21.3 实际问题与一元二次方程专项训练

一元二次方程实际应用题专练
一、单选题（共8题；共32分）
1.我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（?? ）
A.?x（x﹣1）=2970????????B.?x（x﹣1）=2970????????C.?x（x+1）=2970????????D.?x（x+1）=2970
2.某工厂计划两年把产品的成本下降19%，则平均每年下降（　　）
A.?9.5%?????????????????????????????????B.?10%?????????????????????????????????C.?19%?????????????????????????????????D.?以上都不对
3.如图所示，一条长为64cm铁丝剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形面积为160cm2 ， 则这两个正方形边长为（　　）
A.?8cm，8cm????????????????????B.?10cm，6cm?????????????????????C.?12cm，4cm????????????????????D.?14cm，2cm
4.某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为12万元，第3年的养殖成本为16万元．设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（?? ）
A.?12（1﹣x）2=16???????????B.?16（1﹣x）2=12???????????C.?16（1+x）2=12???????????D.?12（1+x）2=16
5.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(?? )
A.?x（x-1）=2070?????????????B.?x（x+1）=2070?????????????C.?2x（x+1）=2070?????????????D.?=2070
6.某饲料厂今年三月份生产饲料600吨，五月份生产饲料840吨，若四、五月份两个月平均每月生产增长率为x，则有（ ）
A.?600（1+2x）=840??????B.?600（1+x2）=840??????C.?600（1+x）2=840??????D.?600（1-x）2=840
7.无为县为执行“两免一补”政策，2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元.设这两年投入教育经费年平均增长率为x，则下列方程正确的是（????）
A.?2500（1+x）2=3600????????????????????????????????????????B.?2500x2=3600C.?2500（1+x%）2=3600?????????????????????????????????????D.?2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
8.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（?? ）
A.?x（x﹣1）=10???????????????????B.? =10???????????????????C.?x（x+1）=10???????????????????D.? =10
二、解答题（共6题；共28分）
9.如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．（1）怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？（2）长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
10.一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
11.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
12.某工程队在我县实施一江两岸山水园林县城的改造建设中，承包了一项拆迁工程，原计划每天拆1250m2 ， 因为准备工作不足，第一天少拆20%，从第二天开始，该工程队加快拆迁速度，第三天就拆迁了1440m2 ， 问：（1）该工程队第一天拆迁面积是多少？????? （2）若该工程队第二、三天拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
13.某市一楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产新政策的出台，大多购房者持币观望．为了加快资金周转，该楼盘开发商将价格下调两次后，决定以每平方米3840元的均价开盘销售，求平均每次下调的百分率．
14.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；又∵是互送贺卡，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2970．故选B．【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了2970张可列出方程．
2.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设原来的成本为a，平均每年下降x，a（1﹣x）2=a（1﹣19%），（1﹣x）2=1﹣19%，x=10%或x=190%（舍去）．故选：B【分析】设原来的成本为a，两年后为a（1﹣19%），设平均每年下降x，列方程求解即可．
3.【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设大正方形边长为acm，则小正方形边长为（16﹣a）cm依题意得a2+（16﹣a）2=160，解得a1=12，a2=4（不合题意舍去）．16﹣a=16﹣12=4（cm），故选C．【分析】设大正方形边长为acm，则小正方形边长为（16﹣a）cm，根据两个正方形面积为160cm2 ， 列出一元二次方程求解．
4.【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意可列方程：12（1+x）2=16，故选：D．【分析】解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，那么两次涨价后售价为12（1+x）2 ， 然后根据题意可得出方程．
5.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1)张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】根据题意得：每人要赠送（x-1)张相片，有x个人，∴全班共送：（x-1)x=2070，故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．
6.【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】4月份的产量为600×（1+x)，5月份的产量在4月份产量的基础上增加x，为600×（1+x)×（1+x)，
则列出的方程是600（1+x)2=840，
故选C．
【分析】可先表示出4月份的产量，那么4月份的产量×（1+增长率)=5月份的产量，把相应数值代入即可求解．考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x)2=b．
7.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率)，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2010年投入2500万元，预计2012年投入3600万元即可得出方程．【解答】设教育经费的年平均增长率为x，则2011的教育经费为：2500×（1+x)2012的教育经费为：2500×（1+x)2 ． 那么可得方程：2500×（1+x)2=3600．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
8.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：(x﹣1)次；依题意，可列方程为： =10；故答案为：B．【分析】这是典型的握手问题，注意：每两个人只握了一次手.有x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x-1）次，x人共需握手：x(x-1)次.而每两个人都握一次，因此要将重复的部分除去，即一共握手次，由题意可列出方程.
二、解答题
9.【答案】解：（1）设CD=xm，则DE=（32﹣2x）m，依题意得：x（32﹣2x）=126，整理得? x2﹣16x+63=0，解得? x1=9，x2=7，当x1=9时，（32﹣2x）=14当x2=7时?? （32﹣2x）=18＞15 （不合题意舍去）∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．（2）设CD=ym，则DE=（32﹣2y）m，依题意得? y（32﹣2y）=130整理得? y2﹣16y+65=0△=（﹣16）2﹣4×1×65=﹣4＜0故方程没有实数根，∴长方形场地面积不能达到130m2 ．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】（1）首先设CD=xm，则DE=（32﹣2x）m，进而利用面积为126m2得出等式求出即可；（2）结合（1）中求法利用根的判别式分析得出即可．
10.【答案】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.解得x1=- ?(舍去)，x2=1.答：原来的两位数为31
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，原数表示为：10(x+2)+x，新数表示为：10x+x+2；根据新数的平方比原来的两位数大138列出方程，求解并检验即可。
11.【答案】解答：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x=0.1，或x=-2.2（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ， 根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x=0.1，或x=-2.2（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解
12.【答案】解：（1）该工程队第一天拆迁面积是1250×（1-20%）=1000m2；（2）设这个百分数是x，则1000（1+x）2=1440．（1+x）2=1.441+x=±1.2x1=1.2-1=0.2=20%，x2=-1.2-1=-2.2经检验：x2=-2.2不合题意，舍去，只取x1=20%，答：这个百分数是20%。
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】（1）第一天拆迁面积=原计划的拆迁面积×（1-20%），把相关数值代入计算即可；（2）等量关系为：第一天的拆迁面积×（1+百分数）2=第3天的拆迁面积，把相关数值代入计算即可。【分析】此题主要考查了实际问题与一元二次方程的应用，注意所求得的结果是否符合题意，注意取舍。
13.【答案】设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，6000（1-x）2=4860，解得：x1=10%，x2=（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．
14.【答案】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，根据题意，商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，则有w=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250即当x=15时，w有最大值，为1250，答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设每件衬衫应降价x元，利润为w元，由于每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以降价x元后每天可以售出：（20+2x）件，此时每件盈利：（40﹣x）元，每天盈利w=（20+2x）（40﹣x），求出极值即可得出答案．
一元二次方程实际应用题专练
一、单选题（共8题；共32分）
1.我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（?? ）
A.?x（x﹣1）=2970????????B.?x（x﹣1）=2970????????C.?x（x+1）=2970????????D.?x（x+1）=2970
2.某工厂计划两年把产品的成本下降19%，则平均每年下降（　　）
A.?9.5%?????????????????????????????????B.?10%?????????????????????????????????C.?19%?????????????????????????????????D.?以上都不对
3.如图所示，一条长为64cm铁丝剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形面积为160cm2 ， 则这两个正方形边长为（　　）
A.?8cm，8cm????????????????????B.?10cm，6cm?????????????????????C.?12cm，4cm????????????????????D.?14cm，2cm
4.某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为12万元，第3年的养殖成本为16万元．设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（?? ）
A.?12（1﹣x）2=16???????????B.?16（1﹣x）2=12???????????C.?16（1+x）2=12???????????D.?12（1+x）2=16
5.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(?? )
A.?x（x-1）=2070?????????????B.?x（x+1）=2070?????????????C.?2x（x+1）=2070?????????????D.?=2070
6.某饲料厂今年三月份生产饲料600吨，五月份生产饲料840吨，若四、五月份两个月平均每月生产增长率为x，则有（ ）
A.?600（1+2x）=840??????B.?600（1+x2）=840??????C.?600（1+x）2=840??????D.?600（1-x）2=840
7.无为县为执行“两免一补”政策，2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元.设这两年投入教育经费年平均增长率为x，则下列方程正确的是（????）
A.?2500（1+x）2=3600????????????????????????????????????????B.?2500x2=3600C.?2500（1+x%）2=3600?????????????????????????????????????D.?2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
8.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（?? ）
A.?x（x﹣1）=10???????????????????B.? =10???????????????????C.?x（x+1）=10???????????????????D.? =10
二、解答题（共6题；共28分）
9.如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．（1）怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？（2）长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
10.一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
11.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
12.某工程队在我县实施一江两岸山水园林县城的改造建设中，承包了一项拆迁工程，原计划每天拆1250m2 ， 因为准备工作不足，第一天少拆20%，从第二天开始，该工程队加快拆迁速度，第三天就拆迁了1440m2 ， 问：（1）该工程队第一天拆迁面积是多少？????? （2）若该工程队第二、三天拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
13.某市一楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产新政策的出台，大多购房者持币观望．为了加快资金周转，该楼盘开发商将价格下调两次后，决定以每平方米3840元的均价开盘销售，求平均每次下调的百分率．
14.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；又∵是互送贺卡，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2970．故选B．【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了2970张可列出方程．
2.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设原来的成本为a，平均每年下降x，a（1﹣x）2=a（1﹣19%），（1﹣x）2=1﹣19%，x=10%或x=190%（舍去）．故选：B【分析】设原来的成本为a，两年后为a（1﹣19%），设平均每年下降x，列方程求解即可．
3.【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设大正方形边长为acm，则小正方形边长为（16﹣a）cm依题意得a2+（16﹣a）2=160，解得a1=12，a2=4（不合题意舍去）．16﹣a=16﹣12=4（cm），故选C．【分析】设大正方形边长为acm，则小正方形边长为（16﹣a）cm，根据两个正方形面积为160cm2 ， 列出一元二次方程求解．
4.【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意可列方程：12（1+x）2=16，故选：D．【分析】解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，那么两次涨价后售价为12（1+x）2 ， 然后根据题意可得出方程．
5.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1)张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】根据题意得：每人要赠送（x-1)张相片，有x个人，∴全班共送：（x-1)x=2070，故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．
6.【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】4月份的产量为600×（1+x)，5月份的产量在4月份产量的基础上增加x，为600×（1+x)×（1+x)，
则列出的方程是600（1+x)2=840，
故选C．
【分析】可先表示出4月份的产量，那么4月份的产量×（1+增长率)=5月份的产量，把相应数值代入即可求解．考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x)2=b．
7.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率)，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2010年投入2500万元，预计2012年投入3600万元即可得出方程．【解答】设教育经费的年平均增长率为x，则2011的教育经费为：2500×（1+x)2012的教育经费为：2500×（1+x)2 ． 那么可得方程：2500×（1+x)2=3600．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
8.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：(x﹣1)次；依题意，可列方程为： =10；故答案为：B．【分析】这是典型的握手问题，注意：每两个人只握了一次手.有x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x-1）次，x人共需握手：x(x-1)次.而每两个人都握一次，因此要将重复的部分除去，即一共握手次，由题意可列出方程.
二、解答题
9.【答案】解：（1）设CD=xm，则DE=（32﹣2x）m，依题意得：x（32﹣2x）=126，整理得? x2﹣16x+63=0，解得? x1=9，x2=7，当x1=9时，（32﹣2x）=14当x2=7时?? （32﹣2x）=18＞15 （不合题意舍去）∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．（2）设CD=ym，则DE=（32﹣2y）m，依题意得? y（32﹣2y）=130整理得? y2﹣16y+65=0△=（﹣16）2﹣4×1×65=﹣4＜0故方程没有实数根，∴长方形场地面积不能达到130m2 ．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】（1）首先设CD=xm，则DE=（32﹣2x）m，进而利用面积为126m2得出等式求出即可；（2）结合（1）中求法利用根的判别式分析得出即可．
10.【答案】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.解得x1=- ?(舍去)，x2=1.答：原来的两位数为31
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，原数表示为：10(x+2)+x，新数表示为：10x+x+2；根据新数的平方比原来的两位数大138列出方程，求解并检验即可。
11.【答案】解答：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x=0.1，或x=-2.2（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ， 根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x=0.1，或x=-2.2（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解
12.【答案】解：（1）该工程队第一天拆迁面积是1250×（1-20%）=1000m2；（2）设这个百分数是x，则1000（1+x）2=1440．（1+x）2=1.441+x=±1.2x1=1.2-1=0.2=20%，x2=-1.2-1=-2.2经检验：x2=-2.2不合题意，舍去，只取x1=20%，答：这个百分数是20%。
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】（1）第一天拆迁面积=原计划的拆迁面积×（1-20%），把相关数值代入计算即可；（2）等量关系为：第一天的拆迁面积×（1+百分数）2=第3天的拆迁面积，把相关数值代入计算即可。【分析】此题主要考查了实际问题与一元二次方程的应用，注意所求得的结果是否符合题意，注意取舍。
13.【答案】设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，6000（1-x）2=4860，解得：x1=10%，x2=（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．
14.【答案】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，根据题意，商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，则有w=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250即当x=15时，w有最大值，为1250，答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设每件衬衫应降价x元，利润为w元，由于每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以降价x元后每天可以售出：（20+2x）件，此时每件盈利：（40﹣x）元，每天盈利w=（20+2x）（40﹣x），求出极值即可得出答案．