2018-2019学年高二物理粤教版选修3-1学案：第1章 微型专题1

微型专题1　电场力的性质
[学习目标]　1.会分析两等量同种电荷和两等量异种电荷的电场分布.2.会由粒子的运动轨迹分析带电粒子的受力方向和所在处的电场方向.3.会解答库仑力作用下带电体的平衡问题和加速问题．
一、两等量点电荷周围的电场
1．等量同号点电荷的电场(电场线分布如图1)：
(1)两点电荷连线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大．
(2)两点电荷连线的中垂线上由中点O到无限远，场强先变大后变小．
(3)关于中心点O点的对称点，场强等大反向．
2．等量异号点电荷的电场(电场线分布如图2)：
(1)两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小．
(2)两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大．
图1　　　　　　　　　　图2
(3)关于中心点O点的对称点，场强等大同向．
例1　如图3所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的电场力分别为Fd、Fc、Fe，则下列说法中正确的是(　　)
图3
A．Fd、Fc、Fe的方向都是水平向右
B．Fd、Fc的方向水平向右，Fe的方向竖直向上
C．Fd、Fe的方向水平向右，Fc＝0
D．Fd、Fc、Fe的大小都相等
答案　A
解析　根据场强叠加原理，d、c、e三点场强方向都是水平向右，正点电荷在各点受电场力方向与场强方向相同，故A正确，B、C错误；两点电荷连线上场强由a到b先减小后增大，中垂线上由c到无穷远处场强逐渐减小，因此c点场强是连线上最小的(但不为0)，是中垂线上最大的，故Fd>Fc>Fe，故D错误．
针对训练　两个带等量正电荷的点电荷如图4所示，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，关于电子的运动，下列说法正确的是(　　)
图4
A．电子在从a点向O点运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大
B．电子在从a点向O点运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大
C．电子运动到O点时，加速度为零，速度最大
D．电子通过O点后，速度越来越小，加速度越来越大，一直到速度为零
答案　C
解析　带等量正电荷的两点电荷连线的中垂线上，中点O处的场强为零，向中垂线的两边场强先变大，达到一个最大值后，再逐渐减小到零．但a点与最大场强点的位置关系不能确定，电子在从a点向O点运动的过程中，当a点在最大场强点的上方时，加速度先增大后减小；当a点在最大场强点的下方时，电子的加速度则一直减小，故A、B错误；但不论a点的位置如何，电子在向O点运动的过程中，都在做加速运动，所以电子的速度一直增加，当到达O点时，加速度为零，速度达到最大值，C正确；通过O点后，电子的运动方向与场强的方向相同，与所受电场力方向相反，故电子做减速运动，由能量守恒定律得，当电子运动到与a点关于O点对称的b点时，电子的速度为零．同样因b点与最大场强点的位置关系不能确定，故加速度大小的变化不能确定，D错误．
二、电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析
1．带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向．
2．分析方法：由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断电荷加速度的大小．
例2　如图5所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示．则(　　)
图5
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a的速度将减小，b的速度将增大
C．a的加速度将减小，b的加速度将增大
D．两个粒子的动能，一个增大一个减小
答案　C
解析　带电粒子做曲线运动，所受电场力的方向指向轨迹的内侧，由于电场线的方向未知，所以粒子带电性质不确定，故A错误；从图中轨迹变化来看，速度与力方向的夹角都小于90°，所以电场力都做正功，动能都增大，速度都增大，故B、D错误．电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以a受力减小，加速度减小，b受力增大，加速度增大，故C正确．
三、静电力作用下的平衡
1．共点力的平衡条件：物体所受外力的合力为零．
2．处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法．
3．选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用．
例3　如图6所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
图6
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
(2)在(1)中的情形下，C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗？
(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
答案　见解析
解析　(1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则
＝
解得：r＝
(2)距离A为处，A、B的合场强为0，C的电荷量大小和电性对其平衡无影响．
(3)若将C放在A、B电荷两边，A、B对C同为向右(或向左)的力，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷．设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距r1，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对电荷A：
有＝
对电荷B：有＝
联立可得：r1＝，Q＝q(负电荷)
即应在AB连线上且在A的右边，与点电荷A相距处放置一个电荷量为q的负电荷．
1．同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零，根据平衡条件可得，电荷间的关系为：“两同夹异”、“两大夹小”、“近小远大”．
2对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程．
例4　(多选)A、B两带电小球，质量分别为mA、mB，用绝缘不可伸长的细线如图7悬挂，静止时A、B两球处于相同高度．若B对A及A对B的库仑力分别为FA、FB，重力加速度为g，则下列判断正确的是(　　)
图7
A．FAB．细线AC对A的拉力FTA＝
C．细线OC的拉力FTC＝(mA＋mB)g
D．同时烧断AC、BC细线后，A、B在竖直方向的加速度相同
答案　CD
解析　对小球A受力分析，受重力、库仑力、拉力，如图．两球间的库仑力是作用力与反作用力，大小一定相等，故A错误；由共点力的平衡条件有：mAg＝FTAcos 30°，因此：FTA＝mAg，故B错误；由整体法可知，细线OC的拉力等于两球的总重力，故C正确；同时烧断AC、BC细线后，A、B在竖直方向重力不变，所以加速度相同，故D正确．
四、电场中的动力学问题
例5　如图8所示，光滑绝缘斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：
图8
(1)原来的电场强度大小；
(2)小物块运动的加速度；
(3)小物块2 s末的速度大小和2 s内的位移大小．
答案　(1)　(2)3 m/s2，方向沿斜面向下　(3)6 m/s　6 m
解析　(1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，
则mgsin 37°＝qEcos 37°，E＝＝.
(2)当场强变为原来的时，小物块受到的合外力F合＝mgsin 37°－qEcos 37°＝0.3mg，
又F合＝ma，所以a＝3 m/s2，方向沿斜面向下．
(3)由运动学公式，知v＝at＝3×2 m/s＝6 m/s
x＝at2＝×3×22 m＝6 m.
1. (多选)如图9所示，在等量异号点电荷连线的中垂线上取A、B、C、D四点，B、D两点关于O点对称，则关于各点场强的关系，下列说法中正确的是(　　)
图9
A．EA>EB，EB＝ED B．EAC．EA答案　BC
2.某电场的电场线分布如图10所示，一带电粒子仅在电场力作用下沿图中虚线所示路径运动，先后通过M点和N点．以下说法正确的是(　　)
图10
A．M、N点的场强EM>EN
B．粒子在M、N点的加速度aM>aN
C．粒子在M、N点的速度vM>vN
D．粒子带正电
答案　D
解析　电场线的疏密程度表示电场强度的大小，可知EM3．(多选)如图11所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么(　　)
图11
A．两球一定带异种电荷
B．q1一定大于q2
C．m1一定小于m2
D．m1所受的库仑力一定大于m2所受的库仑力
答案　AC
解析　由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A正确．设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的库仑力F＝mgtan θ，α>β，因此m1g＜m2g，即m1＜m2，选项C正确．
4.如图12所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C．现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直线成30°角，绳长L＝0.2 m，求：(重力加速度g的大小取10 m/s2)
图12
(1)这个匀强电场的电场强度大小．
(2)突然剪断轻绳，小球做什么运动？加速度大小和方向如何？
答案　(1)×107 N/C　(2)做初速度为0的匀加速直线运动　 m/s2，与竖直线成30°角斜向右下方
解析　(1)对带电小球受力分析，如图所示．小球受力平衡，则
qE＝mgtan 30°
解得E＝×107 N/C.
(2)突然剪断轻绳，小球受重力和电场力，初速度为零，做匀加速直线运动．
F合＝＝ma
解得a＝ m/s2
加速度方向与竖直线成30°角斜向右下方．
一、选择题(1～6题为单选题，7～10题为多选题)
1．一带负电荷的质点，只在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的．关于b点电场强度E的方向，图中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)(　　)
答案　D
解析　根据从a运动到c，质点的速率是递减的，可知质点所受电场力方向与运动方向成钝角，又根据曲线运动条件，可知电场力指向轨迹弯曲的内侧，因负电荷所受电场力与场强方向相反，故图D正确．
2.某电场的电场线分布如图1所示，虚线为某带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则(　　)
图1
A．粒子一定带负电
B．粒子一定是从a点运动到b点
C．粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D．粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
答案　C
解析　做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的电场力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错；粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处受力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；粒子从c到a的过程，电场力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误；故选C.
3.如图2为真空中两点电荷A、B形成的电场中的一簇电场线，已知该电场线关于虚线对称，O点为A、B电荷连线的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是(　　)
图2
A．A、B可能带等量异号的正、负电荷
B．A、B可能带不等量的正电荷
C．a、b两点处无电场线，故其电场强度可能为零
D．同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反
答案　D
解析　根据电场线的方向及对称性，可知该电场为等量正点电荷形成的电场，故A、B均错误；a、b两点虽没有画电场线，但两点的电场强度都不为零，C错误；根据等量正点电荷的电场特点可知，同一试探电荷在a、b两点所受电场力等大反向，D正确．
4.直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图3.M、N两点各固定一等量负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　)
图3
A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向
C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向
答案　B
解析　因正点电荷在O点时，G点的场强为零，则可知两负点电荷在G点形成的电场的合场强与正点电荷在G点产生的场强等大反向，大小为E负＝k，方向沿y轴正向；若将正点电荷移到G点，则正点电荷在H点的场强大小为E1＝k＝，方向沿y轴正向，因两负点电荷在G点的合场强与在H点的合场强等大反向，则H点处场强大小为E＝E负－E1＝，方向沿y轴负向，故选B.
5.相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为＋4q和－q，如图4所示，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是(　　)
图4
A．－q，在A左侧距A为L处
B．－2q，在A左侧距A为处
C．＋4q，在B右侧距B为L处
D．＋2q，在B右侧距B为处
答案　C
解析　A、B、C三个电荷要平衡，必须三个电荷在一条直线上，外侧二个电荷相互排斥，中间电荷吸引外侧两个电荷，所以外侧两个电荷距离大，要平衡中间电荷的引力，必须外侧电荷电荷量大，中间电荷电荷量小，所以C必须带正电，在B的右侧．设C所在位置与B的距离为r，则C所在位置与A的距离为L＋r，要能处于平衡状态，所以A对C的电场力大小等于B对C的电场力大小，设C的电荷量大小为Q.则有：＝k，解得r＝L.对点电荷A，其受力也平衡，则：k＝，解得：Q＝4q，即C带正电，电荷量为4q，在B的右侧距B为L处．
6.如图5所示，在场强为E的匀强电场中有一个质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，当小球静止时，细线与竖直方向成30°角，已知此电场方向恰使小球受到的电场力最小，则小球所带的电荷量应为(　　)
图5
A. B.
C. D.
答案　D
解析　电场方向恰使小球受到的电场力最小，即E的方向与细线垂直，对小球进行受力分析可得mgsin 30°＝qE，则q＝，故D正确．
7．如图6所示，带箭头的线表示某一电场中的电场线的分布情况．一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示．若不考虑其他力，则下列判断中正确的是(　　)
图6
A．若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电
B．不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电
C．若粒子是从B运动到A，则其加速度减小
D．若粒子是从B运动到A，则其速度减小
答案　BC
解析　根据做曲线运动的物体所受合外力指向曲线内侧可知粒子所受电场力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点受到的电场力大，在B点时的加速度较大．若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，故C正确；从B到A过程中电场力与速度方向成锐角，即做正功，动能增大，速度增大，故D错误．故选B、C.
8．如图7所示，在真空中等量异种点电荷形成的电场中：O是电荷连线的中点，C、D是连线的中垂线上关于O对称的两点，A、B是连线延长线上的两点，且到正、负电荷的距离均等于两电荷间距的一半．则以下结论正确的是(　　)
图7
A．B、C两点场强方向相反
B．A、B两点场强相同
C．C、O、D三点比较，O点场强最弱
D．A、O、B三点比较，O点场强最弱
答案　AB
9.如图8所示，两个带等量正电荷的小球A、B(可视为点电荷)，被固定在光滑绝缘水平面上．P、N是小球A、B连线的垂直平分线上的点，且PO＝ON.现将一个电荷量很小的带负电的小球C(可视为质点)，由P点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，关于小球C的速度图象中，可能正确的是(　　)
图8
答案　AB
解析　在AB的垂直平分线上，从无穷远处到O点电场强度先变大后变小，到O点变为零，负电荷受力沿垂直平分线，电荷的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大，v－t图线的斜率先变大后变小；由O点到无穷远，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性．如果P、N与O之间的距离足够远，则B正确，如果P、N与O之间的距离很近，则A正确．
10.如图9所示，金属板带电荷量为＋Q，质量为m的金属小球带电荷量为＋q，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α，小球(可视为质点)与金属板中心O恰好在同一条水平线上，且距离为L.下列说法正确的是(　　)
图9
A．＋Q在小球处产生的场强为E1＝
B．＋Q在小球处产生的场强为E1＝
C．＋q在O点产生的场强为E2＝
D．＋q在O点产生的场强为E2＝
答案　BC
解析　金属板不能看成点电荷，在小球处产生的场强不能用E＝计算，故A错误；根据小球受力平衡得小球受电场力F＝mgtan α，由E＝得：E1＝，B正确；小球可看成点电荷，在O点产生的场强E2＝，C正确；根据牛顿第三定律知金属板受到小球的电场力大小为F＝mgtan α，但金属板不能看做试探电荷，故不能用公式E＝求场强，D错误．故选B、C.
二、非选择题
11.如图10所示，长l＝1 m的轻质绝缘细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带正电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的场强E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
图10
(1)小球所受电场力F的大小；
(2)小球的质量m；
(3)将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小．
答案　(1)3×10－3 N　(2)4×10－4 kg　(3)2 m/s
解析　(1)小球在匀强电场中所受电场力
F＝qE＝3×10－3 N
(2)对小球受力分析如图．由平衡条件得mg＝
则m＝＝ kg＝4×10－4 kg
(3)撤去电场后，只有重力做功，由动能定理得
mgl(1－cos θ)＝mv2－0
代入数值解得v＝2 m/s.
12.如图11所示，把一个倾角为θ的绝缘斜面固定在匀强电场中，电场方向水平向右，电场强度大小为E，有一质量为m、带电荷量为＋q的物体，以初速度v0从A端滑上斜面恰好能沿斜面匀速运动，重力加速度为g，求物体与斜面间的动摩擦因数．
图11
答案　
解析　 物体受力情况如图所示，将各力沿斜面和垂直斜面两个方向进行正交分解，则沿斜面方向上：
Ff＋mgsin θ＝qEcos θ①
垂直斜面方向上：
mgcos θ＋qEsin θ＝FN②
其中Ff＝μFN③
由①②③解得：μ＝.
13．如图12所示，有一水平向左的匀强电场，场强为E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C、质量m＝1.0×10－2 kg.将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动．求：
(A、B可视为点电荷，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图12
(1)小球B开始运动时的加速度为多大？
(2)小球B的速度最大时，与M端的距离r为多大？
答案　(1)3.2 m/s2　(2)0.9 m
解析　(1)如图所示，开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得
mgsin θ－－qEcos θ＝ma.
代入数据解得：a＝3.2 m/s2.
(2)小球B速度最大时所受合力为零，
即mgsin θ－－qEcos θ＝0
代入数据解得：r＝0.9 m.