几何概型
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文档简介
几何概型?
一、教学目标：?
1、?知识与技能：?
（1）正确理解几何概型的概念；?（2）掌握几何概型的概率公式：?
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
2、?过程与方法：?
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、?情感态度与价值观：?
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：?
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、几何概率模型中基本事件的确定，几何“度量”的选择；将实际问题转化为几何概型.
三、教学过程?
1.回顾一下古典概型的特点及求概率的公式
特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个?(有限性)；???????????????(2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.?
2.古典概型的概率公式
P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数
练习题：在0至10中，任意取出一整数， 则该整数小于5的概率.：
问题1：在0至10中，任意取出一实数，则该数小于5的概率.
问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
2.新课探究
几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特征：（1）、无限性：基本事件的个数无限
（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同
概率公式：P(A)= 构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积)/
试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
3.课堂练习
1.下列概率问题中哪些属于几何概型？（口答）
⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。
⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。
⑷在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
解：（1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型
2.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为： .
（2）在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为： .
注：正确区分古典概型与几何概型
4.典例精析
（1）长度问题
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
解：由题意可设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
练习1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。
析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
（2）角度问题
在直角坐标系中，射线OT落在60度的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠XOT内的概率。
解：记B=射线OA落在∠XOT
所以P（B）=
练习2.如图在圆心角为900的扇形中,以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于300的概率。
解析： 记F={作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于300} ，作射线OD 、OE
使∠AOD＝ 300, ∠AOE＝ 600
（3）面积问题
取一个边长为2a的正方形及其内切圆，如图，随机地向正方形丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：记“豆子落入园内”为事件A. 则事件A发生的可能性等于
所以，豆子落入园内的概率为
练习3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 ( B )
A 4/3 B 8/3 C 2/3 D 无法计算
（4）体积问题
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,
求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。则：基本事件为体积为1升的水，
事件A体积为0.1升的水
故事件A发生的概率为：
练习4：
(1)、已知棱长为2的正方体中有一内切球O,若在正方体内任取一点，则这一点不在球
内的概率为_______.
(2)、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求
这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
5.课堂小结
用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型
(2)把基本事件转化为与之对应区域的长度（面积、体积）
(3)把随机事件A转化为与之对应区域的长度（面积、体积）
(4)利用几何概率公式计算
一、教学目标：?
1、?知识与技能：?
（1）正确理解几何概型的概念；?（2）掌握几何概型的概率公式：?
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
2、?过程与方法：?
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、?情感态度与价值观：?
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：?
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、几何概率模型中基本事件的确定，几何“度量”的选择；将实际问题转化为几何概型.
三、教学过程?
1.回顾一下古典概型的特点及求概率的公式
特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个?(有限性)；???????????????(2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.?
2.古典概型的概率公式
P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数
练习题：在0至10中，任意取出一整数， 则该整数小于5的概率.：
问题1：在0至10中，任意取出一实数，则该数小于5的概率.
问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
2.新课探究
几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特征：（1）、无限性：基本事件的个数无限
（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同
概率公式：P(A)= 构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积)/
试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
3.课堂练习
1.下列概率问题中哪些属于几何概型？（口答）
⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。
⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。
⑷在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
解：（1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型
2.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为： .
（2）在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为： .
注：正确区分古典概型与几何概型
4.典例精析
（1）长度问题
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
解：由题意可设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
练习1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。
析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
（2）角度问题
在直角坐标系中，射线OT落在60度的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠XOT内的概率。
解：记B=射线OA落在∠XOT
所以P（B）=
练习2.如图在圆心角为900的扇形中,以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于300的概率。
解析： 记F={作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于300} ，作射线OD 、OE
使∠AOD＝ 300, ∠AOE＝ 600
（3）面积问题
取一个边长为2a的正方形及其内切圆，如图，随机地向正方形丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：记“豆子落入园内”为事件A. 则事件A发生的可能性等于
所以，豆子落入园内的概率为
练习3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 ( B )
A 4/3 B 8/3 C 2/3 D 无法计算
（4）体积问题
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,
求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。则：基本事件为体积为1升的水，
事件A体积为0.1升的水
故事件A发生的概率为：
练习4：
(1)、已知棱长为2的正方体中有一内切球O,若在正方体内任取一点，则这一点不在球
内的概率为_______.
(2)、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求
这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
5.课堂小结
用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型
(2)把基本事件转化为与之对应区域的长度（面积、体积）
(3)把随机事件A转化为与之对应区域的长度（面积、体积）
(4)利用几何概率公式计算