2018-2019学年高二物理粤教版选修3-1学案：第1章 微型专题2

微型专题2　电场能的性质
[学习目标]　1.理解电势、电势差、电势能的概念，会分析带电粒子在电场中运动时电势能等物理量的变化.2.会分析电势、电势能及电场力做功的综合问题.3.会用等分法确定等势面和电场方向.4.理解E—x、φ－x图象的意义，并会分析有关问题．
一、电场线、等势面和运动轨迹的综合
例1　 (多选)(2017·天津理综·7)如图1所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB.下列说法正确的是(　　)
图1
A．电子一定从A向B运动
B．若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpAD．B点电势可能高于A点电势
答案　BC
解析　电子在电场中做曲线运动，虚线AB是电子只在电场力作用下的运动轨迹，电场力沿电场线指向曲线的凹侧，电场的方向与电子所受电场力的方向相反，如图所示．由所给条件无法判断电子的运动方向，故A错误；若aA>aB，说明电子在A点受到的电场力较大，A点的电场强度较大，根据点电荷的电场分布可知，靠近M端为场源电荷的位置，应为正电荷，故B正确；无论Q为正电荷还是负电荷，一定有电势φA>φB，电子电势能Ep＝－eφ，电势能是标量，所以一定有EpA1．粒子在电场中做曲线运动，速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧．
2．电势能大小的判断方法
(1)电场力做功：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加．
(2)利用公式法：由Ep＝qφ知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大．
针对训练1　如图2所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在电场力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处．由此可知(　　)
图2
A．O为负电荷
B．在整个过程中q的电势能先变小后变大
C．在整个过程中q的速度先变大后变小
D．在整个过程中，电场力做功为零
答案　D
解析　由运动轨迹分析可知q受到指向曲线凹侧库仑力的作用，O点的电荷应为正电荷，A项错误；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大．而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，B、C项错误；由于a、c两点在同一等势面上，整个过程中，电场力不做功，D项正确．
二、电势、电势能、电场力做功的综合分析
例2　在电场中把电荷量为2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，电场力做功1.5×10－7 J，再把这个电荷从B点移到C点，克服电场力做功4.0×10－7 J.
(1)求A、C两点间电势差；
(2)电荷从A经B移到C，电势能的变化怎样？
答案　(1)－125 V
(2)电荷从A经B移到C，电势能先减少1.5×10－7 J，再增加4.0×10－7 J，从A到C，电势能增加2.5×10－7 J
解析　(1)在电场中把电荷量为2×10－9 C的正电荷从A点移到B点，电场力做功1.5×10－7 J，再把这个电荷从B点移到C点，克服电场力做功4.0×10－7 J，故电场力做的总功为：
WAC＝WAB＋WBC
＝1.5×10－7 J－4.0×10－7 J
＝－2.5×10－7 J
故UAC＝＝＝－125 V
(2)在电场中把电荷量为2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，电场力做功1.5×10－7 J，电势能减少1.5×10－7 J．再把这个电荷从B点移到C点，克服电场力做功4.0×10－7 J，电势能增加4.0×10－7 J．从A到C，电势能增加2.5×10－7 J.
例3　如图3所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
图3
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点为零电势点，试确定A点的电势．
答案　(1)　(2)－
解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝mvC2－mvB2
解得vC＝.
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝mv C2－0，
又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)．
又因为φC＝0，
可得φA＝－.
电场中的功能关系
1．合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk.这里的W合指合外力做的功．
2．电场力做功决定带电体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似．
3．只有电场力做功时，带电体电势能与动能的总量不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似．
三、用等分法确定等势线和电场线
1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场线方向的距离．
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图4甲所示．
甲　　　　　　乙
图4
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
例4　如图5所示，A、B、C表示匀强电场中的三点，它们的电势分别为φA＝－5 V，φB＝9 V，φC＝2 V．试在图中画出过A、B、C点的三条等势线，并画出一条过C点的电场线．
图5
答案　见解析图
解析　由题意知，UBA＝14 V，UBC＝7 V．由于是匀强电场，故AB连线的中点D与C点是等势点，而匀强电场中等势面为一平面，故DC连线为等势线，再过A、B点分别作平行于CD的直线即为所求的过A、B、C点的三条等势线，如图所示，过C作垂直于CD的直线即为过C点的电场线，且电场方向垂直于CD向左．
四、E－x、φ－x图象的分析
例5　(多选)(2017·全国卷Ⅰ·20) (多选)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图6所示．电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed.点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推．现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd.下列选项正确的是(　　)
图6
A．Ea∶Eb＝4∶1 B．Ec∶Ed＝2∶1
C．Wab∶Wbc＝3∶1 D．Wbc∶Wcd＝1∶3
答案　AC
解析　由题图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m，根据点电荷的场强公式E＝k可知，＝＝，＝＝，故A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3 V、1 V、1 V，所以＝，＝，故C正确，D错误．
针对训练2　 (多选)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图7所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴正向运动，则点电荷(　　)
图7
A．x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动至x4的过程中电场力先减小后增大
答案　BC
解析　由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误．由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，知A错误，B正确．
1．φ－x图象反映电势φ随x的变化规律，其斜率大小表示场强大小．电场方向由电势变化情况判断(顺着电场线方向电势降低)．
2．E－x图象反映场强E随x的变化规律，其正负表示场强的方向．
1.如图8所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知(　　)
图8
A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
答案　A
解析　根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误．
2. (多选)(2017·全国卷Ⅲ·21)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图9所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是(　　)
图9
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案　ABD
解析　如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确．
3.如图10所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，静电力常量为k，求：
图10
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示)．
答案　(1)3g　方向竖直向上　(2)－
解析　(1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：mg－k＝m·g.在B点时：k－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上．
(2)从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－.
一、选择题(1～5题为单选题，6～10为多选题)
1．如图1所示，实线是匀强电场的电场线，带电粒子q1、q2 分别从A、C 两点以初速度v垂直射入电场，其运动轨迹分别是图中的ABC、CDA.已知q1带正电，不计粒子重力和粒子间相互作用力．则下列说法中正确的是(　　)
图1
A．q2也带正电
B．A点的电势低于C点的电势
C．电场力对q1做正功，对q2做负功
D．q1、q2的电势能均减小
答案　D
解析　由物体做曲线运动的条件，知q1所受电场力水平向右，q1带正电，故电场方向向右；q2所受电场力向左，故q2 为负电荷，故A错误；电场线水平向右，沿电场线的方向电势降低，则A点的电势高于C点的电势，故B错误；由题图可知，电场力与运动方向成锐角，电场力对q1、q2都做正功，q1、q2的电势能都减少，故C错误，D正确．
2．某带电粒子仅在电场力作用下由A点运动到B点，电场线、粒子在A点的初速度及运动轨迹如图2所示，可以判定(　　)
图2
A．粒子在A点的加速度大于它在B点的加速度
B．粒子在A点的动能小于它在B点的动能
C．粒子在A点的电势能小于它在B点的电势能
D．电场中A点的电势低于B点的电势
答案　B
解析　由电场线的指向可知A点电势高于B点电势，故D错误；由电场线的疏密程度可知粒子在A点所受的电场力小于在B点所受的电场力，故粒子在A点的加速度小于在B点的加速度，故A错误；由运动轨迹的弯曲方向知粒子在运动过程中，电场力对其做正功，则其动能增加，电势能减小，故B正确，C错误．
3.如图3所示，M和N是两个带有异种电荷的带电体(M在N的正上方，图示平面为竖直平面)，P和Q是M表面上的两点，S是N表面上的一点．在M和N之间的电场中画有三条等势线，相邻等势面间电势差相等．现有一个带正电的液滴从E点射入电场，它经过了F点和W点，已知液滴在F点时的机械能大于在W点时的机械能(E、W两点在同一等势面上，不计液滴对原电场的影响，不计空气阻力)．则以下说法正确的是(　　)
图3
A．液滴在F点受到的电场力小于在W点受到的电场力
B．P点的电势高于S点的电势
C．液滴在F点的电势能高于在E点的电势能
D．液滴在E、F、W三点的“机械能和电势能总和”没有改变
答案　D
解析　F点处等势面较密，W点处等势面较疏，故F点场强大于W点场强，液滴在F点受到的电场力大，A错误；带正电的液滴在F点时的机械能大于在W点的机械能，故从F点到W点，机械能减小，电场力做负功，说明电场线垂直等势面向上，而沿着电场线电势逐渐降低，故P点的电势低于S点的电势，故B错误；由于电场线垂直等势面向上，故E点的电势大于F点的电势，根据Ep＝qφ，液滴在F点的电势能低于在E点的电势能，故C错误；液滴在运动过程中只有重力和电场力做功，故液滴在E、F、W三点的“机械能和电势能总和”没有改变，故D正确．
4．a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是(　　)
答案　D
解析　由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，所以D正确．
5.如图4所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
图4
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
答案　A
解析　在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上．O点到BC的距离d＝sin α，而sin α＝＝，所以d＝＝1.5×10－2 m．根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确．
6．如图5所示，图中五点均在匀强电场中，它们刚好是一个圆的四个等分点和圆心．已知电场线与圆所在平面平行．下列有关圆心O和等分点a的电势、电场强度的相关描述正确的是(　　)
图5
A．a点的电势为6 V
B．a点的电势为－2 V
C．O点的场强方向指向a点
D．O点的场强方向指向电势为2 V的点
答案　AD
解析　在匀强电场中，沿某一直线若存在电势变化，则沿与该直线平行的其他直线也会存在相同的电势变化规律，所以有10 V－6 V＝φa－2 V，解得φa＝6 V，A项正确，B项错误；O点与a点处于同一等势面上，所以O点场强方向垂直Oa连线指向电势为2 V的点，C项错误，D项正确．
7.如图6所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，实线为一带正电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q为这条轨迹上质点先后经过的两个点，由此可知(　　)
图6
A．三个等势面中，a电势最高 B．质点在Q点时，加速度较大
C．带电质点通过P点时动能较大 D．质点通过Q点时电势能较小
答案　BC
解析　根据等势面与电场线的关系，可知电场线必处处与等势线垂直．由带正电质点轨迹的弯曲方向，可知电场线方向如图所示．由图可知，电场强度EQ＞EP，电势φc＞φb＞φa，EpQ＞EpP，因此A、D错误，B正确；由能量守恒可知，当质点通过P点时，动能较大，所以C正确．
8.如图7所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°.下列判断正确的是(　　)
图7
A．O点电场强度为零
B．D点电场强度为零
C．若将点电荷＋q从O移向C，电势能增大
D．若将点电荷－q从O移向C，电势能增大
答案　BD
解析　题中A、B两个＋Q在O点的场强矢量和为0，所以O点的场强等于C点在O点产生的场强(不为零)，A选项错误；题中A、B、C三点电荷在D点产生的场强如图所示，大小相等，设EA＝EB＝EC＝E，EA、EB的矢量和沿x轴正方向，大小也等于E，EC方向沿x轴负方向，故三个场强的矢量和为0，B选项正确；x轴上x＜0的区间，合场强方向沿x轴负方向，所以将正电荷从O移向C，电场力做正功，电势能减小，将负电荷从O移向C，电场力做负功，电势能增大，C选项错误，D选项正确．
9.在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图8所示．若将一个带负电的粒子置于b点由静止自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动．粒子从b点运动到d点的过程中(　　)
图8
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势
C．电势能与机械能之和保持不变
D．电势能先减小，后增大
答案　CD
解析　a、c两点固定相同的正点电荷，则bd为等量正点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量正点电荷连线中垂线上的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带负电粒子从b到d运动过程中所受电场力先由b指向d，后由d指向b，所以电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小，后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确．
10.如图9所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N仅在电场力作用下先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点，下列说法正确的是(　　)
图9
A．M带负电荷，N带正电荷
B．M在b点的动能小于它在a点的动能
C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D．N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
答案　ABC
解析　如题图所示，M粒子的轨迹向左弯曲，则带电粒子所受的电场力方向向左，可知M粒子受到了引力作用，故M带负电荷，而N粒子的轨迹向下弯曲，则N粒子所受的电场力方向向下，说明N粒子受到斥力作用，故N带正电荷，选项A正确；由于虚线是等势面，故M粒子从a到b电场力对其做负功，故动能减小，选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，故从e到d电场力做功为零，故电势能不变，选项C正确；由于N粒子带正电，故从c点运动到d点的过程中，电场力做正功，选项D错误．
二、非选择题
11.如图10所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8 C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6 J，将另一电荷量为10－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6 J．若AB边长为2 cm，则电场强度的大小为多大？方向如何？
图10
答案　见解析
解析　正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点电势，
则UAB＝＝ V＝300 V.
负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，A点电势高于C点电势，
则UAC＝＝ V＝300 V.
因此B、C两点电势相等，UBC＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D.直线AB在电场方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：
E＝＝ V/m＝104 V/m.
12.一长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图11所示的水平向右的匀强电场中．开始时，将线与小球拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零．试求：
图11
(1)B、A两点的电势差UBA；
(2)匀强电场的场强大小．
答案　(1)　(2)
解析　(1)小球由A到B过程中，由动能定理得
mgLsin 60°－qUBA＝0，
所以UBA＝
(3)根据匀强电场中电势差与电场强度的关系，
可得E＝＝.
13．如图12所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为.求小球由A到C的过程中静电力做的功及A、C两点间的电势差．
图12
答案　mgh　－
解析　因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：静电力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：W＋mgh＝mvB2
代入已知条件vB＝得静电力做功
W＝m·3gh－mgh＝mgh
因Q为点电荷，则B、C在同一等势面上，由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝mgh.则UAC＝＝－.