2018_2019高中物理第2章研究匀变速直线运动的规律2.3匀变速直线运动的规律（二）学案沪科版必修1

2.3　匀变速直线运动的规律(二)
[目标定位]　1.会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.2.会用公式v－v＝2as进行分析和计算.3.掌握三个平均速度公式及其适用条件.4.会推导Δs＝aT2并会用它解决相关问题．
一、速度位移公式的推导及应用
[问题设计]
射击时，火药在枪筒中燃烧．燃气膨胀，推动弹头加速运动．如果把子弹在枪筒中的运动看做匀加速直线运动，子弹在枪筒中运动的初速度为v0，子弹的加速度是a，枪筒长为s.试分析求解子弹射出枪口时的速度．
答案　v＝v0＋at ①
s＝v0t＋at2 ②
由①②两式联立消去中间变量t，得：
v2－v＝2as
v＝
[要点提炼]
1．匀变速直线运动的速度位移公式：v－v＝2as，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正方向，并注意各量的符号．
若v0方向为正方向，则：
(1)物体做加速运动时，加速度a取正值；做减速运动时，加速度a取负值．
(2)位移s>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，s<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反．
2．特殊情况：
当v0＝0时，v＝2as.
3．公式特点：该公式不涉及时间．
[延伸思考]
物体做匀加速运动，取初速度v0方向为正方向，应用公式v2－v＝2as求解运动位移为s时的速度v时，v有一正一负两解，两解都有意义吗？为什么？若匀减速运动呢？
答案　物体做单一方向的加速直线运动，速度不可能是负值，故正值有意义，负值无意义应舍掉．
若物体做匀减速直线运动，根据情况而定．如果物体做单方向的匀减速运动，只有正值有意义；如果物体先做减速运动，速度减到零后再反向加速运动，速度的两个解都有意义，正值与负值分别表示减速运动过程中和反向加速运动过程中位移为s时的速度．
二、中间时刻的瞬时速度与平均速度
[问题设计]
一质点做匀变速直线运动的v－t图像如图1所示．已知一段时间内的初速度为v0，末速度为vt.求：
图1
(1)这段时间内的平均速度(用v0、vt表示)．
(2)中间时刻的瞬时速度.
(3)这段位移中间位置的瞬时速度.
答案　(1)因为v－t图像与t轴所围面积表示位移，t时间内质点的位移可表示为s＝·t①
平均速度＝②
由①②两式得
＝
(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：＝.
(3)对前半位移有－v＝2a·
对后半位移有v－＝2a·
两式联立可得＝
[要点提炼]
1．中间时刻的瞬时速度＝.
2．中间位置的瞬时速度＝.
3．平均速度公式总结：
＝，适用条件：任意运动．
＝，适用条件：匀变速直线运动．
＝，适用条件：匀变速直线运动．
注意　对匀变速直线运动有＝＝.
[延伸思考]
在匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度与中间位置的瞬时速度哪一个大？
答案　如图甲、乙所示，中间位置的瞬时速度与t′对应，故有>.
三、重要推论Δs＝aT2的推导及应用
[问题设计]
物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为s1，紧接着第二个T时间内的位移为s2.试证明：s2－s1＝aT2.
答案　证明：设物体的初速度为v0
自计时起T时间内的位移
s1＝v0T＋aT2 ①
在第二个T时间内的位移
s2＝v0·2T＋a(2T)2－s1＝v0T＋aT2. ②
由①②两式得连续相等时间内的位移差为
Δs＝s2－s1＝v0T＋aT2－v0T－aT2＝aT2，
即Δs＝aT2.
[要点提炼]
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δs＝s2－s1＝aT2.
2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δs＝s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用匀变速直线运动中连续相等时间内的位移差Δs＝aT2，可求得a＝.
一、速度与位移关系的简单应用
例1　如图2所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为(　　)
图2
A．8 m/s B．12 m/s C．10 m/s D．14 m/s
答案　C
解析　由v2－v＝2as得v＝＝ m/s＝10 m/s，C正确．
二、＝＝的灵活运用
例2　一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s末的速度；
(2)质点2 s末的速度．
解析　解法一　利用平均速度公式
4 s内的平均速度＝＝，
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s
2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.
解法二　利用两个基本公式
由s＝v0t＋at2得a＝1.5 m/s2
再由vt＝v0＋at得
质点4 s末的速度v4＝(2＋1.5×4) m/s＝8 m/s
2 s末的速度v2＝(2＋1.5×2) m/s＝5 m/s
答案　(1)8 m/s　(2)5 m/s
针对训练　(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图像如图3所示，那么0～t和t～3t 两段时间内(　　)
图3
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
答案　BD
解析　两段的加速度大小分别为a1＝，a2＝，＝，A错．两段的平均速度1＝2＝，C错，D对．两段的位移s1＝vt，s2＝vt，B对．
三、对Δs＝aT2的理解与应用
例3　做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4 s的时间间隔内通过的位移分别是48 m和80 m，则这个物体的初速度和加速度各是多少？
解析　解法一　根据关系式Δs＝aT2，物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2.由于前4 s内的位移48＝v0×4＋a×42，故初速度v0＝8 m/s.
解法二　设物体的初速度和加速度分别为v0、a.
由公式s＝v0t＋at2得：
前4 s内的位移48＝v0×4＋a×42
前8 s内的位移48＋80＝v0×8＋a×82
解以上两式得v0＝8 m/s，a＝2 m/s2
解法三　物体运动开始后第2 s、第6 s时的速度分别为：
v1＝＝ m/s＝12 m/s，v2＝＝20 m/s
故物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
初速度v0＝v1－a·＝12 m/s－2×2 m/s＝8 m/s
答案　8 m/s　2 m/s2
1．(速度与位移关系的简单应用)有一长为L的列车，正以恒定的加速度过铁路桥，桥长为2L，现已知列车车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，那么，车尾过桥尾时的速度为(　　)
A．3v1－v2 B．3v2－v1
C. D.
答案　C
解析　列车车头过桥头到车头过桥尾有：
v－v＝2a·2L
车头过桥尾到车尾过桥尾有：
v－v＝2aL
由以上两式可得，v3＝ .
2．(＝＝的灵活应用)我国自行研制的“枭龙”战机已在四川某地试飞成功．假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为(　　)
A．vt B. C．2vt D．不能确定
答案　B
解析　因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则s＝t＝t＝t，B正确．
3．(对Δs＝aT2的理解和应用)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图4所示的照片，测得sAB＝15 cm，sBC＝20 cm.试问：
图4
(1)小球的加速度是多少？
(2)拍摄时小球B的速度是多少？
(3)拍摄时sCD是多少？
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m
解析　小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．
(1)由推论Δs＝aT2可知，小球加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以
sCD－sBC＝sBC－sAB
所以sCD＝2sBC－sAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m.
题组一　速度与位移关系的理解与应用
1．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s2的加速度刹车时，其刹车距离为(　　)
A．40 m B．20 m C．100 m D．4 m
答案　A
解析　已知v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，v＝0，
由v2－v＝2as得刹车距离s＝＝ m＝40 m．A正确．
2．一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为v，那么，当他的速度是时，下滑的距离是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由v2－v＝2as知v2＝2al，得l＝；当速度为时有()2＝2al1，得l1＝＝，C正确．
3．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2 m/s，则物体到达斜面底端时的速度为(　　)
A．3 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．2 m/s
答案　D
解析　由题意得v2＝2as,22＝2a·，故v＝2 m/s，D正确．
4．两个小车在同一水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶ D．2∶1
答案　B
解析　匀减速直线运动的位移最大时末速度为零，由v2－v＝2as得s＝，故＝＝()2＝，故选B.
题组二　＝＝的灵活运用
5．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动．已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，前进了25 m，在此过程中，汽车的最大速度为(　　)
A．2.5 m/s B．5 m/s
C．7.5 m/s D．10 m/s
答案　B
解析　设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，加速阶段的平均速度1＝＝
减速阶段的平均速度2＝＝
s＝1t1＋2t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得vm＝5 m/s.
6．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s 后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s停止，则物体在斜面上的位移与在水平面上的位移之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案　C
解析　设物体到达斜面底端时的速度为vt，在斜面上的平均速度1＝，在斜面上的位移s1＝1t1＝t1，在水平地面上的平均速度2＝，在水平地面上的位移s2＝2t2＝t2，所以s1∶s2＝t1∶t2＝1∶3.故选C.
7．汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t，则汽车通过的全部位移为(　　)
A.vt B.vt C.vt D.vt
答案　B
解析　方法一：汽车在匀加速过程中的平均速度为v，在匀减速过程中的平均速度也为v，故全部位移s＝vt.
方法二：汽车的v－t图像如图所示，由于图像与时间轴所围“面积”等于位移的大小，故位移s＝vt，B对．
8.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图像如图1所示．在这段时间内(　　)
图1
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案　A
解析　根据v－t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移s甲大于汽车乙的位移s乙，选项C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙，选项A正确；汽车乙的位移s乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移s，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v－t图像的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．
题组三　Δs＝aT2的理解与应用
9．一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过A、B、C三点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，小球通过AB、BC所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度分别为(　　)
A．2 m/s,3 m/s,4 m/s B．2 m/s,4 m/s,6 m/s
C．3 m/s,4 m/s,5 m/s D．3 m/s,5 m/s,7 m/s
答案　B
解析　－＝aT2，a＝ m/s2＝1 m/s2
vB＝＝ m/s＝4 m/s
由vB＝vA＋aT，得vA＝vB－aT＝(4－1×2) m/s＝2 m/s，vC＝vB＋aT＝(4＋1×2) m/s＝6 m/s，B正确．
10．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法中正确的是(　　)
A．这2 s内平均速度是2.25 m/s
B．第3 s末瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
答案　ABD
解析　这2 s内的平均速度＝＝ m/s＝2.25 m/s，A对；第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，B对；质点的加速度a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，C错，D对．
11.某次实验得到的一段纸带如图2所示(电源频率为50 Hz)，若以每五次打点的时间作为时间单位，得到图示的5个计数点，各点到标号为0的计数点的距离已量出，分别是4 cm、10 cm、18 cm、28 cm，则小车的运动性质是____________，当打点计时器打第1点时速度v1＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2.
图2
答案　匀加速直线运动　0.5　2
解析　0～1、1～2、2～3、3～4间距：s1＝4 cm，s2＝6 cm，s3＝8 cm，s4＝10 cm，连续相等相间内的位移之差： Δs1＝s2－s1＝2 cm，Δs2＝s3－s2＝2 cm，Δs3＝s4－s3＝2 cm，所以在连续相等时间内的位移之差为常数，故小车做匀加速直线运动．根据某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，有v1＝ m/s＝0.5 m/s.由Δs＝aT2得a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
题组四　综合应用
12．一个滑雪的人，从长48 m的山坡上匀变速滑下，初速度是1 m/s，末速度是5 m/s.求：
(1)滑雪人的加速度的大小；
(2)滑雪人通过这段山坡需要多长时间？
答案　(1)0.25 m/s2　(2)16 s
解析　由v2－v＝2as知a＝＝ m/s2＝0.25 m/s2
由v＝v0＋at知t＝＝ s＝16 s
13．假设飞机着陆后做匀减速直线运动，经10 s速度减为着陆时的一半，滑行了450 m，则飞机着陆时的速度为多大？着陆后30 s滑行的距离是多少？
答案　60 m/s　600 m
解析　设飞机着陆时的速度为v0，减速10 s，滑行距离s1＝t，解得v0＝60 m/s
飞机着陆后做匀减速运动的加速度大小为
a＝＝3 m/s2
飞机停止运动所用时间为t0＝＝20 s，由v－v＝2(－a)s′，得着陆后30 s滑行的距离是s′＝＝ m＝600 m
14．为了安全，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用了10 s时间通过一座长120 m的桥，过桥后的速度是14 m/s.请计算：
(1)它刚开上桥头时的速度有多大？
(2)桥头与出发点的距离多远？
答案　(1)10 m/s　(2)125 m
解析　(1)设汽车刚开上桥头的速度为v1
则有s＝t
v1＝－v2＝(－14) m/s＝10 m/s
(2)汽车的加速度a＝＝ m/s2＝0.4 m/s2
桥头与出发点的距离s′＝＝ m＝125 m