21.1一元二次方程概念 专项训练

一元二次方程概念专练
一、单选题（共12题；共24分）
1.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A.?-1??????????????????????????????????????????B.?±1???????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?4
2.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为(? ? ? ? )
A.?1或－1?????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????C.?－1???????????????????????????????????????D.?
3.（2017?六盘水）三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3 x+4=0，则第三边的长是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????C.?2 ??????????????????????????????????D.?3
4.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（?? ）
A.?2 018??????????????????????????????????B.?2 008??????????????????????????????? ?C.?2 014?????????????????????????????? ???D.?2 012
5.一元二次方程3x2=x的解是（? ）
A.?x=0???????????????????????? ??B.?x1=0，x2=3???????????????????????C.?x1=0，x2= ???????????????????????D.?x=
6.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A.?x2﹣y=1???????????????????? ??????B.?x2+2x﹣3=0???????????????????????C.?x2+=3????????????????????????? ?D.?x﹣5y=6
7.关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一根为0，则m的值为（?? ）
A.?1????????????????????????????????????? ?B.?－1???????????????????????????????????????C.?1或－1?????????????????????????????D.?0
8.若2是关于x的方程x2-3x+c=0的一个根，则c的值为（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?10???????????????????????????????????????D.?4
9.下列方程中，不是一元二次方程的是（　　）
A.?x2=﹣3????????????? ?B.?﹣4x2+2x+1=0?????????????
C.?3x2﹣2x+1=0?????????????? D.?x2+x=（x+1）（x﹣2）
10.下列选项中一元二次方程的是（　　）
A.?x=2y﹣3??????????????????????B.?2（x+1）=3??????????????????????C.?2x2+x﹣4??????????????????????D.?5x2+3x﹣4=0
11.以下关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　）
A.?ax2+bx+c=0???? ???B.?2（x﹣1）2=2x2+2???????C.?（k+1）x2+3x=2???????D.?（k2+1）x2﹣2x+1=0
12.关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（　　）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题（共4题；共15分）
13.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为________?．
14.关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________?，b=________?
15.若一元二次方程ax2-bx-2015=0有一根为x=-1，则a+b=________．
16.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为________．
三、解答题（共4题；共21分）
17.（2017·丽水）解方程：（x-3）(x-1)=3.
18.关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．
19.已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
20.关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=1已知方程，求得m+n=-1，然后将其整体代入整理后的代数式进行求值．
【解答】∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴1+m+n=0，解得，m+n=-1，∴m2+2mn+n2=（m+n)2=（-1)2=1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2.【答案】C
【考点】一元二次方程的根
【解析】【分析】方程的根即方程的解，把x=0代入方程即可得到关于m的方程，即可求得m的值．另外要注意m-1≠0这一条件．【解答】根据题意得：m2-1=0且m-1≠0解得m=-1故选C．【点评】本题主要考查方程的解的定义，容易忽视的条件是m-1≠0．
3.【答案】A
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：x2﹣3 x+4=0，（x﹣2 ）（x﹣ ）=0，所以x1=2 ，x2= ，即a=2 ，b= ，如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，作AH⊥BC于H，在Rt△ACH中，∵∠C=60°，∴CH= AC= ，AH= CH= ，∴BH=2 ﹣ = ，在Rt△ABH中，AB= = ，即三角形的第三边的长是 ．故选A． 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3 x+4=0得到a=2 ，b= ，如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH= ，AH= ，则BH= ，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．
4.【答案】A
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：把x=1代入ax2+bx+5=0（a≠0）得a+b+5=0，所以a+b=﹣5，所以2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018．故答案为：A．【分析】根据方程根的意义把x=1代入ax2+bx+5=0（a≠0）得a+b+5=0，然后再整体替换即可。
5.【答案】C
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：3x2=x，3x2﹣x=0，x（3x﹣1）=0，x=0，3x﹣1=0，x1=0，x2= ，故选C．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
6.【答案】B
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x2﹣y=1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3=0是一元二次方程，符合题意；C、x2+=3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y=6是二元一次方程，不合题意，故选B【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
7.【答案】B
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程的根
【解析】∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根为0，∴x=0满足关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0，且m-1≠0，∴m2-1=0，即（m-1）（m+1）=0且m-1≠0，∴m+1=0，解得，m=-1；故答案是：-1．选B
8.【答案】B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【分析】2是关于x的方程x2-3x+c=0的一个根，即是x=2代入方程x2-3x+c=0解得。【解答】∵2是关于x的方程x2-3x+c=0的一个根，∴4-6+c=0，解得c=2.【点评】此题难度不大，一个数或一个代数式是方程的根，那这个数或这个代数式可以直接代入方程中的未知数。
9.【答案】D
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程x2+x=（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2，整理得：2x+2=0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选D【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
10.【答案】D
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、不是方程，故此选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；故选：D．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
11.【答案】D
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、错误，当a=0时，是一元一次方程；B、错误，是一元一次方程；C、错误，当k=﹣1时，是一元一次方程；D、正确，符合一元二次方程的定义．故选D．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
12.【答案】B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程（x﹣1）（x﹣4）=0，∴此方程的解为x1=1，x2=4，∵关于x的方程ax2+bx+c=3与方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，∴把x1=1代入方程得：a+b+c=3，故选B．【分析】首先利用因式分解法求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解，再把x的值代入方程ax2+bx+c=3即可求出a+b+c的值．
二、填空题
13.【答案】7
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设x2﹣x=m，则原方程可化为：m2﹣4m﹣12=0，解得m=﹣2，m=6；当m=﹣2时，x2﹣x=﹣2，即x2﹣x+2=0，△=1﹣8＜0，原方程没有实数根，故m=﹣2不合题意，舍去；当m=6时，x2﹣x=6，即x2﹣x﹣6=0，△=1+24＞0，故m的值为6；∴x2﹣x+1=m+1=7．故答案为：7．【分析】将x2﹣x看作一个整体，然后用换元法解方程求出x2﹣x的值，再整体代值求解．
14.【答案】1；2014
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2015=0得a+b﹣2015=0，当a=1时，b=2014．故答案为1，2014．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到a+b﹣2015=0，于是a取1时，计算对应的b的值．
15.【答案】2015
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x=-1代入一元二次方程ax2-bx-2015=0得：a+b-2015=0，即a+b=2015．【分析】将x=-1代入方程，就可求得a+b的值。
16.【答案】﹣3
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程的根
【解析】【解答】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为：﹣3．【分析】将x=2代入方程求出k的值，再求出k的取值范围，就可得出符合条件的k的值。
三、解答题
17.【答案】解：（x-3）(x-1)=3x2-4x+3=3，x2-4x=0，x(x-4)=0,x1=0,x2=4.
【考点】一元二次方程的根
【解析】【分析】方程右边不是0，∴要将方程左边化简，最终可因式分解得x(x-4)=0,即可解出答案.
18.【答案】解答：乙正确，证明：m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【分析】利用配方法求出m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．
19.【答案】解：∵ 是方程 的一个根，∴ ．∴ ．∴ ? ．
【考点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据m是方程的一个根，代入得到m2+m=1；化简代数式，得到代数式的值.
20.【答案】解：方程m2﹣8m+19=0中，b2﹣4ac=64﹣19×4=﹣8＜0，方程无解．故关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13=0一定是一元二次方程．
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】利用根的判别式，判断m2﹣8m+19=0的根的情况，根据一元二次方程的一般形式即可作出判断．