高中物理第五章曲线运动复习与巩固（提高）学案新人教版必修2
文档属性
| 名称 | 高中物理第五章曲线运动复习与巩固（提高）学案新人教版必修2 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 675.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2018-09-03 19:45:11 | ||
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文档简介
曲线运动复习与巩固
【学习目标】
1． 知道物体做曲线运动的条件及特点，会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析。 2．了解合运动、分运动及其关系，特点。知道运动的合成和分解，理解合成和分解遵循平行四边形法则。 3．知道什么是抛体运动，理解平抛运动的特点和规律，熟练掌握分析平抛运动的方法。了解斜抛运动及其特点。 4．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。 5．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。能正确处理竖直平面内的圆周运动。 6．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、曲线运动
（1）曲线运动的速度方向
曲线运动的速度方向是曲线切线方向，其方向时刻在变化，所以曲线运动是变速运动，一定具有加速度。
（2）曲线运动的处理方法
曲线运动大都可以看成为几个简单的运动的合运动，将其分解为简单的运动后，再按需要进行合成，便可以达到解决问题的目的。
（3）一些特别关注的问题
①加速曲线运动、减速曲线运动和匀速率曲线运动的区别
加速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹锐角
减速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹钝角
匀速率曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向成直角
注意：匀速率曲线运动并不一定是圆周运动，即合外力的方向总是跟速度方向垂直，物体不一定做圆周运动。
②运动的合成和分解与力的合成和分解一样，是基于一种重要的物理思想：等效的思想。
也就是说，将各个分运动合成后的合运动，必须与实际运动完全一样。
③运动的合成与分解是解决问题的手段
具体运动分解的方式要由解决问题方便而定，不是固定不变的。
④各个分运动的独立性是基于力的独立作用原理
也就是说，哪个方向上的受力情况和初始条件，决定哪个方向上的运动情况。
要点二、抛体运动
（1）抛体运动的性质
所有的抛体运动都是匀变速运动，加速度是重力加速度。其中的平抛运动和斜抛运动是匀变速曲线运动。
（2）平抛运动的处理方法
通常分解为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体（或上抛运动或下抛运动）。
（3）平抛运动的物体，其飞行时间仅由抛出点到落地点的高度决定，与抛出时的初速度大小无关。
而斜抛物体的飞行时间、水平射程与抛出时的初速度的大小和方向都有关系。
（4）运动规律及轨迹方程
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动：
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：，即，
方向：v与水平方向夹角为
合位移：大小：，即，
方向：S与水平方向夹角为
一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示
要点三、圆周运动
（1）描写圆周运动的物理量
圆周运动是人们最熟悉的、应用最广泛的机械运动，它是非匀变速曲线运动。要理解描写它的各个物理量的意义：如线速度、角速度、周期、转速、向心加速度。速度方向的变化和向心加速度的产生是理解上的重点和关键。
（2）注重理解圆周运动的动力学原因
圆周运动实际上是惯性运动和外力作用这一对矛盾的统一。
（3）圆周运动的向心力
圆周运动的向心力可以是重力、万有引力、弹力、摩擦力以及电磁力等某种性质的力; 可以是单独的一个力或几个力的合力，还可以认为是某个力的分力；向心力是按效果命名的；
注意：匀速圆周运动和变速圆周运动的区别：
匀速圆周运动的物体受到的合外力完全用来提供向心力，而在变速圆周运动中向心力是合外力的一个分量，合外力沿着切线方向的分量改变圆周运动速度的大小。
（4）向心运动和离心运动
注意需要的向心力和提供的向心力之不同，如是质量为m的物体做圆周运动时需要向心力的大小；提供的向心力是实实在在的相互作用力。需要的向心力和提供的向心力之间的关系决定着物体的运动情况，即决定着物体是沿着圆周运动还是离心运动或者向心运动。
向心运动和离心运动已经不是圆周运动，圆周运动的公式已经不再适用。
（5）解决圆周运动的方法
解决圆周运动的方法就是解决动力学问题的一般方法，学习过程中要特别注意方法的迁移和圆周运动的特点。
（6）一些特别关注的问题
①同一个转动物体上的各点的角速度相同；皮带传动、链条传动以及齿轮传动时，各轮边缘上的点的线速度大小相等。
这一结论对于解决圆周运动的运动学问题很有用处，要注意理解和应用。
②对于线速度与角速度关系的理解
公式 ，是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，某一时刻的线速度、角速度与向心加速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动中的任意一个状态。
③一些临界状态
1)细线约束小球在竖直平面内的变速圆周运动
恰好做圆周运动时，在最高点处重力提供向心力，它的速度值。
2)轻杆约束小球在竖直平面内做变速圆周运动
a、最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；
b、在最高点处的速度是时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力；球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力，球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
3)在静摩擦力的约束下，物体在水平圆盘做圆周运动时：
物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。
④圆周运动瞬时变化的力
物体由直线轨道突然进入圆周轨道时，物体与轨道间的作用力会突然变化。物体在轨道上做变速圆周运动时，物体受到弹力的大小和它的速度的大小有一定的关系，在有摩擦力作用的轨道上，速度的变化往往会引起摩擦力的变化，应引起足够的注意。
【典型例题】
类型一、运动的合成和分解
例1、如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s．为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )
A． B． C．2m/s D．4m/s
【思路点拨】解决渡河问题时，要先弄清合运动和分运动．
【解析】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向对岸危险区上游即可，但对应最小值应为刚好指向对岸危险区边缘，如图所示．
，．
则，所以C正确．
【答案】C
【总结升华】由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动．一般只讨论时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短，此时以船速渡河；二是渡河位移最小，此时以合速度渡河．
类型二、平抛运动
例2、如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M＝km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g)
(1)求小物块下落过程中的加速度大小；
(2)求小球从管口抛出时的速度大小；
(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于．
【思路点拨】分析清楚M与m在各阶段的运动是关键。
【解析】(1)设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律，Mg-T＝Ma，
T-mgsin 30°＝ma，
且M＝km，
解得．
(2)设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0．
根据牛顿第二定律-mg sin 30°＝ma0．
M做匀变速直线运动，，
M落地后，m做匀变速直线运动，．
解得 （k>2）
(3)平抛运动x＝v0t，
．
解得．
则，得证．
【总结升华】对于此类题目，分析清楚相关联的两个物体之间的运动制约关系是关键。
例3、如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角为37°，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L＝15 m处同时以速度v2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是(sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2)( )
A．v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3s
B．v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2 s
C．v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3 s
D．v1＝20 m/s，v2＝16 m/s．t＝2 s
【思路点拨】A做平抛，B做匀速直线运动，经过相同时间到达同一位置。
【答案】C
【解析】物体B做匀速直线运动，故． ①
而物体A做平抛运动在水平方向有：
． ②
在竖直方向上有：
． ③
联立②③得：
，则3v1＝20t，故只有C选项满足条件．
【总结升华】此题涉及了平抛运动的规律和相遇的条件，考查了学生的综合分析能力．
举一反三
【高清课程：曲线运动复习与巩固 例1】
【变式】水平抛出一个小球，经过一段时间球速与水平方向成450角，再经过1秒球速与水平方向成600角，求小球的初速大小。
【答案】
举一反三
【变式】甲、乙两人在一幢楼的三楼窗口比赛掷垒球，他们都尽力掷出同样的垒球，不计空气阻力。甲掷出的水平距离正好是乙的两倍。若乙要想水平掷出相当于甲在三楼窗口掷出的距离，则乙应（ ）
A．在5楼窗口水平掷出 B．在6楼窗口水平掷出
C．在9楼窗口水平掷出 D．在12楼窗口水平掷出
【思路点拨】运用平抛运动的射程并注意到不同楼层的高度关系，问题得到解决。
【答案】C
【解析】由平抛运动的规律 垒球落地的水平距离是
设每一层楼的高度是h，当甲、乙分别从三楼抛出时，
解得
如乙在更高的楼层是抛出垒球且与甲的水平位移相同，则
将此式与比较可得，即乙需要从第9层楼上抛出垒球。
类型三、圆周运动中的临界问题
例4、如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别同定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2 m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°和45°．问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?(g取10 m/s2)．
【思路点拨】角速度太小，B绳松弛；角速度太大，A绳松弛。
【解析】两绳张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．
(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
，
，
联立解得2.40 rad/s．
(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则F1已为零，设此时的角速度为ω2，
则有，
，
联立解得ω2＝3.16 rad/s．
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s．
【总结升华】运用极限思想解圆周运动中临界问题的基本方法：先利用极限分析法判定物体可能的状态，进行正确的受力分析，再根据题目对具体问题的设计确定物体做圆周运动的圆心和半径，做圆周运动的物体若满足，则可由牛顿第二定律和向心力公式建立方程解题．
类型四、圆周运动中的动力学问题
例5、如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动．问：
(1)若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴所受的力；
(2)在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力的情况?如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大?
【解析】(1)令A球质量为mA，B球质量为mB，则mA＝m，mB＝3m．当A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，说明此时A球的重力提供向心力，则有mAg＝，所以．
又因为A、B两球固定在同一杆上，因此．设此时OB杆对B球的拉力为FT，则有，所以FT＝9mg．
对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则F＝FT＝9mg．由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉力为9mg，方向竖直向下．
(2)若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为，转动角速度为ω，由牛顿第二定律可得：
， ① ， ②
由①－②得：m1g+m2g＝(m1L1-m2L2)ω2， ③
从上式可见，只有当m1L1＞m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球．
由③式代入已知条件可得：(3m+m)g＝(3m·2L-mL)ω2，所以．
由上述分析可得，当杆处于竖直位置，B球在最高点，且时，水平轴不受力，此时有，．
【总结升华】本题中要注意研究对象的转换，分析轴受的作用力，先应分析小球的受力，而后用牛顿第三定律分析．
例6、如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件?在运动过程中，球对圆筒的压力多大?
【思路点拨】要使两球在圆周最高点相碰，则它们运动到最高点所用时间相同。
【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得
，求得．
Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有
(n＝0，1，2，3，…)．
两式联立再由得．
所以(n＝0，1，2，3，…)．
【总结升华】在这类题目中“时间”是联系不同运动的桥梁，且往往这类题目由于匀速圆周运动的周期性给结果带来多解性．
类型五、平抛运动的的实验
例7、如图所示，方格坐标每边长10 cm，一物体做平抛运动时分别经过O、a、b三点，重力加速度g取10m/s2，则下列结论正确的是( )
A．O点就是抛出点
B．a点与水平方向成45°
C．速度变化量
D．小球抛出速度v＝1 m/s
E．小球经过a点的速度为m/s
F．小球抛出点的坐标为(-5cm，-1.25 cm)(以O点为坐标原点)
【思路点拨】物体竖直方向做自由落体运动，可借鉴纸带问题确定运动时间。
【答案】C、D、E、F
【解析】由于O、a、b三点水平方向距离相等，说明，若O点为抛出点，则在竖直方向连续相等时间内通过的位移之比应为1:3:5，而从上图看，竖直方向相等时间内位移之比为1:2，所以O点不是抛出点，故A错．因O到a的位移方向与水平方向成45°角，所以物体过a点时速度方向与水平方向夹角肯定大于45°，故B错．平抛运动是匀变速曲线运动．加速度恒定，所以相等时间内速度变化量相等，，故C对．
根据匀变速直线运动公式，．
得，水平方向匀速运动速度，故D对．
小球经过a点时竖直方向的分速度，
得m/s，故E对．
小球从抛出到运动到a点的时间可由求出，得0.15 s，可求得抛出点在(-5cm，-1.25cm)处，故F也对．
举一反三
【高清课程：曲线运动复习与巩固 例4】
【变式】如图为平抛运动轨迹的一部分，已知条件如图所示。求：v0和 vb
【答案】
【学习目标】
1． 知道物体做曲线运动的条件及特点，会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析。 2．了解合运动、分运动及其关系，特点。知道运动的合成和分解，理解合成和分解遵循平行四边形法则。 3．知道什么是抛体运动，理解平抛运动的特点和规律，熟练掌握分析平抛运动的方法。了解斜抛运动及其特点。 4．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。 5．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。能正确处理竖直平面内的圆周运动。 6．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、曲线运动
（1）曲线运动的速度方向
曲线运动的速度方向是曲线切线方向，其方向时刻在变化，所以曲线运动是变速运动，一定具有加速度。
（2）曲线运动的处理方法
曲线运动大都可以看成为几个简单的运动的合运动，将其分解为简单的运动后，再按需要进行合成，便可以达到解决问题的目的。
（3）一些特别关注的问题
①加速曲线运动、减速曲线运动和匀速率曲线运动的区别
加速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹锐角
减速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹钝角
匀速率曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向成直角
注意：匀速率曲线运动并不一定是圆周运动，即合外力的方向总是跟速度方向垂直，物体不一定做圆周运动。
②运动的合成和分解与力的合成和分解一样，是基于一种重要的物理思想：等效的思想。
也就是说，将各个分运动合成后的合运动，必须与实际运动完全一样。
③运动的合成与分解是解决问题的手段
具体运动分解的方式要由解决问题方便而定，不是固定不变的。
④各个分运动的独立性是基于力的独立作用原理
也就是说，哪个方向上的受力情况和初始条件，决定哪个方向上的运动情况。
要点二、抛体运动
（1）抛体运动的性质
所有的抛体运动都是匀变速运动，加速度是重力加速度。其中的平抛运动和斜抛运动是匀变速曲线运动。
（2）平抛运动的处理方法
通常分解为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体（或上抛运动或下抛运动）。
（3）平抛运动的物体，其飞行时间仅由抛出点到落地点的高度决定，与抛出时的初速度大小无关。
而斜抛物体的飞行时间、水平射程与抛出时的初速度的大小和方向都有关系。
（4）运动规律及轨迹方程
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动：
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：，即，
方向：v与水平方向夹角为
合位移：大小：，即，
方向：S与水平方向夹角为
一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示
要点三、圆周运动
（1）描写圆周运动的物理量
圆周运动是人们最熟悉的、应用最广泛的机械运动，它是非匀变速曲线运动。要理解描写它的各个物理量的意义：如线速度、角速度、周期、转速、向心加速度。速度方向的变化和向心加速度的产生是理解上的重点和关键。
（2）注重理解圆周运动的动力学原因
圆周运动实际上是惯性运动和外力作用这一对矛盾的统一。
（3）圆周运动的向心力
圆周运动的向心力可以是重力、万有引力、弹力、摩擦力以及电磁力等某种性质的力; 可以是单独的一个力或几个力的合力，还可以认为是某个力的分力；向心力是按效果命名的；
注意：匀速圆周运动和变速圆周运动的区别：
匀速圆周运动的物体受到的合外力完全用来提供向心力，而在变速圆周运动中向心力是合外力的一个分量，合外力沿着切线方向的分量改变圆周运动速度的大小。
（4）向心运动和离心运动
注意需要的向心力和提供的向心力之不同，如是质量为m的物体做圆周运动时需要向心力的大小；提供的向心力是实实在在的相互作用力。需要的向心力和提供的向心力之间的关系决定着物体的运动情况，即决定着物体是沿着圆周运动还是离心运动或者向心运动。
向心运动和离心运动已经不是圆周运动，圆周运动的公式已经不再适用。
（5）解决圆周运动的方法
解决圆周运动的方法就是解决动力学问题的一般方法，学习过程中要特别注意方法的迁移和圆周运动的特点。
（6）一些特别关注的问题
①同一个转动物体上的各点的角速度相同；皮带传动、链条传动以及齿轮传动时，各轮边缘上的点的线速度大小相等。
这一结论对于解决圆周运动的运动学问题很有用处，要注意理解和应用。
②对于线速度与角速度关系的理解
公式 ，是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，某一时刻的线速度、角速度与向心加速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动中的任意一个状态。
③一些临界状态
1)细线约束小球在竖直平面内的变速圆周运动
恰好做圆周运动时，在最高点处重力提供向心力，它的速度值。
2)轻杆约束小球在竖直平面内做变速圆周运动
a、最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；
b、在最高点处的速度是时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力；球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力，球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
3)在静摩擦力的约束下，物体在水平圆盘做圆周运动时：
物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。
④圆周运动瞬时变化的力
物体由直线轨道突然进入圆周轨道时，物体与轨道间的作用力会突然变化。物体在轨道上做变速圆周运动时，物体受到弹力的大小和它的速度的大小有一定的关系，在有摩擦力作用的轨道上，速度的变化往往会引起摩擦力的变化，应引起足够的注意。
【典型例题】
类型一、运动的合成和分解
例1、如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s．为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )
A． B． C．2m/s D．4m/s
【思路点拨】解决渡河问题时，要先弄清合运动和分运动．
【解析】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向对岸危险区上游即可，但对应最小值应为刚好指向对岸危险区边缘，如图所示．
，．
则，所以C正确．
【答案】C
【总结升华】由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动．一般只讨论时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短，此时以船速渡河；二是渡河位移最小，此时以合速度渡河．
类型二、平抛运动
例2、如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M＝km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g)
(1)求小物块下落过程中的加速度大小；
(2)求小球从管口抛出时的速度大小；
(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于．
【思路点拨】分析清楚M与m在各阶段的运动是关键。
【解析】(1)设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律，Mg-T＝Ma，
T-mgsin 30°＝ma，
且M＝km，
解得．
(2)设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0．
根据牛顿第二定律-mg sin 30°＝ma0．
M做匀变速直线运动，，
M落地后，m做匀变速直线运动，．
解得 （k>2）
(3)平抛运动x＝v0t，
．
解得．
则，得证．
【总结升华】对于此类题目，分析清楚相关联的两个物体之间的运动制约关系是关键。
例3、如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角为37°，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L＝15 m处同时以速度v2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是(sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2)( )
A．v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3s
B．v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2 s
C．v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3 s
D．v1＝20 m/s，v2＝16 m/s．t＝2 s
【思路点拨】A做平抛，B做匀速直线运动，经过相同时间到达同一位置。
【答案】C
【解析】物体B做匀速直线运动，故． ①
而物体A做平抛运动在水平方向有：
． ②
在竖直方向上有：
． ③
联立②③得：
，则3v1＝20t，故只有C选项满足条件．
【总结升华】此题涉及了平抛运动的规律和相遇的条件，考查了学生的综合分析能力．
举一反三
【高清课程：曲线运动复习与巩固 例1】
【变式】水平抛出一个小球，经过一段时间球速与水平方向成450角，再经过1秒球速与水平方向成600角，求小球的初速大小。
【答案】
举一反三
【变式】甲、乙两人在一幢楼的三楼窗口比赛掷垒球，他们都尽力掷出同样的垒球，不计空气阻力。甲掷出的水平距离正好是乙的两倍。若乙要想水平掷出相当于甲在三楼窗口掷出的距离，则乙应（ ）
A．在5楼窗口水平掷出 B．在6楼窗口水平掷出
C．在9楼窗口水平掷出 D．在12楼窗口水平掷出
【思路点拨】运用平抛运动的射程并注意到不同楼层的高度关系，问题得到解决。
【答案】C
【解析】由平抛运动的规律 垒球落地的水平距离是
设每一层楼的高度是h，当甲、乙分别从三楼抛出时，
解得
如乙在更高的楼层是抛出垒球且与甲的水平位移相同，则
将此式与比较可得，即乙需要从第9层楼上抛出垒球。
类型三、圆周运动中的临界问题
例4、如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别同定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2 m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°和45°．问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?(g取10 m/s2)．
【思路点拨】角速度太小，B绳松弛；角速度太大，A绳松弛。
【解析】两绳张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．
(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
，
，
联立解得2.40 rad/s．
(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则F1已为零，设此时的角速度为ω2，
则有，
，
联立解得ω2＝3.16 rad/s．
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s．
【总结升华】运用极限思想解圆周运动中临界问题的基本方法：先利用极限分析法判定物体可能的状态，进行正确的受力分析，再根据题目对具体问题的设计确定物体做圆周运动的圆心和半径，做圆周运动的物体若满足，则可由牛顿第二定律和向心力公式建立方程解题．
类型四、圆周运动中的动力学问题
例5、如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动．问：
(1)若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴所受的力；
(2)在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力的情况?如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大?
【解析】(1)令A球质量为mA，B球质量为mB，则mA＝m，mB＝3m．当A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，说明此时A球的重力提供向心力，则有mAg＝，所以．
又因为A、B两球固定在同一杆上，因此．设此时OB杆对B球的拉力为FT，则有，所以FT＝9mg．
对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则F＝FT＝9mg．由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉力为9mg，方向竖直向下．
(2)若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为，转动角速度为ω，由牛顿第二定律可得：
， ① ， ②
由①－②得：m1g+m2g＝(m1L1-m2L2)ω2， ③
从上式可见，只有当m1L1＞m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球．
由③式代入已知条件可得：(3m+m)g＝(3m·2L-mL)ω2，所以．
由上述分析可得，当杆处于竖直位置，B球在最高点，且时，水平轴不受力，此时有，．
【总结升华】本题中要注意研究对象的转换，分析轴受的作用力，先应分析小球的受力，而后用牛顿第三定律分析．
例6、如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件?在运动过程中，球对圆筒的压力多大?
【思路点拨】要使两球在圆周最高点相碰，则它们运动到最高点所用时间相同。
【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得
，求得．
Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有
(n＝0，1，2，3，…)．
两式联立再由得．
所以(n＝0，1，2，3，…)．
【总结升华】在这类题目中“时间”是联系不同运动的桥梁，且往往这类题目由于匀速圆周运动的周期性给结果带来多解性．
类型五、平抛运动的的实验
例7、如图所示，方格坐标每边长10 cm，一物体做平抛运动时分别经过O、a、b三点，重力加速度g取10m/s2，则下列结论正确的是( )
A．O点就是抛出点
B．a点与水平方向成45°
C．速度变化量
D．小球抛出速度v＝1 m/s
E．小球经过a点的速度为m/s
F．小球抛出点的坐标为(-5cm，-1.25 cm)(以O点为坐标原点)
【思路点拨】物体竖直方向做自由落体运动，可借鉴纸带问题确定运动时间。
【答案】C、D、E、F
【解析】由于O、a、b三点水平方向距离相等，说明，若O点为抛出点，则在竖直方向连续相等时间内通过的位移之比应为1:3:5，而从上图看，竖直方向相等时间内位移之比为1:2，所以O点不是抛出点，故A错．因O到a的位移方向与水平方向成45°角，所以物体过a点时速度方向与水平方向夹角肯定大于45°，故B错．平抛运动是匀变速曲线运动．加速度恒定，所以相等时间内速度变化量相等，，故C对．
根据匀变速直线运动公式，．
得，水平方向匀速运动速度，故D对．
小球经过a点时竖直方向的分速度，
得m/s，故E对．
小球从抛出到运动到a点的时间可由求出，得0.15 s，可求得抛出点在(-5cm，-1.25cm)处，故F也对．
举一反三
【高清课程：曲线运动复习与巩固 例4】
【变式】如图为平抛运动轨迹的一部分，已知条件如图所示。求：v0和 vb
【答案】