课时1 匀变速直线运动的速度公式和位移公式
[学习目标] 1.掌握匀变速直线运动的速度公式和位移公式，并会应用公式进行有关计算.2.掌握并会推导匀变速直线运动的两个推论，并能进行有关的计算.3.理解公式中各物理量的物理意义及符号的确定.
一、匀变速直线运动规律
公式
(1)速度公式：vt＝v0＋at.
(2)位移公式：s＝v0t＋at2.
二、用v－t图象求位移
在匀速直线运动的v－t图象中，图线和坐标轴所围的面积在数值上等于物体运动的位移.在匀变速直线运动的v－t图象中，图线和坐标轴所围的面积等于物体运动的位移.
1.判断下列说法的正误
(1)公式vt＝v0＋at适用于任何做直线运动的物体.(×)
(2)公式s＝v0t＋at2既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动.(√)
(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大.(×)
(4)匀变速直线运动的平均速度越大，相同时间内的位移一定越大.(√)
(5)v－t图象与t轴所围面积在数值上等于物体运动的位移.(√)
2.某质点的位移随时间的变化关系是s＝(4t＋4t2) m，则质点的初速度是v0＝______ m/s，加速度a＝______ m/s2,2 s末的速度为__________________ m/s,2 s内的位移为____________ m.
答案 4 8 20 24
一、匀变速直线运动的公式的应用
一个物体做匀变速直线运动，初速度为v0，加速度为a，运动了一段时间t，则：
(1)此时物体的瞬时速度vt如何表示？
(2)这一段时间内物体的位移s是多少？
答案 (1)由加速度的定义式a＝，整理得vt＝v0＋at
(2)由＝和＝得s＝ t＝t，把vt＝v0＋at代入得s＝v0t＋at2.
1.公式vt＝v0＋at、s＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：公式vt＝v0＋at、s＝v0t＋at2中的v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向.
一般以v0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a＞0；若为匀减速直线运动，a＜0.若vt＞0，说明vt与v0方向相同，若vt＜0，说明vt与v0方向相反.
3.两种特殊情况
(1)当v0＝0时，vt＝at，s＝at2.
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与t成正比，位移s与t2成正比.
(2)当a＝0时，vt＝v0，s＝v0t.
即加速度为零的运动是匀速直线运动，s与t成正比.
例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2 m/s2，求：
(1)第5 s末物体的速度多大？
(2)前4 s的位移多大？
(3)第4 s内的位移多大？
答案 (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m
解析 (1)第5 s末物体的速度v1＝v0＋at1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s.
(2)前4 s的位移s1＝v0t＋at2＝0＋×2×42 m＝16 m.
(3)物体第3 s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s
则第4 s内的位移s2＝v2t3＋at32＝6×1 m＋×2×12 m＝7 m.
针对训练 某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为s＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )
A.1.25 s B.2.5 s
C.3 s D.6 s
答案 A
解析 由s＝0.5t＋t2知，v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，再由速度公式vt＝v0＋at知，t＝1.25 s，选项A正确.
二、利用v－t图象求位移
例2 一质点沿s轴做直线运动，其v－t图象如图1所示.质点在t＝0时位于s0＝5 m处，开始沿s轴正方向运动.当t＝8 s时，质点在s轴上的位置为( )
图1
A.s＝3 m B.s＝8 m
C.s＝9 m D.s＝14 m
答案 B
解析 质点前4 s内沿s轴正方向运动，其位移可由v－t图象中的“面积”数值表示，则对应位移s1＝ m＝6 m，同理可得4～8 s内的位移(沿s轴负方向运动)s2＝－ m＝－3 m，又知t＝0时，质点位于s0＝5 m处，则当t＝8 s时，质点在s轴上的位置为s＝s0＋s1＋s2＝8 m，选项B正确.
1.“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；若一段时间内既有“正面积”，又有“负面积”，则“正负面积”求和，得数为正值表示位移为正，为负值表示位移为负.
2.对于其他的v－t图象，图线与时间轴所围的面积也表示位移，如图2所示阴影面积表示t时间内的位移.
图2
三、简单的刹车问题分析
例3 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动.设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离和2 s末的速度；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离和5 s末的速度.
答案 (1)30 m 10 m/s (2)40 m 0
解析 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度vt＝0，加速度a＝－5 m/s2，汽车运动的总时间t0＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故s1＝v0t1＋at12＝(20×2－×5×22) m＝30 m，
v1＝v0＋at1＝[20＋(－5)×2] m/s＝10 m/s.
(2)因为t2＝5 s>t0，所以汽车5 s时早已停止运动
故s2＝v0t0＋at02＝(20×4－×5×42) m＝40 m，
5 s末的速度为0.
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆，当速度减小到零时，车辆就会停止.解答此类问题的思路是：
(1)先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝.(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解.若t>t刹，不能盲目把时间代入，若t四、逆向思维法解题
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动.
例4 物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为( )
A.5.5 m/s B.5 m/s
C.1 m/s D.0.5 m/s
答案 D
解析 该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等.由s＝a′t12＝×1×12 m＝0.5 m，故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝＝0.5 m/s，选项D正确.
对于末速度为0的匀减速直线运动.采用逆向思维法后，速度公式和位移公式变为vt＝at，s＝at2，计算更为简洁.
1.(匀变速直线运动规律的应用)一辆沿直线匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用时5 s，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆时的速度为( )
A.2 m/s B.10 m/s C.2.5 m/s D.5 m/s
答案 D
解析 根据vt＝v0＋at，得v0＝vt－at＝15 m/s－2×5 m/s＝5 m/s，D正确.
【考点】速度与时间的关系
【题点】公式v＝v0＋at的有关计算
2.(匀变速直线运动规律的应用)飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程.飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行.已知飞机在跑道上加速前进的距离为1 600 m，所用时间为40 s，则飞机的加速度a和离地速度v分别为( )
A.2 m/s2 80 m/s B.2 m/s2 40m/s
C.1 m/s2 40 m/s D.1 m/s2 80 m/s
答案 A
解析 根据s＝at2得a＝＝ m/s2＝2 m/s2，飞机离地速度为v＝at＝2×40 m/s＝80 m/s.
3.(简单的刹车问题)一辆卡车在紧急刹车过程中的加速度的大小是5 m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10 m/s，求：
(1)刹车开始后1 s内的位移大小；
(2)刹车开始后3 s内的位移大小和3 s末的速度.
答案 (1)7.5 m (2)10 m 0
解析 (1)v0＝10 m/s，a＝－5 m/s2，t1＝1 s，s1＝v0t1＋at12
解得s1＝7.5 m.
(2)设卡车经时间t0停下
t0＝＝ s＝2 s
t2＝3 s时的位移大小等于前2 s内的位移大小
s2＝v0t0＋at02＝10 m
3 s末的速度为0.
一、选择题
考点一 匀变速直线运动规律的应用
1.根据匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋at2和s＝ t，关于做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是( )
A.加速度大的物体位移大
B.初速度大的物体位移大
C.末速度大的物体位移大
D.平均速度大的物体位移大
答案 D
解析 由s＝ t知，t一定时平均速度大的物体位移大，选项D正确.
2.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为s，则它从出发开始经过4s的位移所用的时间为( )
A. B. C.2t D.4t
答案 C
解析 由s＝at2和4s＝at′2得：t′＝2t，故C对.
3.(多选)一质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为s＝(10t－t2) m，则( )
A.质点初速度为10 m/s
B.质点的加速度大小是1 m/s2
C.2 s末的速度为6 m/s
D.在2 s末，质点在出发点西边，距出发点24 m
答案 AC
解析 由s＝v0t＋at2＝10t－t2知，v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，选项A正确，B错误；将t＝2 s代入v＝(10－2t) m/s和s＝(10t－t2) m得，2 s末速度v＝6 m/s,2 s内位移s＝16 m，为正值，故质点在出发点东边，选项C正确，D错误.
4.(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 m/s，下列叙述中正确的是( )
A.前10 s内通过的位移为10 m
B.每秒速度变化0.2 m/s
C.10 s内的平均速度为1 m/s
D.第10 s内的位移为2 m
答案 ABC
解析 由vt＝at，得a＝0.2 m/s2，故前10 s内的位移s＝at2＝×0.2×102 m＝10 m，选项A、B正确.10 s内的平均速度＝＝ m/s＝1 m/s，选项C正确.t＝10 s时，x10＝at2－a(t－1)2＝1.9 m，选项D错误.
5.(多选)物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度是6 m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下面的结论正确的是( )
A.物体零时刻的速度是3 m/s
B.物体的加速度是2 m/s2
C.任何1 s内的速度变化量都是2 m/s
D.第2 s初的瞬时速度是6 m/s
答案 BCD
解析 物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，物体在零时刻的速度v0＝v1－at1＝(6－2×1) m/s＝4 m/s，故A错误，B正确；物体在任何1 s内速度的变化量Δv＝at＝2×1 m/s＝2 m/s，故C正确；第2 s初和第1 s末是同一时刻，可知第2 s初的瞬时速度是6 m/s，故D正确.
【考点】速度与时间的关系
【题点】公式v＝v0＋at的有关计算
考点二 匀变速直线运动的v－t图象
6.质点做直线运动的速度－时间图象如图1所示，该质点( )
图1
A.在第1秒末速度方向发生了改变
B.在第2秒末加速度方向发生了改变
C.在第2秒内发生的位移为零
D.第3秒末和第5秒末的位置相同
答案 D
解析 在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误.在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误.在第2秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C错误.从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两时刻质点的位置相同，D正确.
考点三 刹车类问题
7.一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为( )
A.1∶1 B.3∶4 C.3∶1 D.4∶3
答案 B
解析 汽车的刹车时间t0＝ s＝4 s，故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为
s1＝v0t1＋at12＝20×2 m＋×(－5)×22 m＝30 m，
s2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m，
s1∶s2＝3∶4，B正确.
【考点】刹车问题及逆向思维
【题点】刹车问题中的位移计算
8.一辆汽车做匀速运动，某时刻遇到紧急情况需刹车，刹车后的第1秒内运动了8 m，第2秒内运动了4 m，关于汽车的运动和刹车过程，下列说法正确的是( )
A.汽车匀速运动时的速度是8 m/s
B.汽车刹车时的加速度大小是2 m/s2
C.汽车刹车后3秒末的加速度为0
D.汽车刹车后运动的距离是16 m
答案 C
解析 由位移时间公式可知，
v0×1＋a×12＝8 ①
v0×2＋a×22－8＝4 ②
由①②联立得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，A、B错误.
刹车减速到零所需时间t＝＝ s＝2.5 s，故刹车后3 s末的速度为零，故C正确.刹车后的运动距离为s＝v0t＋at2＝10×2.5 m－×4×2.52 m＝12.5 m，故D错误.
【考点】刹车问题及逆向思维
【题点】刹车问题中的位移计算
二、非选择题
9.(匀变速直线运动规律的应用)一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑(斜面足够长)，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)第4 s末的速度大小；
(2)运动后7 s内的位移大小；
(3)第3 s内的位移大小.
答案 (1)4.8 m/s (2)29.4 m (3)3 m
解析 (1)v4∶v5＝at4∶at5＝4∶5
则第4 s末的速度为v4＝v5＝4.8 m/s.
(2)a＝ m/s2＝1.2 m/s2
s7＝at72＝×1.2×72 m＝29.4 m.
(3)第3 s内的位移大小sⅢ＝s3－s2＝at32－at22＝(×1.2×32－×1.2×22) m＝3 m.
10.(匀变速直线运动的v－t图象)物体由静止开始在水平面上行驶，0～6 s内的加速度随时间变化的图线如图2甲所示.
图2
(1)在图乙中画出物体在0～6 s内的v－t图线；
(2)求在这6 s内物体的位移.
答案 (1)见解析图 (2)18 m
解析 (1)第1秒内为初速度为0的匀加速直线运动，末速度v1＝at＝4 m/s，v－t图象是倾斜的直线，1～4 s加速度为0，速度不变，为匀速直线运动，4～6 s初速度为第1秒的末速度v1＝4 m/s，加速度a′＝－2 m/s2，末速度v6＝v1＋a′t′＝0，图象如图所示：
(2)速度－时间图象所围成的面积代表位移，即s＝ m＝18 m.
11.(刹车问题及逆向思维)在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车.某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s.计算行驶时的安全车距至少为多少？
答案 105 m
解析 汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s
运动过程如图所示
在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为s1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为
t2＝ s＝6 s
汽车刹车后滑行的位移为s2＝v0t2＋at22＝30×6 m＋×(－5)×62 m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少应为
s＝s1＋s2＝15 m＋90 m＝105 m.
【考点】刹车问题及逆向思维
【题点】刹车问题中位移的计算
课时2 匀变速直线运动的推论公式——速度位移公式和初速度为零的比例式
[学习目标] 1.会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.2.会用公式vt2－v02＝2as进行分析和计算.3.掌握初速度为零的匀变速直线运动的几个典型的比例式.4.会用匀变速运动的公式解决落体运动问题.
速度与位移的关系式
1.公式：vt2－v02＝2as.
2.推导
速度公式vt＝v0＋at.
位移公式s＝v0t＋at2.
由以上两式可得：vt2－v02＝2as.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式vt2－v02＝2as适用于所有的直线运动.(×)
(2)确定公式vt2－v02＝2as中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的.(√)
(3)因为vt2－v02＝2as，vt2＝v02＋2as，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0.(×)
(4)在公式vt2－v02＝2as中，a为矢量，与规定的正方向相反时a取负值.(√)
2.汽车以10 m/s的速度行驶，刹车的加速度大小为3 m/s2，则它向前滑行12.5 m后的瞬时速度为________ m/s.
答案 5
一、速度位移公式的应用
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？
答案
解析 飞机起飞所用时间t＝，起飞发生的位移s＝at2＝a2＝.
1.适用范围：速度与位移的关系vt2－v02＝2as仅适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：vt2－v02＝2as是矢量式，v0、vt、a、s都是矢量，解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若加速运动，a取正值，减速运动，a取负值.
(2)s＞0，位移的方向与初速度方向相同，s＜0则为减速到0，又反向运动到计时起点另一侧的位移.
(3)vt＞0，速度的方向与初速度方向相同，vt＜0则为减速到0，又反向运动的速度.
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.
3.公式的特点：不涉及时间，v0、vt、a、s中已知三个量可求第四个量.
例1 美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统.已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：(航空母舰始终静止)
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
答案 (1)4 s (2)160 m
解析 (1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4 s.
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s.
(2)由vt2－v02＝2as得
s＝＝ m＝160 m，即航空母舰的跑道至少为160 m.
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
1.如果题目中无位移s，也不让求s，一般选用速度公式vt＝v0＋at；
2.如果题目中无末速度vt，也不让求vt，一般选用位移公式s＝v0t＋at2；
3.如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式vt2－v02＝2as.
例2 有一长为L的列车，正以恒定的加速度过铁路桥，桥长为2L，现已知列车车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，那么，车尾过桥尾时的速度为( )
A.3v1－v2 B.3v2－v1
C. D.
答案 C
解析 列车车头过桥头到车头过桥尾有：
v22－v12＝2a·2L
车头过桥尾到车尾过桥尾有：
v32－v22＝2aL
由以上两式可得，
v3＝ .
【考点】速度与位移关系的理解与应用
【题点】速度与位移关系的应用
中间位置的速度与初、末速度的关系：
在匀变速直线运动中，某段位移s的初、末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为，则＝ .(请同学们自己推导)
二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
例3 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做初速度为零的匀加速直线运动.若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，求汽车：
(1)1 s末、2 s末、3 s末瞬时速度之比；
(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比；
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比；
(4)经过连续位移，1 m末、2 m末、3 m末的瞬时速度之比；
(5)第1 m内、第2 m内、第3 m内所用时间之比.
答案 (1)1∶2∶3 (2)1∶4∶9 (3)1∶3∶5 (4)1∶∶ (5)1∶(－1)∶(－)
解析 (1)由v＝at知：v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
(2)由s＝at2得：s1∶s2∶s3＝1∶22∶32＝1∶4∶9
(3)第1 s内位移sⅠ＝a×12
第2 s内位移sⅡ＝a×22－a×12＝a×3
第3 s内位移sⅢ＝a×32－a×22＝a×5
故sⅠ∶sⅡ∶sⅢ＝1∶3∶5
(4)由v2＝2as得：v＝
得：v1′∶v2′∶v3′＝1∶∶.
(5)由s＝at2得：通过第1 m所用时间tI＝，通过第2 m所用时间tⅡ＝t2－t1＝(－1)
同理经过第3 m所用时间tⅢ＝t3－t2＝(－)
所以有tⅠ∶tⅡ∶tⅢ＝1∶(－1)∶(－).
【考点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系
【题点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系
1.初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
s1′∶s2′∶s3′∶…∶sn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1).
2.按位移等分(设相等的位移为s)的比例式
(1)前s末、前2s末、前3s末、…、前ns末的瞬时速度之比为：v1′∶v2′∶v3′∶…∶vn′＝1∶∶∶…∶.
(2)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－).
例4 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度大小；
(2)前6 s内的位移大小；
(3)第6 s内的位移大小.
答案 (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
解析 (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v6＝v4＝6 m/s
(2)由v4＝at4得a＝＝＝1 m/s2.
所以第1 s内的位移s1＝a×12 m＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比s1∶s6＝12∶62
故前6 s内小球的位移s6＝36s1＝18 m
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比sⅠ∶sⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移sⅥ＝11sⅠ＝5.5 m.
【考点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系
【题点】等时间均分的比例式
求出第1 s末的速度和第1 s内的位移，然后灵活应用初速度为零的比例式求解会比较简捷.
三、自由落体运动规律的应用
例5 如图2所示，悬挂着的一根长为15 m的直杆AB，在直杆正下方5 m处有一个无底圆筒CD.若将悬线剪断，直杆通过圆筒所用的时间为2 s，求无底圆筒的长度.(g＝10 m/s2)
图2
答案 25 m
解析 取杆的下端B点为研究对象，
设下降5 m时B点的速度的大小为vt，
根据vt2＝2gs可得，
vt＝＝ m/s＝10 m/s，
直杆通过圆筒的时间是从B点进入圆筒开始，到A点离开圆筒时结束，
设圆筒的长度为L，则在2 s内杆下降的距离为L＋l，l＝15 m，
由位移公式可得，L＋l＝vtt＋gt2，
解得L＝25 m.
自由落体运动为初速度为0、加速度为g的特殊的匀加速直线运动，故一切匀变速直线运动的规律、推论对于自由落体运动都是适用的.
(1)速度公式：vt＝gt.
(2)位移公式：s＝gt2.
(3)推论公式：vt2＝2gs.
(4)初速度为零的匀变速直线运动的所有比例式.
1.(速度—位移公式的应用)某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最小速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )
A.5 m/s B.10 m/s
C.15 m/s D.20 m/s
答案 B
解析 由vt2－v02＝2as得：
v0＝＝ m/s＝10 m/s.
2.(初速度为零的比例式)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为s1∶s2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是( )
A.s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B.s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C.s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D.s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
答案 B
3.(速度与位移关系的理解与应用)如图2所示，质量m＝0.5 kg的物体以4 m/s的速度从光滑斜面底端D点上滑做匀减速直线运动，途径A、B两点，已知物体在A点时的速度是在B点时速度的2倍，由B点再经过0.5 s物体滑到顶点C点时速度恰好为零，已知AB＝0.75 m.求：
图2
(1)物体在斜面上做匀减速直线运动的加速度大小；
(2)物体从底端D点滑到B点的位移大小.
答案 (1)2 m/s2 (2)3.75 m
解析 (1)设沿斜面向上的方向为正方向，根据运动学公式有
B→C：0－vB＝atBC，
解得a＝－2vB ①
A→B：vB2－(2vB)2＝2asAB，
解得1.5a＝－3vB2 ②
由①②得：a＝－2 m/s2，负号表示方向平行于斜面向下
(2)把a代入①得到vB＝－＝1 m/s.
物体从底端D点滑到B点的位移大小为sDB＝＝ m＝3.75 m.
【考点】速度与位移关系的理解与应用
【题点】速度与位移关系的应用
一、选择题
考点一 速度与位移关系的理解与应用
1.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m，假设汽车刹车时的速度大小为14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( )
A.7 m/s2 B.17 m/s2
C.14 m/s2 D.3.5 m/s2
答案 A
解析 设汽车开始刹车时速度的方向为正方向，由02－v02＝2as得a＝＝－7 m/s2，A正确.
2.如图1所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为( )
图1
A.8 m/s B.12 m/s C.10 m/s D.14 m/s
答案 C
解析 由vt2－v02＝2as得vt＝＝ m/s＝10 m/s，C正确.
【考点】速度与位移关系的理解与应用
【题点】速度与位移关系的应用
3.如图2所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是( )
图2
A.x B.x C.2x D.3x
答案 B
解析 由vt2－v02＝2ax′得102－52＝2ax,152－102＝2ax′；两式联立可得x′＝x，故B正确.
【考点】速度与位移关系的理解与应用
【题点】速度与位移关系的应用
4.一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑.当下滑距离为l时，速度为v，那么，当他的速度是时，下滑的距离是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由v2－v02＝2as知v2＝2al；当速度为时有()2＝2al1，得l1＝＝，C正确.
【考点】速度与位移关系的理解与应用
【题点】速度与位移关系的应用
5.如图3所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下s1后，又匀减速地在水平平面上滑过s2后停下，测得s2＝2s1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为( )
图3
A.a1＝a2 B.a1＝2a2
C.a1＝a2 D.a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1s1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v2＝2a2s2，
联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2.
【考点】速度与位移关系的理解与应用
【题点】速度与位移关系的应用
考点二 初速度为零的匀变速直线运动的比例式的应用
6.质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移之比为( )
A.1∶4∶25 B.2∶8∶7
C.1∶3∶9 D.2∶2∶1
答案 C
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C.
7.(多选)如图4所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入.若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为( )
图4
A.v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B.v1∶v2∶v3＝∶∶1
C.t1∶t2∶t3＝1∶∶
D.t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动.子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确.子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－).则子弹实际运动穿过每个木块的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确.
8.(多选)如图5所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是( )
图5
A.滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2
B.滑块到达B、C两点的速度之比为1∶
C.滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶
D.滑块通过AB、BC两段的时间之比为(＋1)∶1
答案 BD
解析 方法一 根据匀变速直线运动的速度位移公式：vt2＝2as，解得：vt＝，因为经过B、C两点的位移比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式：L＝at12和2L＝a(t1＋t2)2，联立可得：＝，故D正确，C错误.
方法二 比例关系
初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(－1)＝(＋1)∶1，D正确，C错误；前s末、前2s末、前3s末、…、前ns末的瞬时速度之比为1∶∶∶…∶，A错误，B正确.
【考点】初速度为零的匀变速直线运动的比例关系
【题点】等位移均分的比例式
考点三 自由落体运动规律的应用
9.一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2 m，那么它在第三段时间内的位移是( )
A.1.2 m B.3.6 m
C.6.0 m D.10.8 m
答案 C
解析 将该自由落体运动的时间分成了相等的三段，由其规律知：第T内、第2T内、第3T内的位移之比为sⅠ∶sⅡ∶sⅢ＝1∶3∶5，第一段时间内的位移为1.2 m，则第三段时间内的位移为s＝1.2×5 m＝6.0 m，故选C.
【考点】自由落体运动规律的应用
【题点】自由落体运动的比例式的应用
10.(多选)从不同高度做自由落体运动的甲、乙两物体，质量之比为2∶1，下落高度之比为1∶2，则( )
A.下落时间之比是1∶2
B.落地速度之比是1∶1
C.落地速度之比是1∶
D.下落过程中的加速度之比是1∶1
答案 CD
解析 由自由落体运动的规律知，自由落体运动快慢与物体的质量无关，高度h＝gt2，故t＝，故下落时间之比是1∶，选项A错误；由v＝知落地速度之比是1∶，选项B错误，C正确；自由落体运动的加速度与物体的质量无关，与高度无关，选项D正确.
【考点】自由落体运动规律的应用
【题点】自由落体运动公式的应用
二、非选择题
11.(速度位移公式的应用)长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度是多大？
(2)通过隧道所用的时间是多少？
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s
解析 (1)s＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v1＝10 m/s，
v2＝12 m/s，由vt2－v02＝2as得，
加速度a＝＝0.02 m/s2.
(2)由vt＝v0＋at得
所用时间为t＝＝ s＝100 s.
12.(速度位移公式的应用)小汽车在嘉峪关至山丹高速公路上行驶限速为120 km/h，冬天大雾天气的时候高速公路经常封路，以免发生严重的交通事故.如果某人大雾天开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为50 m，该人的反应时间为0.5 s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5 m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是多大？
答案 20 m/s
解析 设汽车行驶的最大速度大小是v，发现危险目标时，在反应时间内s1＝vt＝0.5 s·v；刹车过程中，由v末2－v初2＝2as，代入数据得0－v2＝2×(－5 m/s2)s2，解得s2＝.为安全行驶s1＋s2＝50 m，即0.5 s·v＋＝50 m，解得v＝20 m/s，v′＝－25 m/s(舍去).
13.(自由落体运动规律的应用)跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当速度达到50 m/s时打开降落伞，伞张开后运动员就以5 m/s2的加速度做匀减速运动，到达地面时速度为5 m/s，求：(g＝10 m/s2)
(1)运动员做自由落体运动的时间；
(2)运动员做匀减速运动的时间；
(3)运动员离开飞机时距地面的高度.
答案 (1)5 s (2)9 s (3)372.5 m
解析 (1)设自由落体运动所用时间是t1，由自由落体运动规律得：
由v1＝gt1
解得：t1＝＝ s＝5 s
(2)设运动员做匀减速运动的时间为t2，则
t2＝＝ s＝9 s.
(3)运动员自由下落的高度s1＝gt12
得s1＝125 m.
设打开降落伞后下落高度为s2
v22－v12＝2as2
解得：s2＝ m＝247.5 m
总高度s＝s1＋s2＝372.5 m.
