∠ABE.?
(2)BI是∠ 的平分线,CI是∠ 的平分线.?
(3)若∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BIC= 度.?
(4)你能画出△ABC的第三条角平分线吗?
[解析] (1)BCD;;2.
(2)ABC;ACB.
(3)110°.
(4)连接AI并延长,即为∠BAC的角平分线.
探究点4 三角形的中线与周长
典例4 如图,AD是△ABC的中线,且AB=10 cm,AC=6 cm,求△ABD与△ACD的周长之差.
[解析] ∵AD为中线,
∴BD=CD,
∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,
∵AB=10,AC=6,
∴△ABD与△ACD的周长之差=10-6=4 cm.
变式训练 在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34 cm,△ABD的周长为30 cm,求AD的长.
[解析] 由题意得AB+AC+BC=34,AB+AD+BD=30,
∵AB=AC,BD=BC,
∴
②×2得2AB+2AD+BC=60,③
③-①得2AD=26,
∴AD=13 cm.
三、板书设计
三角形的高、中线与角平分线
三角形的高、 中线与角平分线
◇教学反思◇
通过本课时的教学要让学生认识三角形的三条重要线段的概念、图形和它们的相关特性,如三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分,三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于一点的性质,应逐步加强学生几何语言的表达能力.
11.1.3 三角形的稳定性
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解三角形的稳定性以及三角形的稳定性在实际生活中的应用.
【过程与方法】
培养动手操作、归纳概括能力,提高运用知识解题的能力,训练思维的灵活性.
【情感、态度与价值观】
感受生活中数学的美学价值,体会生活中处处有数学,体验学习数学的乐趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形的稳定性.
【教学难点】
三角形稳定性的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
三角形在我们日常生活中应用广泛,仔细观察上面一组图片,你知道有些物体的形状做成三角形的原因吗?三角形形状的物体有什么作用?
二、合作探究
探究点1 三角形的稳定性
典例1 如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是( )
A.垂线段最短 B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性
[解析] 观察图可发现图中窗钩构造了一个三角形AOB,根据三角形稳定性,可得答案.
[答案] D
变式训练 如图所示是一个起重机的示意图,在起重架中间增加了很多斜条,它所运用的几何原理是( )
A.三角形两边之和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边之差小于第三边
D.直角三角形
[答案] B
探究点2 四边形的不稳定性的应用
典例2 (1)工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶的钢架,输电线的支架等,这里运用的三角形的性质是 .?
(2)下列图形具有稳定性的有 个.?
①正方形;②长方形;③直角三角形;④平行四边形.
(3)已知四边形的四边长分别为2,3,4,5,这个四边形的四个内角的大小能否确定?
(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,工人准备再钉上两根木条,如图的两种钉法中正确的是 .?
(5)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少需要加1根木条固定,要使五边形木架不变形,至少需要加2根木条固定,要使六边形木架不变形,至少需要加3根木条固定,……,如果要使一个n边形木架不变形,至少需要加 根木条固定.?
[解析] (1)三角形的稳定性.
(2)1.
(3)不能确定.
(4)方法一.
(5)根据三角形具有稳定性,可以知道需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数.过n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形,所以,要使一个n边形木架不变形,至少需要(n-3)根木条固定.
【技巧点拨】这里是利用三角形的稳定性以及多边形的对角线解决问题,考虑到利用对角线把多边形分成三角形是解题的关键.
变式训练 如图,由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的,请你再用三条钢管连接使之稳固.(方法很多,请提供四种不同连接方法)
[解析] 根据三角形具有稳定性,将六边形分成若干个小三角形即可.
[答案] 如图所示.(答案不唯一,合理即可)
探究点3 克服四边形的不稳定性
典例3 如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.A,C两点之间
B.E,G两点之间
C.B,F两点之间
D.G,H两点之间
[解析] 用木条固定长方形窗框,即是组成三角形,故可用三角形的稳定性解释.
[答案] B
【方法点拨】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.
三、板书设计
三角形的稳定性
三角形的 稳定性
◇教学反思◇
通过对生活中三角形稳定性的探索,吸引学生的注意力,调动学生的积极性,体会数学的应用价值.
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
◇教学目标◇
【知识与技能】
应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.
【过程与方法】
通过小组学习,经历得出三角形内角和等于180°的过程,进一步提高学生利用所学知识解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形内角和定理.
【教学难点】
三角形内角和定理的推理过程.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,小学的时候我们通过度量或剪拼得到:∠A+∠B+∠ACB=180°.
现在你能用我们学习的方法给出证明吗?
二、合作探究
探究点1 三角形内角和定理
典例1
如图,在△ABC中,BD为△ABC的角平分线,如果∠A=47°,∠ADB=116°,求∠ABC和∠C的度数.
[解析] ∵∠A=47°,∠ADB=116°,
∴∠ABD=180°-47°-116°=17°,
∵BD为△ABC的角平分线,
∴∠ABC=2∠ABD=34°,
∴∠C=180°-47°-34°=99°.
变式训练
如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC=( )
A.102°
B.112°
C.115°
D.118°
[答案] D
探究点2 三角形内角和定理的应用
典例2
如图,△ABC中,∠B=65°,∠BAD=40°,∠AED=100°,∠CDE=45°,求∠CAD的度数.
[解析] 在△ABD中,∵∠B=65°,∠BAD=40°,
∴∠BDA=180°-(∠B+∠BAD)=180°-(65°+40°)=75°,
∵∠CDE=45°,
∴∠ADE=180°-(∠BDA+∠CDE)=180°-(75°+45°)=60°,
在△ADE中,∵∠AED=100°,
∴∠CAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-60°-100°=20°.
变式训练 完成下面的推理过程:
如图,在三角形ABC中,已知∠2+∠3=180°,∠1=∠A,试说明∠CFD=∠B.
解:∵∠2+∠DEF=180°(邻补角定义),∠2+∠3=180°(已知),
∴ (同角的补角相等).?
∴AC∥EF( ).?
∴∠CDF= (两直线平行,内错角相等).?
∵∠1=∠A(已知),
∴∠CDF=∠A(等量代换).
∴DF∥AB( ).?
∴∠CFD=∠B( ).?
[答案] ∠DEF=∠3;内错角相等,两直线平行;∠1;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等
探究点3 直角三角形的两锐角互余
典例3 如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是( )
A.35° B.55°
C.60° D.70°
[解析] 根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD,再根据角平分线的定义解答.
∵CD⊥BD,∠C=55°,
∴∠CBD=90°-55°=35°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°.
[答案] D
变式训练 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
[答案] B
三、板书设计
三角形的内角
三角形的内角和
◇教学反思◇
本节课主要是通过小学的探究形式,引导学生寻找做辅助线,对三角形的内角和等于180°进行严谨的证明,慢慢培养学生对证明的理解,逐步认识几何证明的必要性.在解决问题的过程中,关注学生在推理中语言使用的准确性,引导学生用规范的格式进行书写.
11.2.2 三角形的外角
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解三角形的外角的两条性质,能利用三角形的外角性质解决问题.
【过程与方法】
经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力.
【情感、态度与价值观】
通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形的外角的性质.
【教学难点】
探究三角形外角的性质,进行相关计算.
◇教学过程◇
一、情境导入
两只野狼在如图的A处发现有一只野牛离群独自在O处觅食,野狼打算用迂回的方式,一只先从A前进到B处,然后再折回在C处截住野牛返回牛群的去路D处,另一只则直接从A处扑向野牛,已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,问野狼从B处要转多少度才能直达C处?
二、合作探究
探究点1 三角形的外角
典例1 如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=25°,∠ACE=60°,则∠A=( )
A.105° B.95° C.85° D.25°
[解析] 先根据角平分线的性质求出∠ACD的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,∠ACE=60°,∴∠ACD=2∠ACE=120°.∵∠B=25°,∴∠A=120°-25°=95°.
[答案] B
变式训练 一副三角板有两个三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是( )
A.120° B.135° C.150° D.165°
[答案] D
探究点2 三角形外角的性质的应用
典例2 如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,∠A=30°,∠D=40°,求∠ACD的度数.
[解析] ∵DF⊥AB,∠D=40°,
∴∠DFB=90°,
∴∠B=90°-∠D=90°-40°=50°,
∵∠ACD是△ABC的外角,∠A=30°,
∴∠ACD=∠B+∠A=50°+30°=80°.
【技巧点拨】解决几何问题的关键是认准图形,找出图中三角形的外角,利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的性质和三角形内角和定理解决.
变式训练 如图,若∠A=27°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.110° B.115°
C.120° D.125°
[答案] A
三、板书设计
三角形的外角
三角形的外角
◇教学反思◇
本节课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开教学,在讲解外角和内角关系时层层递进,使重点得到突出;及时根据学生学习的情况进行点评和分析;对于易错问题及时讲解,此外注意指导学生总结解题思路和方法,让学生对所学知识的掌握更到位.
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解多边形的有关概念,理解正多边形和有关概念.
【过程与方法】
经历动手、作图等过程,进一步发展空间能力.
【情感、态度与价值观】
经历探索、归纳等过程,学会研究问题的方法.
◇教学重难点◇
【教学重点】
了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形和正多边形的概念.
【教学难点】
多边形定义的准确理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
请同学们回忆一下三角形的概念,并尝试说明多边形的概念.
二、合作探究
探究点1 多边形的概念
典例1 如图所示的图形中,属于多边形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
[解析] 根据多边形的定义:平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.显然只有第一个、第二个、第五个是多边形.
[答案] A
变式训练 如图,下列图形不是凸多边形的是( )
[答案] C
探究点2 正多边形的概念
典例2 我们知道各边都相等,各角都相等的多边形是正多边形,小明却说各边都相等的多边形就是正多边形,各角都相等的多边形也是正多边形,他的说法对吗?如果不对,你能举反例(画出相应图形)说明吗?
[解析] 他的说法错误.
菱形各边相等,但不是正多边形.如图,菱形ABCD的四个角不相等,不是正多边形;
矩形各个角相等,但四边不一定相等,不是正方形.
探究点3 多边形的剪切
典例3 若一个多边形截去一个角后,变成十五边形,则原来的多边形的边数可能为( )
A.14或15或16 B.15或16
C.14或16 D.15或16或17
[解析] 因为一个多边形截去一个角后,根据剪的角度、方式不同,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,依此即可解决问题.一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,则多边形的边数是14,15或16.
[答案] A
【技巧点拨】一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条.
变式训练 把一个四边形锯掉一个角,剩下的多边形是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.三角形或四边形或五边形
[答案] D
三、板书设计
多边形
多边形
◇教学反思◇
通过类比的数学思想,引导学生理解多边形的相关概念,引导学生自主探索多边形的边数与对角线的数量关系.教师应注重课堂小结,激发学生参与的主动性.
11.3.2 多边形的内角和
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
【过程与方法】
经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.
【情感、态度与价值观】
经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想.
◇教学重难点◇
【教学重点】
多边形的内角和公式与外角和公式.
【教学难点】
多边形的内角和定理的推导以及对多边形外角和的理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗?
二、合作探究
探究点1 多边形的内角和
典例1 已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是( )
A.五边形 B.六边形
C.七边形 D.八边形
[解析] 设这个多边形是n边形,内角和是(n-2)·180°,这样就得到一个关于n的方程,从而求出边数n的值.
[答案] C
变式训练 把n边形变为(n+x)边形,内角和增加了720°,则x的值为( )
A.4 B.6
C.5 D.3
[答案] A
探究点2 多边形的外角和
典例2 小鹏用家中多余的硬纸板做了一个如图所示的多边形飞镖游戏盘,则该游戏盘的内角和比外角和多( )
A.1080° B.720°
C.540° D.360°
[解析] 根据多边形的内角和公式(n-2)·180°,外角和等于360°列出算式求解即可.(8-2)×180°-360°=1080°-360°=720°.故该游戏盘的内角和比外角和多720°.
[答案] B
【方法总结】多边形的外角和与边数无关,任何多边形的外角和都是360°.
变式训练 如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
[答案] C
探究点3 正多边形的内角与外角
典例3 如果一个多边形的每一个外角都是60°,则这个多边形的边数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] D
变式训练 如图,边长相等的正方形、正六边形的一边重合,则∠1的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
[答案] C
探究点4 多边形外角的理解
典例4 如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6 m向左转60°,已知AB=BC=6 m.
(1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米?走过的路径是一个什么图形?为什么?(路径A到B到C到…)
(2)求出这个图形的内角和.
[解析] (1)∵从A点出发,每走6 m向左转60°,
∴360°÷60°=6,
∴走过的路径是一个边长为6的正六边形.
(2)正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°.
三、板书设计
多边形的内角和
多边形的内角
◇教学反思◇
通过丰富有趣的探究活动,让学生积极参与其中,充分调动学生的学习热情,使学生灵活掌握多边形内角和与外角和的概念与运用.多数学生能达到预期目的,对课上吃力的同学,课下还要及时进行进一步的关注,以后在课堂上还应充分给学生探究的时间和空间,使每一个学生均有收获.
