20.4 课题学习 最短路径问题同步课时作业

20.4 课题学习 最短路径问题同步课时作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（　　）
A． 30° B． 15° C． 20° D． 35°
2．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值（　　）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
3．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线且AD=4，是AD上的动点，是AC边上的动点，则的最小值是（ ）.
A． 6 B． 4 C． D． 不存在最小值
4．如图所示，Rt△ABC中，∠ ACB =90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，使CE+EF的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． 3 D． 6
6．如图，在中， ，面积是， 的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ）
A． 3 B． C． 4.5 D． 6
二、填空题
8．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，△PMN的周长最小值为________．
9．如图，在等边△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且AH=6cm，点D是AB的中点，点P是AH上一动点，则DP与BP和的最小值是______cm．
10．如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是_____．
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D是斜边AC的中点，P是AB上一动点，则PC+PD的最小值为_____．
12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，∠D=∠B=90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为___________.
13．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
14．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ=__________.
三、解答题
15．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（3）在DE上画出点M，使最大．
16．如图,在△ABC中,D,E为AC边上的两个点,试在AB,BC上分别取一个点M,N,使四边形DMNE的周长最小.
17．如图，∠AOB＝30°，角内有一点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值是多少？
18．最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长。
19．（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；
（2）如图，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．
20．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．
（1）如图，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小；
作法：
（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大；
作法：
（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．
参考答案
1．A
【解析】分析：由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当三点在同一直线上时，的值最小．
详解：由题意知，当B.?P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴
点睛：考查轴对称-最短路线问题，找出点C关于直线MN的对称点是B，根据两点之间，线段最短求解即可.
2．B
【解析】试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点，连，交于，交于，
则
则的周长的最小值为.

∴△OP1P2是等边三角形．
的周长
故选B
3．C
【解析】分析：
由已知条件可知，点B和点C关于AD对称，由此可知，CF+EF=BF+EF，因此当点B、E、F三点在同一直线上，且BE⊥AC时，CF+EF的值最小，计算出此时BE的长度即可.
详解：
如下图，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，
∵AB=AC=5，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC于点D，
∴点B和点C关于AD对称，
∴CF+EF=BF+EF，
∴当点B、E、F三点在同一直线上，且BE⊥AC时，CF+EF的值最小，
∵BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，
∴S△ABC=AC·BE=AD·BC，即，
解得：BE=，
∴CF+EF的最小值为：.
故选C.
点睛：“能由已知条件分析得到当BE⊥AC于点E时，CF+EF的值最小”是解答本题的关键.
4．B
【解析】分析：过点C作CM⊥AB，从而得出CM的长度就是CE+EF的最小值，根据直角三角形斜边上的高线得出答案．
详解：过点C作CM⊥AB，则CE+EF的最小值就是线段CM的长度，
∵AC=6，BC=8， ∴AB=10，则CM=，故选B．
点睛：本题主要考查的就是三角形中求最值的问题，属于中等难度题型．解决这种问题的关键就是做对称，从而得出答案．
6．D
【解析】连接交于点，此时周长最小，
∵， 为中点，
∴，
∵， ，
∴，
则周长，
∵垂直平分，
∴，
又， 为中点，
∴，
∴周长，
故选D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
7．A
【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH=AB=3．故选A．
点睛：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
8．6
【解析】
作P点关于射线OA的对称点C点，作P点关于射线OB的对称点D点，连接CD，CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点，连接PM、PN，此时△PMN的周长最小，
∵C点、P点关于射线OA对称，
∴射线OA垂直平分PC，
∴CO=OP=6，CM=PM，
∴∠COA=∠AOP，
同理可证：∠POB=∠DOB，PN=ND，PO=OD=6，
∴CO=OD，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=30°，
∴∠COD=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=6，
∴C△PMN=PM+PN+MN=MC+ND+MN=CD=6.
故答案为6.
点睛：本题首先根据△PMN周长最小确定M点、N点的位置，再根据轴对称的性质、等边三角形的判定及性质将△PMN的周长转化为线段的长度.
9．6
【解析】
【分析】
作点B关于AH的对称点B′，由等边三角形的性质可知B′与点C重合，连接CD，则CD的长度即为DP与BP和的最小值，由等边三角形的性质可求出△CAD≌△ACH，则CD=AH=6cm．
【详解】
作点B关于AH的对称点B′，∵△ABC是等边三角形，∴B′与点C重合，连接CD，则CD的长度即为DP与BP和的最小值，∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD=30°，∵AH⊥BC，∴∠CAH=30°，AC=AC，∴△CAD≌△ACH，∴CD=AH=6cm．
故答案为：6
【点睛】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10．2．
【解析】
【分析】
先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可证∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, ∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,继而可得△OP′P″是等边三角形,即PP′=OP′=2．
【详解】
作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,
∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,
所以,△OP′P″是等边三角形,
所以,PP′=OP′=2．
故答案为:2.
【点睛】
本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定.
11．12
【解析】
【分析】
作C关于AB的对称点E，连接ED，易求∠ACE=60°，则AC=AE，且△ACE为等边三角形，CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段，其最小值为E到AC的距离=AB=12，所以最小值为12.
【详解】
作C关于AB的对称点E，连接ED，
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
∵AC=AE，
∴△ACE为等边三角形，
∴CP+PD=DP+PE为E与直线AC之间的连接线段，
∴最小值为C'到AC的距离=AB=12，
故答案为：12
【点睛】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
12．100°
【解析】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°．
点睛：本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
13．100°
【解析】如图,作出P点关于OM,ON的对称点P1,P2交OM,ON于A,B两点,此时△PAB的周长最小,根据题意可知: ∠P1PP2=180°－∠MON=180°－40°=140,
所以∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°－∠P1PP2=40°,
所以∠APB=140°－40°=100°,因此,本题正确答案为:100°.
14．5
【解析】
连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA?PB|的值最大的点，
∵点B是2x2的正方形的对角线的交点，
∴点P即为AB延长线上的点,此时P(3,0)即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q,则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′(?1,2),B(2,1)，
设过A′B的直线为：y=kx+b,则，
解得，
∴Q(0， ),即OQ=，
∴OPOQ=3×=5.
故答案为：5.
点睛：本题考查的是轴对称-最短路径问题，根据题意得出P、Q两点的坐标是解答此题的关键。凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.
15．作图见解析.
【解析】分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线DE对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接AC1，与DE的交点就是点P；
（3）延长CB交DE于点M，则M即为所求的点．
详解：作图如下：
点睛：本题主要考查有关轴对称﹣最短路线的问题中的作图步骤，用到的知识点为：两点之间，线段最短．注意作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．
16．见解析
【解析】试题分析：作点D关于直线AB的对称点D',作点E关于直线BC的对称点E'.连接D'E'交AB于点M,交BC于点N.连接DM,EN.四边形DMNE就是符合要求的四边形.
试题解析：
如图,(1)作点D关于直线AB的对称点D',作点E关于直线BC的对称点E'.(2)连接D'E'交AB于点M,交BC于点N.(3)连接DM,EN.
四边形DMNE就是符合要求的四边形,此时周长最小.
点睛：本题主要考查了轴对称最短路线应用以及轴对称的性质，得出M、N点位置是解题关键．
17．10cm
【解析】试题分析：设点P关于OA的对称点是E，关于OB的对称点是F，当点R、Q在EF上时，△PQR的周长=PQ+QR+PR=EF，此时周长最小．
试题解析：作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF，
则PQ=EQ，PR=RF，
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF，
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，
即△EOF是等边三角形，
∴EF=OP=10，
所以△PQR的周长的最小值为10．
18．(1)见解析；（2）10
【解析】试题分析： 作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接, 即为所求．
试题解析： 作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接, 即为所求．
此时线段的长度即为周长的最小值
连接
由对称性知：

为等边三角形

所以三角形的最小周长为10.
点睛：属于将军饮马问题，依据是：两点之间，线段最短.
19．答案见解析
【解析】试题分析： 根据两点之间线段最短，作点A关于直线l的对称点A'，A'B交l于P点，则四边形的周长最短．
点A'与A关于直线l对称，点B向左平移个单位至B'，连接A'B'交l于P点.
试题解析：
点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点.如图所示：
（2）点A'与A关于直线l对称，点B向左平移个单位至B'，连接A'B'交l于P点.
如图所示：
20．答案见解析
【解析】试题分析：（1）连接，作的垂直平分线交l于M点
（2）作射线交l于M点
（3）点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于M点
试题解析：
（1）连接，作的垂直平分线交l于M点
∵直线是的垂直平分线，

（2）作射线交l于M点,
假设存在点
构成三角形，

满足使得 最大.
（3）点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于M点