28.2 二次函数与实际问题同步课时作业（3）
文档属性
| 名称 | 28.2 二次函数与实际问题同步课时作业（3） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-03 16:12:59 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
28.2 二次函数与实际问题同步课时作业（3）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（ ）
A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米
如图，隧道的截面是抛物线，可以用y= 表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于4m B．恰好4m C．不小于4m D．大于4m，小于8m
河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16米 B．米 C．16米 D．米
图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2
如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A. a≤﹣1或≤a＜ B. ≤a＜ C. a≤或a＞ D. a≤﹣1或a≥
如图，二次函数y= -x2-2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足
S△AOP=3，则点P的坐标是（ ）
A．（-3，-3） B．（1，-3） C．（-3，-3）或（-3，1） D．（-3，-3）或（1，-3）
二、填空题
右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式_________________．
是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．
飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
三、解答题
某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为.已知米，设抛物线解析式为.
（1）求的值；
（2）点（-1，）是抛物线上一点，点关于原点的对称点为点，连接,,，求△的面积.
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。
②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。
科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 ……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
（1）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可），1×9，2×8，3×7，…，8×2，9×1
（2）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．45×55，46×54，47×53，…54×46，55×45．
【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为m（m＞0），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用所学知识说明你的猜想的正确性．
【拓展应用】小明欲制作一个四边形的风筝（如图所示），他想用长度为1.8m的竹签制作风筝的骨架AB与CD（AB⊥CD），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，他想把风筝的表面积（四边形ADBC的面积）制作到最大．根据上面的结论，求当风筝的骨架AB、CD的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
答案解析
一 、选择题
【考点】二次函数的应用
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB=0.2×6=1.2，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.6，0.6）、（0，0）、（-0.6，0.6），据此求出解析式．把x= -0.4代入后求出y，让0.36-y即可．
解：如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为-0.4，
∴当x= -0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36-0.16=0.2米
故选C．
【考点】二次函数的应用
【分析】本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
由题意可知，直接把y=3代入解析式求解即可．解：把y=3代入y= 中得：
x=4，x= -4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4m．
故选A．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．
解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y=﹣x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选C．
【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【考点】二次函数的应用．
【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．
解：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，
∴C（﹣10，﹣），
∴桥面离水面的高度AC为m．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣，
那么y=﹣x2．
故选：C．
点评：根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】根据函数图象写出直线y=1以及下方部分的x的取值范围即可．
解：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．
故选：D．
【考点】二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征
【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．
观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；
当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，
∴a≥，
∵直线MN的解析式为y=-x+，
由，消去y得到，3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜，
∴≤a＜满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或≤a＜，
故选：A．
点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点】二次函数的应用
【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
解：设P点纵坐标为m，
抛物线的解析式中，令y=0，得：-x2-2x=0，解得x=0，x= -2；∴A（-2，0），OA=2；
∵ S△AOP=OA×m=3
∴|m|=3；
∴ m=±3；
当P点纵坐标为3时，-x2-2x=3，x2+2x+3=0，△=4-12＜0，方程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为-3时，-x2-2x= -3，x2+2x-3=0，
解得x=1，x= -3；
∴P（1，-3）或（-3，-3）；
故选D．
二 、填空题
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,
∵C（0,2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）,
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2,
∴x1=2 ，x2=-2 ，
∴下降之后的水面宽为：4 .
∴水面宽度增加了：4 -4.
故答案为：4 -4.
考点： 二次函数的应用．
分析： 首先建立平面直角坐标系，进而利用顶点式求出函数解析式，即可得出答案．
解答： 解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得：，
所以抛物线的表达式为：y=﹣x2+11．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标求得a．
解答： 解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，
故﹣2=4a，
a=﹣，
故y=﹣．
点评： 本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．
【考点】二次函数的应用．
【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题．
解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，
∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．
故答案是：20．
三 、解答题
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）求出点A或点B的坐标，将其代入，即可求出a的值；
（2）把点代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用求△BCD的面积.
解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,
∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.
（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.
∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.
∵ 点C关于原点O的对称点为点D，
∴ D（1,）.∴ .
∴ ×4×+×4×=15.
∴ △BCD的面积为15平方米.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，
解得．
所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4，
则y=﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y=＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y=8，则﹣（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2，x2=6﹣2，
则x1﹣x2=4，
所以两排灯的水平距离最小是4m．
【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；
（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．
解：（1）由已知可得：AD=，
则S=1×m2，
（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，
∵，
∴，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x=m时，且x=m在的范围内，，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，
∴a=﹣x+10，3a=﹣x+30，
∴y=（﹣x+30）x=﹣x2+30x，
∵a=﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】①根据P1的横纵坐标的差大于0，得出应该绘制的是线段；②根据P1的横纵坐标的差不大于0得出绘制的是抛物线，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。
解：①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0，
∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ，
∴ ，即 。
（1）选择二次函数，设，得，解得
∴关于的函数关系式是．
不选另外两个函数的理由：
注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数．
（2）由（1），得，∴，
∵，∴当时，有最大值为50．
即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．
（3）．
【考点】 二次函数的应用．
【分析】确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．
解：（1）M（12，0），P（6，6）
（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
∴
∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x；
（3）设A（x，y）
∴A（x，﹣（x﹣6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=﹣（x﹣6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[﹣（x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣x2+2x+12=﹣（x﹣3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
点评： 关于抛物线解析式的求法，还可以设交点式y=ax（x﹣12），把顶点坐标代入求a；要弄清楚线段长度与点的坐标的关系．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；
（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．
解：（1）∵a=＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，
∴绳子最低点离地面的距离为：m；
（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴F2的横坐标为：（8﹣m）+m=m+4，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k=3，
解得：k=﹣（4﹣m）2+3，
∴k=﹣（m﹣8）2+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，
解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，
解得：m1=8﹣2，m2=8+2（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由列举法就可以得出5×5=25最大；
（2）同样由列举法可以得出50×50=2500最大；
猜想验证，当两个数的和为m时，当两个数分别为时，乘积最大．设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，就有n=x（m﹣x），由二次函数的性质就可以求出结论；
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由三角形的面积公式就可以得出结论．
解：（1）由题意，得
1×9=9，2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25
6×4=24，7×3=21，8×2=16，9×1=9，
∴5×5=25最大，
答：5×5=25的乘积最大；
（2）由题意，得
…45×55=2475，46×54=2484，47×53=2491，48×52=2496，49×51=2499，50×50=2500，
51×49=2499，52×48=2496，53×47=2491，54×46=2484，55×45=2475…．
∴50×50=2500最大，
答：50×50=2500的乘积最大；
猜想验证，若两个数的和为m，当两个数分别为时，乘积最大．
理由：设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，由题意，得
n=x（m﹣x），
n=﹣x2+mx，
n=﹣（x﹣）2+；
∴a=﹣1＜0，
∴当x=时，n最大=．
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由题意，得
w=a（1.8﹣a），
w=﹣a2+1.8a，
w=﹣（a﹣0.9）2+0.81，
∴a=﹣1＜0，
∴a=0.9时，w最大=0.81，
∴当AB=CD=0.9时，风筝的表面积能达到最大．
点评： 本题考查了列举法的运用，二次函数的运用，二次函数的顶点式的运用，二次函数解实际问题的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
28.2 二次函数与实际问题同步课时作业（3）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（ ）
A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米
如图，隧道的截面是抛物线，可以用y= 表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于4m B．恰好4m C．不小于4m D．大于4m，小于8m
河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16米 B．米 C．16米 D．米
图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2
如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A. a≤﹣1或≤a＜ B. ≤a＜ C. a≤或a＞ D. a≤﹣1或a≥
如图，二次函数y= -x2-2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足
S△AOP=3，则点P的坐标是（ ）
A．（-3，-3） B．（1，-3） C．（-3，-3）或（-3，1） D．（-3，-3）或（1，-3）
二、填空题
右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式_________________．
是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．
飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
三、解答题
某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为.已知米，设抛物线解析式为.
（1）求的值；
（2）点（-1，）是抛物线上一点，点关于原点的对称点为点，连接,,，求△的面积.
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。
②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。
科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 ……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
（1）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可），1×9，2×8，3×7，…，8×2，9×1
（2）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．45×55，46×54，47×53，…54×46，55×45．
【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为m（m＞0），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用所学知识说明你的猜想的正确性．
【拓展应用】小明欲制作一个四边形的风筝（如图所示），他想用长度为1.8m的竹签制作风筝的骨架AB与CD（AB⊥CD），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，他想把风筝的表面积（四边形ADBC的面积）制作到最大．根据上面的结论，求当风筝的骨架AB、CD的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
答案解析
一 、选择题
【考点】二次函数的应用
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB=0.2×6=1.2，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.6，0.6）、（0，0）、（-0.6，0.6），据此求出解析式．把x= -0.4代入后求出y，让0.36-y即可．
解：如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为-0.4，
∴当x= -0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36-0.16=0.2米
故选C．
【考点】二次函数的应用
【分析】本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
由题意可知，直接把y=3代入解析式求解即可．解：把y=3代入y= 中得：
x=4，x= -4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4m．
故选A．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．
解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y=﹣x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选C．
【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【考点】二次函数的应用．
【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．
解：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，
∴C（﹣10，﹣），
∴桥面离水面的高度AC为m．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣，
那么y=﹣x2．
故选：C．
点评：根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】根据函数图象写出直线y=1以及下方部分的x的取值范围即可．
解：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．
故选：D．
【考点】二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征
【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．
观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；
当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，
∴a≥，
∵直线MN的解析式为y=-x+，
由，消去y得到，3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜，
∴≤a＜满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或≤a＜，
故选：A．
点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点】二次函数的应用
【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
解：设P点纵坐标为m，
抛物线的解析式中，令y=0，得：-x2-2x=0，解得x=0，x= -2；∴A（-2，0），OA=2；
∵ S△AOP=OA×m=3
∴|m|=3；
∴ m=±3；
当P点纵坐标为3时，-x2-2x=3，x2+2x+3=0，△=4-12＜0，方程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为-3时，-x2-2x= -3，x2+2x-3=0，
解得x=1，x= -3；
∴P（1，-3）或（-3，-3）；
故选D．
二 、填空题
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,
∵C（0,2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）,
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2,
∴x1=2 ，x2=-2 ，
∴下降之后的水面宽为：4 .
∴水面宽度增加了：4 -4.
故答案为：4 -4.
考点： 二次函数的应用．
分析： 首先建立平面直角坐标系，进而利用顶点式求出函数解析式，即可得出答案．
解答： 解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得：，
所以抛物线的表达式为：y=﹣x2+11．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标求得a．
解答： 解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，
故﹣2=4a，
a=﹣，
故y=﹣．
点评： 本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．
【考点】二次函数的应用．
【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题．
解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，
∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．
故答案是：20．
三 、解答题
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）求出点A或点B的坐标，将其代入，即可求出a的值；
（2）把点代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用求△BCD的面积.
解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,
∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.
（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.
∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.
∵ 点C关于原点O的对称点为点D，
∴ D（1,）.∴ .
∴ ×4×+×4×=15.
∴ △BCD的面积为15平方米.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，
解得．
所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4，
则y=﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y=＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y=8，则﹣（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2，x2=6﹣2，
则x1﹣x2=4，
所以两排灯的水平距离最小是4m．
【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；
（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．
解：（1）由已知可得：AD=，
则S=1×m2，
（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，
∵，
∴，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x=m时，且x=m在的范围内，，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，
∴a=﹣x+10，3a=﹣x+30，
∴y=（﹣x+30）x=﹣x2+30x，
∵a=﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】①根据P1的横纵坐标的差大于0，得出应该绘制的是线段；②根据P1的横纵坐标的差不大于0得出绘制的是抛物线，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。
解：①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0，
∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ，
∴ ，即 。
（1）选择二次函数，设，得，解得
∴关于的函数关系式是．
不选另外两个函数的理由：
注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数．
（2）由（1），得，∴，
∵，∴当时，有最大值为50．
即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．
（3）．
【考点】 二次函数的应用．
【分析】确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．
解：（1）M（12，0），P（6，6）
（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
∴
∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x；
（3）设A（x，y）
∴A（x，﹣（x﹣6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=﹣（x﹣6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[﹣（x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣x2+2x+12=﹣（x﹣3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
点评： 关于抛物线解析式的求法，还可以设交点式y=ax（x﹣12），把顶点坐标代入求a；要弄清楚线段长度与点的坐标的关系．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；
（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．
解：（1）∵a=＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，
∴绳子最低点离地面的距离为：m；
（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴F2的横坐标为：（8﹣m）+m=m+4，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k=3，
解得：k=﹣（4﹣m）2+3，
∴k=﹣（m﹣8）2+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，
解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，
解得：m1=8﹣2，m2=8+2（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由列举法就可以得出5×5=25最大；
（2）同样由列举法可以得出50×50=2500最大；
猜想验证，当两个数的和为m时，当两个数分别为时，乘积最大．设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，就有n=x（m﹣x），由二次函数的性质就可以求出结论；
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由三角形的面积公式就可以得出结论．
解：（1）由题意，得
1×9=9，2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25
6×4=24，7×3=21，8×2=16，9×1=9，
∴5×5=25最大，
答：5×5=25的乘积最大；
（2）由题意，得
…45×55=2475，46×54=2484，47×53=2491，48×52=2496，49×51=2499，50×50=2500，
51×49=2499，52×48=2496，53×47=2491，54×46=2484，55×45=2475…．
∴50×50=2500最大，
答：50×50=2500的乘积最大；
猜想验证，若两个数的和为m，当两个数分别为时，乘积最大．
理由：设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，由题意，得
n=x（m﹣x），
n=﹣x2+mx，
n=﹣（x﹣）2+；
∴a=﹣1＜0，
∴当x=时，n最大=．
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由题意，得
w=a（1.8﹣a），
w=﹣a2+1.8a，
w=﹣（a﹣0.9）2+0.81，
∴a=﹣1＜0，
∴a=0.9时，w最大=0.81，
∴当AB=CD=0.9时，风筝的表面积能达到最大．
点评： 本题考查了列举法的运用，二次函数的运用，二次函数的顶点式的运用，二次函数解实际问题的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)