2018_2019高中物理第2章研究匀变速直线运动的规律微型专题1学案沪科版必修1

微型专题1　匀变速直线运动的规律总结
[目标定位]　1.进一步熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式和三个导出公式及其特点并能熟练应用其解决问题.2.能推导初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式.3.能熟练应用自由落体运动的规律解决问题．
一、匀变速直线运动基本公式的应用
1．两个基本公式vt＝v0＋at和s＝v0t＋at2，涉及5个量，原则上已知三个量可求另外两个量，可以解决所有的匀变速直线运动的问题．
2．逆向思维法的应用：
把末速度为0的匀减速直线运动，可以倒过来看成是初速度为0的匀加速直线运动．
3．解决运动学问题的基本思路为：审题→画过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴)→选用公式列方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．
例1　(多选)一个物体以v0＝8 m/s的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动．则(　　)
A．1 s末的速度大小为6 m/s
B．3 s末的速度为零
C．2 s内的位移大小是12 m
D．5 s内的位移大小是15 m
解析　由t＝，物体冲上最高点的时间是4 s，又根据vt＝v0＋at，物体1 s末的速度为6 m/s，A对，B错．根据s＝v0t＋at2，物体2 s内的位移是12 m,4 s内的位移是16 m，第5 s内的位移是沿斜面向下的1 m，所以5 s内的位移是15 m，C、D对．
答案　ACD
二、三个导出公式的应用
1．速度与位移的关系v－v＝2as，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往会使问题变得简单．
2．与平均速度有关的公式有＝和＝＝.其中＝普遍适用于各种运动，而＝＝只适用于匀变速直线运动．利用＝和＝可以很轻松地求出中间时刻的瞬时速度．
3．匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T内的位移差为常数，即Δs＝aT2.
例2　一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(相邻车厢连接处长度不计)，求：
(1)火车加速度的大小；
(2)这20 s内中间时刻的瞬时速度；
(3)人刚开始观察时火车速度的大小．
解析　(1)由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为a，人开始观察时火车速度大小为v0，车厢长L＝8 m，
则Δs＝aT2，8L－6L＝a×102，
解得a＝＝ m/s2＝0.16 m/s2
(2)由于＝＝＝ m/s＝5.6 m/s
(3)由－v＝2·(－a)·8L得v0＝＝7.2 m/s
[还可以：由＝v0－aT得v0＝＋aT＝(5.6＋0.16×10) m/s＝7.2 m/s]
答案　(1)0.16 m/s2　(2)5.6 m/s　(3)7.2 m/s
三、初速度为零的匀变速直线运动的比例式
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)T末、2T末、3T末…nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
(2)T内、2T内、3T内…nT内的位移之比
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……，第n个T内位移之比
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为s)
(1)通过前s、前2s、前3s…前ns时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
(2)通过前s、前2s、前3s…前ns的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
(3)通过连续相等的位移所用时间之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
注意　①以上比例成立的条件是物体做初速度为零的匀加速直线运动．②对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
例3　飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做初速度为零的匀加速直线运动．若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，则求汽车：
(1)1 s末、2 s末、3 s末瞬时速度之比；
(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比；
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比；
(4)经过连续位移，1 m末、2 m末、3 m末的瞬时速度之比；
(5)第1 m内、第2 m内、第3 m内所用时间之比．
答案　(1)1∶2∶3　(2)1∶4∶9　(3)1∶3∶5
(4)1∶∶　(5)1∶(－1)∶(－)
解析　(1)由v＝at知：v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
(2)由s＝at2得：s1∶s2∶s3＝1∶22∶32＝1∶4∶9
(3)第1 s内位移sⅠ＝a×12
第2 s内位移sⅡ＝a×22－a×12＝a×3
第3 s内位移sⅢ＝a×32－a×22＝a×5
故sⅠ∶sⅡ∶sⅢ＝1∶3∶5
(4)由v2＝2as得：v＝
得：v1′∶v2′∶v3′＝1∶∶.
(5)由s＝at2得：通过第1 m所用时间tI＝，通过第2 m所用时间tⅡ＝t2－t1＝(－1)
同理经过第3 m所用时间tⅢ＝t3－t2＝(－)
所以有tⅠ∶tⅡ∶tⅢ＝1∶(－1)∶(－)．
针对训练　做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是(　　)
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
答案　B
解析　物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)，所以由＝得，所求位移s1＝2 m.
四、自由落体运动
1．自由落体运动的基本规律
(1)速度公式：vt＝gt.
(2)位移公式：h＝gt2.
(3)速度位移公式：v＝2gh.
2．匀变速直线运动的其他规律，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的比例式同样适用于自由落体运动．
注意　若分析自由落体运动过程中的一段，则该过程是初速度不为零的匀变速直线运动，相应的速度公式和位移公式分别为vt＝v0＋gt、h＝v0t＋gt2.
例4　一个小球从H高处自由落下，经过最后200 m所用的时间是4 s，求小球下落H所用的总时间T和高度H是多少？(g取10 m/s2，空气阻力不计)
解析　法一：基本公式法
根据题意画出小球的运动示意图如图所示，其中t＝4 s，h＝200 m.
根据自由落体公式得：
H＝gT2，H－h＝g(T－t)2
得：h＝gTt－gt2，
所以T＝7 s，H＝gT2＝245 m.
法二：平均速度法
由题意得最后4 s内的平均速度为：
＝＝ m/s＝50 m/s
因为在匀变速运动中，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，所以下落至最后2 s时的瞬时速度为：vt′＝＝50 m/s.由速度公式得下落至最后2 s的时间：t′＝＝ s＝5 s
所以T＝t′＋＝5 s＋ s＝7 s，
H＝gT2＝245 m.
答案　7 s　245 m
1．熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式
(1)vt＝v0＋at　(2)s＝v0t＋at2
2．对应题目中的场景灵活选用三个导出公式
(1)v－v＝2as　(2)＝＝　(3)Δs＝aT2
3．会推导和应用初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式．
4．熟练应用匀变速直线运动的公式、推论以及比例式解决自由落体运动问题．
1．(基本公式的应用)(多选)用相同材料做成的A、B两木块的初速度之比为2∶3，它们以相同的加速度在同一粗糙水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的(　　)
A．时间之比为1∶1 B．时间之比为2∶3
C．距离之比为4∶9 D．距离之比为2∶3
答案　BC
解析　两木块以一定的初速度做匀减速直线运动直至停止，由匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at，得t＝＝－，因为加速度相同，因此运动时间之比就等于初速度之比，选项B正确；将其看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式s＝at2，知位移之比等于运动时间的平方之比，选项C正确．
2．(导出公式的应用)一物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为(　　)
A．5.5 m/s B．5 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
答案　D
解析　物体做匀减速直线运动到静止相当于反向的匀加速直线运动，停止运动前1 s内的平均速度，相当于匀加速运动第1 s内的平均速度，＝＝ m/s＝0.5 m/s.故选D.
3.(初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式)(多选)如图1所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　)
图1
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
答案　BD
解析　把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速运动．子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确．子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)．则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确．
4.(自由落体运动规律的应用)屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴己刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1 m的窗户的上、下沿，如图2所示，问：
图2
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？(g取10 m/s2)
答案　(1)3.2 m　(2)0.2 s
解析　(1)根据比例关系，从上到下相邻水滴间距离之比为1∶3∶5∶7，而2、3两滴间距离为1 m，所以总高度H＝×1 m＝3.2 m.
(2)根据h＝gt2，
代入数据得t＝＝ s＝0.8 s.
滴水时间间隔Δt＝＝0.2 s.
题组一　基本公式和导出公式的应用
1．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)，汽车行驶了36 m．汽车开始减速时的速度是(　　)
A．9 m/s B．18 m/s C．20 m/s D．12 m/s
答案　C
解析　由位移公式s＝v0t＋at2得汽车的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C正确．
2．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有(　　)
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．物体通过AB这段位移的平均速度为
D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为
答案　BCD
解析　设经过位移中点时的速度为，则对前半段的位移有2a·＝－v，对后半段的位移有2a·＝v－，联立两式得＝，选项A错误，选项B正确；对匀变速直线运动而言，总有＝＝，选项C、D正确．
3．(多选)物体由静止做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(　　)
A．第3 s内的平均速度是3 m/s
B．物体的加速度是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移是6 m
D．3 s末的速度是3.6 m/s
答案　ABD
解析　第3 s内的平均速度＝＝ m/s＝3 m/s，A正确；前3 s内的位移s3＝at，前2 s内的位移s2＝at，故Δs＝s3－s2＝at－at＝3 m，即a·32－a·22＝3 m，解得a＝1.2 m/s2，B正确；将a代入s3＝at得s3＝5.4 m，C错误；v3＝at3＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，D正确．
4．(速度与位移关系的理解与应用)如图3所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下s1后，又匀减速地在水平平面上滑过s2后停下，测得s2＝2s1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为(　　)
图3
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
答案　B
解析　设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1s1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v2＝2a2s2，
联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2.
题组二　初速度为零的匀加速直线运动的比例式
5．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为(　　)
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶∶
答案　A
解析　由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比s1∶s2∶s3＝1∶3∶5，而平均速度v＝，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确．
6．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1秒内与第2秒内位移大小之比为s1∶s2，在通过第1米时与通过第2米时的速度大小之比为v1∶v2，则(　　)
A．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
答案　B
解析　质点从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等的时间内的位移之比s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以s1∶s2＝1∶3；由v2＝2as得v1∶v2＝1∶.
7.(多选)如图2所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是(　　)
图2
A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2
B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶
C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶
D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(＋1)∶1
答案　BD
解析　方法一　根据匀变速直线运动的速度位移公式：v2＝2as，解得：v＝，因为经过B、C两点的位移比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式：L＝at和2L＝a(t1＋t2)2，联立可得：＝，故D正确，C错误．
方法二　比例关系
初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(－1)＝(＋1)∶1，D正确，C错误；前s末、前2s末、前3s末、…、前ns末的瞬时速度之比为1∶∶∶…∶，A错误，B正确．
题组三　自由落体运动
8．一石块做自由落体运动，到达地面．把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2 m，那么它在第三段时间内的位移是(　　)
A．1.2 m B．3.6 m
C．6.0 m D．10.8 m
答案　C
解析　本题中前三段相等时间T内的位移之比为s1∶s2∶s3＝1∶3∶5所以s3＝5s1，选项C正确．
9．(多选)对于自由落体运动，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内…的位移之比是1∶3∶5∶…
B．在第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度之比是1∶3∶5
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比是1∶3∶5
D．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
答案　CD
解析　根据h＝gt2可知，在前1 s内、前2 s内、前3 s内…的位移之比是1∶4∶9∶…，故A错误；
根据自由落体速度公式vt＝gt可知在1 s末、2 s末、3 s末的速度之比是1∶2∶3，故B错误；
根据平均速度定义式＝及自由落体运动在开始通过连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5可知：
在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比是1∶3∶5，故C正确；
匀变速直线运动相邻两个1 s内的位移之差为Δh＝gT2＝10 m，故D正确．
10．自由下落的物体第n秒内通过的位移比第(n－1)秒内通过的位移多(g取10 m/s2)(　　)
A．10 m B．5(2n＋1) m
C．3(n＋1) m D. m
答案　A
解析　两个连续1 s内的位移之差Δh＝gT2＝10×12 m＝10 m，A正确．
11．跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动．当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2.求：(结果保留三位有效数字)
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？
答案　(1)305 m　(2)9.85 s
解析　(1)设自由下落的高度为h，
则此时速度为v1＝
打开伞减速过程满足：v－v＝2ah′
式中v2＝5 m/s，a＝－14.3 m/s2，h′＝125 m
解得h＝180 m
所以总高度为：H＝h＋h′＝(180＋125) m＝305 m
(2)第一过程经过的时间是：t1＝＝6 s
第二过程经过的时间是：
t2＝＝ s≈3.85 s
所以总时间为t＝t1＋t2＝9.85 s
12.如图3所示，悬挂着的一根长为15 m的直杆AB，在直杆正下方5 m处有一个无底圆筒CD.若将悬线剪断，直杆通过圆筒所用的时间为2 s，求无底圆筒的竖直长度(g取10 m/s2)．
图3
答案　25 m
解析　取杆的下端B点为研究对象，
设下降5 m时B点的速度的大小为v0，
根据v＝2gh可得，
v0＝＝ m/s＝10 m/s，
直杆通过圆筒的时间是从B点进入圆筒开始，到A点离开圆筒时结束，设圆筒的竖直长度为l，
则在2 s内杆下降的距离为l＋15，由位移公式可得，
l＋15＝v0t＋gt2，
即l＋15＝10×2＋×10×22，
解得l＝25 m.