八年级数学上册第三章3.1勾股定理的证明知识点与同步训练（含解析）

勾股定理的证明

一．勾股定理
1．如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．
　　2．勾股定理的变形：，，．
二．勾股定理的证明
1．如下图，，所以．
2．如下图，，所以．

一．勾股定理逆定理
1．如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．
二．勾股数
1．满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41．

题模一：证明
例1.1.1 请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理．

【答案】 见解析
【解析】 ∵△ABC、△BMD、△DHE、△AGE是全等的四个直角三角形，
∴，，
∴四边形ABDE是正方形，
∵，
∴，
∵，
∴四边形GHMC是正方形，
∴大正方形的面积是，
大正方形的面积也可以是：，
∴，
即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

例1.1.2 如图所示，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S⊙O，矩形PDEF的面积为S矩形PDEF．
（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n，k的取值是否有关？请说明理由．

【答案】 见解析
【解析】
解法一：
（1）据题意，∵a+h=-，ah=
∴所求正方形与矩形的面积之比：
==（1分）
∵n2-4mk≥0，∴n2≥4mk，由ah=知m，k同号，
∴mk＞0 （2分）
（说明：此处未得出mk＞0只扣（1分），不再影响下面评分）
∴≥=4（3分）
即正方形与矩形的面积之比不小于4．
（2）∵∠FED=90°，∴DF为⊙O的直径．
∴⊙O的面积为：S⊙O=π()2=π=(EF2+DE2)． （4分）
矩形PDEF的面积：S矩形PDEF=EF?DE．
∴面积之比：=(+)，设=f．
=(f+)
=[()2+()2-2-+2]
=(-)2+．（6分）
∵(-)2≥0，∴(-)2+≥，
∴=，即f=1时（EF=DE），的最小值为（7分）
（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．
过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e，

∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN=EF，∴BN=FP=e．
由BC∥MQ，得：BM=AG=h．
∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP，
∴△FBP∽△ABQ． （8分）
（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）
∴=，（9分）
∴=，∴AQ=h （10分）
∴AQ=（11分）
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关．
（解题过程叙述基本清楚即可）
解法二：
（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，
∴ah＞0 （1分）（说明：此处未得出ah＞0只扣（1分），再不影响下面评分）
∵（a-h）2≥0，当a=h时等号成立．
故，（a-h）2=（a+h）2-4ah≥0．（2分）
∴（a+h）2≥4ah，
∴≥4．（﹡） （3分）
这就证得≥4．（叙述基本明晰即可）
（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为．
S⊙O=π()2（4分），S矩形PDEF=xy
=
=[]=[-2]（6分）
≥4由（1）（*）．
∴[-2]≥(4-2)=．
∴的最小值是（7分）
（3）当的值最小时，

这时矩形PDEF的四边相等为正方形．
∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足．
∵△AGB∽△FEB，∴=． （8分）
∵△AQB∽△FPB，=，（9分）
∴==．
而EF=PF，∴AG=AQ=h，（10分）
∴AG=h=，
或者AG=h=（11分）
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关．
（解题过程叙述基本清楚即可）
题模二：勾股定理
例1.2.1 如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式（　　）

A． a＜c＜b
B． a＜b＜c
C． c＜a＜b
D． c＜b＜a
【答案】C
【解析】
∵AC==5=，BC==，AB=4=，
∴b＞a＞c，
即c＜a＜b．
故选C．
例1.2.2 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）
A． 5
B．
C． 5或
D． 不确定
【答案】C
【解析】 本题考查勾股定理的使用．
此题要分两种情况进行讨论：①当3和4为直角边时；②当4为斜边时，再分别利用勾股定理进行计算即可．
①当3和4为直角边时，第三边长为
②当4为斜边时，第三边长为，
故选C．
例1.2.3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB==15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ ABC=AC?BC=AB?CD，
∴CD===，
则点C到AB的距离是．
故选A
例1.2.4 已知直角三角形的一直角边等于35cm，另外两条边的和为49cm，求斜边长．
【答案】 斜边长为37cm
【解析】 设直角三角形的斜边长为x cm，则另一直角边为cm，根据勾股定理可列方程：，解得

随练1.1 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．
∵S四边形ADCB=S△ ACD+S△ ABC=b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ ADB+S△ DCB=c2+a（b-a）
∴b2+ab=c2+a（b-a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2
证明：连结____．
∵S五边形ACBED=____．
又∵S五边形ACBED=____．
∴____．
∴a2+b2=c2．
【答案】 （1）BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a（2）S△ ACB+S△ ABE+S△ ADE=ab+b2+ab，（3）S△ ACB+S△ ABD+S△ BDE=ab+c2+a（b-a）（4）ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a）
【解析】
证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，

∵S五边形ACBED=S△ ACB+S△ ABE+S△ ADE=ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED=S△ ACB+S△ ABD+S△ BDE=ab+c2+a（b-a），
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a），
∴a2+b2=c2．
随练1.2 如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为=_____，面积为_____

【答案】 ；36
【解析】 该题考查的是勾股定理和三角形面积计算．
由勾股定理得：，，
，
所以△ABC的周长为，
随练1.3 若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）
A． 10
B．
C． 10或
D． 10或
【答案】C
【解析】 该题考查的是勾股定理．
（1）当6和8是直角边时，斜边；
（2）当8是斜边时，另一直角边；
故选C．
随练1.4 若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（ ）
A． 10
B．
C． 10或
D． 10或
【答案】C
【解析】 该题考查的是勾股定理．
（1）当6和8是直角边时，斜边；
（2）当8是斜边时，另一直角边；
故选C．
随练1.5 设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是____
A． 1.5
B． 2
C． 2.5
D． 3
【答案】D
【解析】 本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用．
由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，
∴a+b+2.5=6，
∴a+b=3.5，①
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2+b2=2.52，②
由①②可得ab=3，
故选D．
随练1.6 已知在Rt△ABC中，，，，．如果，，求a、b的值．
【答案】 ，
【解析】 ∵中，，，，可设，则，
∴，解得，∴，．

作业1 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草．

A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
【答案】B
【解析】 该题考查的是勾股定理．
根据直角三角形勾股定理两直角边长的平方和等于斜边长的平方，
可得斜边长为，
因此少走的路为．
所以本题的答案是B．
作业2 如图，点E在正方形ABCD内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ）
A． 48
B． 60
C． 76
D． 80
【答案】C
【解析】 ．故选C．
作业3 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为　　cm．
【答案】 4.8
【解析】 ∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
作业4 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于____．

【答案】 2π
【解析】
S1=π（）2=πAC2，S2=πBC2，
所以S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．
故答案为：2π．
作业5 学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：_____________，你的理由是______________________________________________________________________
【答案】 不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为
【解析】 本题需要分类讨论．当4为直角边时，第三边的长为；当4为斜边时，第三边的长为．因此答案为5或．
作业6 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

【答案】 5
【解析】
连接BD，

∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5．
作业7 操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c（如图①），分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图②③的形状，图②中的两个小正方形的面积、与图③中小正方形的面积有什么关系？你能得到a、b、c之间有什么关系？

【答案】 三个小正方形的面积满足，其边长满足
【解析】 分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2、图3的形状，观察图2、图3可发现，图2中的两个小正方形的面积之和等于图3中的小正方形的面积，即，这个结论用关系式可表示为．