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弧长和扇形面积
【经典例题】
知识点一 利用弧长公式计算弧长
【例1】如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为（ ）
A. B.
C. 2π D.
【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式＝，可得结果
【解答】解：连接OD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的长＝ 故选：D
【例2】已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是________m．(结果保留π)
【分析】O经过的路线是两个半径是3，圆心角为45°的弧，平移的距离是半径为3，圆心角是270°的弧长，二者的和就是所求的路线长．
【解答】解：∠AOB＝360°－270°＝90°，则∠ABO＝45°，
则∠OBC＝45°，
O旋转的长度是：
O移动的距离是：
则圆心O所经过的路线长是：
知识点二 利用扇形面积公式进行计算
【例3】已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（ ）
A. B.
C. D.
【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，进而得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形－S△ODC即可求得．
【解答】解：连接OD、OC，
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝90°
∴
故选：A
知识点三 圆锥的侧面积和全面积
【例4】如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)，若∠ABC＝30°，BC＝ ，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A. B.
C. D.
【分析】连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，再计算出∠BAC＝120°，AB＝2，设这个圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可
【解答】解：连接OA，如图
∵AB＝AC，OB＝OC＝BC＝
∴AO⊥BC
∵∠ABC＝30°
∴∠BAC＝120°，AO＝OB＝1
∴AB＝2OA＝2
设这个圆锥底面圆的半径为r
解得
故选：A
知识点四 圆锥侧面展开图与最短距离问题
【例5】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．
【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．
【解答】解：圆锥的底面周长是8π，则
∴n＝120°
即圆锥侧面展开图的圆心角是120度
∴∠APB＝60°
∵PA＝PB
∴△PAB是等边三角形
∵C是PB中点
∴AC⊥PB
∴∠ACP＝90度
∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6
∴在圆锥侧面展开图中
最短距离是cm
【知识巩固】
1. 已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．20°
2. 若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
3. 将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
5. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝，则的长是（ ）
A. π B. C. 2π D.
【培优特训】
6. 如图，将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到A1BC1的位置，若AB＝8cm，那么点A旋转到A1所经过的路线长为________cm
7. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是________
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）
9. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝6．
（1）求AB的长．
（2）求弓形CBD的面积．
10. 如图，在圆O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B
（1）求证：AC＝BD；
（2）若OA＝4，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧CD的长．
【中考链接】
11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( )
A. B. C. D.
12. 如图，在 ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．6π
13. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
第5题图
第4题图
第7题图
第8题图
第12题图
第11题图
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弧长和扇形面积
【经典例题】
知识点一 利用弧长公式计算弧长
【例1】如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为（ ）
A. B.
C. 2π D.
【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式＝，可得结果
【解答】解：连接OD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的长＝ 故选：D
【例2】已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是________m．(结果保留π)
【分析】O经过的路线是两个半径是3，圆心角为45°的弧，平移的距离是半径为3，圆心角是270°的弧长，二者的和就是所求的路线长．
【解答】解：∠AOB＝360°－270°＝90°，则∠ABO＝45°，
则∠OBC＝45°，
O旋转的长度是：
O移动的距离是：
则圆心O所经过的路线长是：
知识点二 利用扇形面积公式进行计算
【例3】已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（ ）
A. B.
C. D.
【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，进而得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形－S△ODC即可求得．
【解答】解：连接OD、OC，
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝90°
∴
故选：A
知识点三 圆锥的侧面积和全面积
【例4】如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)，若∠ABC＝30°，BC＝ ，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A. B.
C. D.
【分析】连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，再计算出∠BAC＝120°，AB＝2，设这个圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可
【解答】解：连接OA，如图
∵AB＝AC，OB＝OC＝BC＝
∴AO⊥BC
∵∠ABC＝30°
∴∠BAC＝120°，AO＝OB＝1
∴AB＝2OA＝2
设这个圆锥底面圆的半径为r
解得
故选：A
知识点四 圆锥侧面展开图与最短距离问题
【例5】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．
【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．
【解答】解：圆锥的底面周长是8π，则
∴n＝120°
即圆锥侧面展开图的圆心角是120度
∴∠APB＝60°
∵PA＝PB
∴△PAB是等边三角形
∵C是PB中点
∴AC⊥PB
∴∠ACP＝90度
∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6
∴在圆锥侧面展开图中
最短距离是cm
【知识巩固】
1. 已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．20°
【解答】解：根据
解得：n＝60°，
故选：B．
2. 若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
【解答】解：由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为：
该圆锥的侧面积为：π×5×13＝65π．
故选：B
3. 将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
【解答】解：根据将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），
∴直径为60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角是120°，半径为30的扇形，
假设每个圆锥容器的底面半径为r，
∴
解得：r＝10（cm）．
故选：A．
4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°
∴OE＝1，OC＝2OE＝2，
故选：D
5. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝，则的长是（ ）
A. π B. C. 2π D.
【解答】解：连接OA、OB
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD
∴＝＝＝
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
解得：AO＝2，
∴的长为
故选A
【培优特训】
6. 如图，将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到A1BC1的位置，若AB＝8cm，那么点A旋转到A1所经过的路线长为________cm
【解答】解：∵点A旋转到A1所经过的路线长是以点B为圆心，AB为半径，旋转角度是180－45=135°，
∴根据弧长公式可得：cm
7. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是________
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵AC＝6，∠ACB＝120°，
∴的长＝
∴r＝2，即：OA＝2，
在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，AC＝
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′＝120°＝∠CBC′，
∴S阴影＝S扇形ABA′＋S△ABC－S扇形CBC′－S△A′BC′
＝S扇形ABA′－S扇形CBC′
＝
＝
9. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝6．
（1）求AB的长．
（2）求弓形CBD的面积．
【解答】解：（1）连接OD．
由垂径定理得
由勾股定理得
设⊙O的半径为r，
在Rt△ODH中，OH＝r－1，
则，由此得2r＝12，
所以AB＝12；
（2）连接OC，在Rt△ODH中，OD＝6，OH＝3，
∴∠ODH＝30°，
∴∠DOH＝60°，
∴∠COD＝120°
∴S弓形CBD＝S扇形OCD－S△COD
＝
＝
10. 如图，在圆O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B
（1）求证：AC＝BD；
（2）若OA＝4，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧CD的长．
【解答】证明：（1）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE
∵BE，AF是⊙O的直径
∴∠EDB＝∠FCA＝90°
在△DEB与△CFA中
∵
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC＝BD；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，
连接DE，CD，OD，OC，
∵∠A＝30°，OA＝OC，
∴∠COA=180°－30°－30°＝120°．
∵∠A＝∠B＝30°，AC⊥BD，
∴∠EOA＋∠A＝60°，
∴∠EOA＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝30°，
∴的长＝
【中考链接】
11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( )
A. B. C. D.
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴劣弧的长为：
故选：A
12. 如图，在 ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．6π
【解答】解：∵在 ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，
∴∠C＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：
故选：C
13. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积＝πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2＝πrR，
∴R＝2r，
设圆心角为n，
则
解得，n＝180°，
故选：B
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