3.3.1几何概型(优质课)
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文档简介
几何概型?
一、教学目标：?
1、?知识与技能：?
（1）正确理解几何概型的概念；?（2）掌握几何概型的概率公式：?
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
2、?过程与方法：?
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、?情感态度与价值观：?
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：?
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、几何概率模型中基本事件的确定，几何“度量”的选择；将实际问题转化为几何概型.
三、教学过程?
一、问题情境
回顾一下古典概型的特点及求概率的公式
特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个?(有限性)；???????????????(2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.?
2.古典概型的概率公式
P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数
练习题：在0至10中，任意取出一整数， 则该整数小于5的概率.：
二、新课探究
问题1：在0至10中，任意取出一实数，则该数小于5的概率.
问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特征：（1）、无限性：基本事件的个数无限
（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同
几何概型的概率公式：
P(A)= 构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积)/
试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
课堂练习
1.下列概率问题中哪些属于几何概型？（口答）
⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。
⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。
⑷在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
（1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型
2.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为： .
（2）在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为： .
注：正确区分古典概型与几何概型
1.长度问题
1、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
解：由题意可设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
练习1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。
析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
2、角度问题
2、在直角坐标系中，射线OT落在60度的终边上，
任作一条射线OA，求射线OA落在∠XOT内的概率。
解：记B=射线OA落在∠XOT
所以P（B）=
练习2.如图在圆心角为900的扇形中,以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于300的概率。
解析： 记F={作射线OC,使得∠AOC和∠BOC
都不小于300} ，作射线OD 、OE
使∠AOD＝ 300, ∠AOE＝ 600
3.面积问题
3、取一个边长为2a的正方形及其内切圆，如图，随机地向正方形丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：记“豆子落入园内”为事件A.
则事件A发生的可能性等于
所以，豆子落入园内的概率为
练习3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 ( B )
A 4/3 B 8/3 C 2/3 D 无法计算
4.体积问题
4、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,
求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。则：基本事件为体积为1升的水，
事件A体积为0.1升的水
故事件A发生的概率为：
练习4：
(1)、已知棱长为2的正方体中有一内切球O,若在正方体内任取一点，则这一点不在球
内的概率为_______.
(2)、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求
这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
5.会面问题
5: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
问题1：如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么？
6.5≤x≤7.5 -7≤y≤8
问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与y 除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？x≤y
问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与什么有关系？长度、面积、还是体积？
问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区域面积？
解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y
试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD
事件A包含的区域为阴影部分
S阴影部分=
这是一个几何概型
则，P(A)=
解：以x,y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0≤x≤5,0≤y≤5.
用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型
(2)把基本事件转化为与之对应区域的
长度（面积、体积）
(3)把随机事件A转化为与之对应区域的
长度（面积、体积）
(4)利用几何概率公式计算
课堂练习
1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是多少____. 1/16
2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点Q， 过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率是___.
3.假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站， 问等车时间不超过3分钟的概率？ 3/10
4.如图,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（ ） C
A．一样大 B. 黄、红区域大
C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定
5、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于
[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为1/6
6.在区间[1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( ) D
A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75
7.在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率.
1/6
8.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率.
1/2
9、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，
依次记为m和n，则m>n的概率为____ . 3/5
10.设在区间[0，2]中随机地取两个数， 求下列事件的概率.
(1)两个数中较大的大于1/2； 15/16
(2)两数之和大于3/4 119/128
11.甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，他们可能在某
一天的任意时刻到达，设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间
分别为3小时和5小时。
求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解析：设甲、乙到达时刻分别为x点、y点
12.已知一线段的长度为10，则：
（1）任取一点将线段分为两段，求在两段的差的绝对值在[6，8]间的概率；
解析：1）如图
（2）任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率。
解：设线段被分为三份，长度分别为x、y、10-(x+y)三边构成三角形
思考：
1：在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.
2：在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.
【1】在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交与点M,求AM解:在∠ACB内的射线CM是均匀分布的,所以射线CM作在任何位置都是等可能的.
在AB上截取AC＇=AC. 设“AM【2】在等腰Rt△ABC中,在线段AB(斜边)上任取一点M,求AM解:点M随机地落在线段AB上,故线段AB为区域D.当点M位于如图中的线段AC＇上时,AM在AB上截取AC＇=AC.于是
故AM的长小于AC的长的概率为
一、教学目标：?
1、?知识与技能：?
（1）正确理解几何概型的概念；?（2）掌握几何概型的概率公式：?
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
2、?过程与方法：?
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、?情感态度与价值观：?
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：?
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、几何概率模型中基本事件的确定，几何“度量”的选择；将实际问题转化为几何概型.
三、教学过程?
一、问题情境
回顾一下古典概型的特点及求概率的公式
特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个?(有限性)；???????????????(2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.?
2.古典概型的概率公式
P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数
练习题：在0至10中，任意取出一整数， 则该整数小于5的概率.：
二、新课探究
问题1：在0至10中，任意取出一实数，则该数小于5的概率.
问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特征：（1）、无限性：基本事件的个数无限
（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同
几何概型的概率公式：
P(A)= 构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积)/
试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
课堂练习
1.下列概率问题中哪些属于几何概型？（口答）
⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。
⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。
⑷在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
（1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型
2.（1）在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为： .
（2）在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为： .
注：正确区分古典概型与几何概型
1.长度问题
1、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
解：由题意可设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
练习1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。
析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
2、角度问题
2、在直角坐标系中，射线OT落在60度的终边上，
任作一条射线OA，求射线OA落在∠XOT内的概率。
解：记B=射线OA落在∠XOT
所以P（B）=
练习2.如图在圆心角为900的扇形中,以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于300的概率。
解析： 记F={作射线OC,使得∠AOC和∠BOC
都不小于300} ，作射线OD 、OE
使∠AOD＝ 300, ∠AOE＝ 600
3.面积问题
3、取一个边长为2a的正方形及其内切圆，如图，随机地向正方形丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：记“豆子落入园内”为事件A.
则事件A发生的可能性等于
所以，豆子落入园内的概率为
练习3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 ( B )
A 4/3 B 8/3 C 2/3 D 无法计算
4.体积问题
4、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,
求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。则：基本事件为体积为1升的水，
事件A体积为0.1升的水
故事件A发生的概率为：
练习4：
(1)、已知棱长为2的正方体中有一内切球O,若在正方体内任取一点，则这一点不在球
内的概率为_______.
(2)、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求
这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
5.会面问题
5: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
问题1：如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么？
6.5≤x≤7.5 -7≤y≤8
问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与y 除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？x≤y
问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与什么有关系？长度、面积、还是体积？
问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区域面积？
解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y
试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD
事件A包含的区域为阴影部分
S阴影部分=
这是一个几何概型
则，P(A)=
解：以x,y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0≤x≤5,0≤y≤5.
用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型
(2)把基本事件转化为与之对应区域的
长度（面积、体积）
(3)把随机事件A转化为与之对应区域的
长度（面积、体积）
(4)利用几何概率公式计算
课堂练习
1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是多少____. 1/16
2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点Q， 过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率是___.
3.假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站， 问等车时间不超过3分钟的概率？ 3/10
4.如图,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（ ） C
A．一样大 B. 黄、红区域大
C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定
5、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于
[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为1/6
6.在区间[1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( ) D
A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75
7.在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率.
1/6
8.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率.
1/2
9、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，
依次记为m和n，则m>n的概率为____ . 3/5
10.设在区间[0，2]中随机地取两个数， 求下列事件的概率.
(1)两个数中较大的大于1/2； 15/16
(2)两数之和大于3/4 119/128
11.甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，他们可能在某
一天的任意时刻到达，设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间
分别为3小时和5小时。
求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解析：设甲、乙到达时刻分别为x点、y点
12.已知一线段的长度为10，则：
（1）任取一点将线段分为两段，求在两段的差的绝对值在[6，8]间的概率；
解析：1）如图
（2）任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率。
解：设线段被分为三份，长度分别为x、y、10-(x+y)三边构成三角形
思考：
1：在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.
2：在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.
【1】在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交与点M,求AM
在AB上截取AC＇=AC. 设“AM
故AM的长小于AC的长的概率为