八年级数学上册第二章轴对称的概念知识点与同步训练（含解析）

轴对称的概念

一．轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
二．轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
三．垂直平分线：
经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
四．轴对称图形、图形成轴对称的性质
1．成轴对称的两个图形全等．轴对称图形沿对称轴分成的两个图形全等．
2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

一．考点：1．轴对称基本概念和性质；2．轴对称图形．
二．重难点：轴对称的两个图形是全等的，对应点的连线被对称轴垂直平分．
三．易错点：
1．对称轴是一条直线，而不是线段或者射线．
2．把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称．

题模一：轴对称基本概念和性质
例1.1.1 下列说法中错误的是（ ）
A． 两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形全等
B． 两个图形关于某直线对称，对应点的连线段被对称轴垂直平分
C． 若直线l同时垂直平分、，则线段
D． 两个图形关于某直线对称，则对应线段相等且平行
【答案】D
【解析】 若两个图形按照某条直线折叠后重合，则称这两个图形关于这条直线对称，这两个图形全等，对应点的连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，因此A、B、C选项正确，D选项两个图形关于某直线对称，对应线段相等，不一定平行，故选D．
考点：图形轴对称的性质．
例1.1.2 如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为___________.

【答案】 15
【解析】 该题考查的是轴对称．
由题意，有，，
∴△PMN的周长为．
例1.1.3 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）

A． 150°
B． 210°
C． 105°
D． 75°
【答案】A
【解析】 本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，
∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．
故选A．
例1.1.4 如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为____
A． 4.5
B． 5.5
C． 6.5
D． 7
【答案】A
【解析】 此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．
利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．
∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM=MQ，PN=NR，
∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，
∴RN=3cm，MQ=2.5cm，
即NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．
故选：A．
题模二：轴对称图形
例1.2.1 下列四个图形：

其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】C
【解析】 第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；
例1.2.2 如图是三个5×5的正方形网格，请你用三种不同的方法分别把每幅图中的一个白色小正方形涂上阴影，使每幅图中的阴影部分成为一个轴对称图形.

【答案】 如图所示，正确添加一种图形给1分，两个给3分，三个给5分

【解析】 如图所示

例1.2.3 如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为____．

【答案】 （-1，1），（-2，-2），（0，2），（-2，-3）
【解析】
如图所示：

A1（-1，1），A2（-2，-2），A3（0，2），A4（-2，-3），（-3，2）（此时不是四边形，舍去），
故答案为：（-1，1），（-2，-2），（0，2），（-2，-3）．

随练1.1 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）

A． AM=BM
B． AP=BN
C． ∠MAP=∠MBP
D． ∠ANM=∠BNM
【答案】B
【解析】 直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
随练1.2 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（　　）

A． 48°
B． 54°
C． 74°
D． 78°
【答案】B
【解析】
∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，
∴∠B=180°-78°-48°=54°
∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B=∠B′=54°．
故选B．
随练1.3 如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）

A． A点
B． B点
C． C点
D． D点
【答案】B
【解析】 当以点B为原点时，
A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于y轴对称，
符合条件．
随练1.4 一矩形纸片按图中（1）、（2）所示的方式对折两次后，再按（3）中的虚线裁剪，则（4）中的纸片展开铺平后的图形是（　　）


A． A选项
B． B选项
C． C选项
D． D选项
【答案】D
【解析】 本题是常见的剪纸问题，主要考查学生动手操作的能力．
此题需动手操作，仔细观察可知，剪去的部分应该是两个独立的M形，据此作答．
仔细观察可知，剪去的部分应该是两个独立的M形，故打开以后的形状是D．
故选D．
随练1.5 将一张矩形纸片叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=_____cm．

【答案】 6
【解析】 如图，延长原矩形的边，
∵矩形的对边平行，
∴∠1=∠ACB，
由翻折变换的性质得，∠1=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∵AB=6cm，
∴AC=6cm．

随练1.6 如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上，连结BD，将△ABC沿BD翻折后，若点C恰好落在AB边上的点E处，则△ADE的周长为__________．

【答案】 7
【解析】 ∵由翻折的性质可知：DC=DE，BC=EB=6．
∴AD+DE=AD+DC=AC=5，AE=AB﹣BE=AB﹣CB=8﹣6=2．
∴△ADE的周长=5+2=7．
随练1.7 如图是4×4的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有_____个．

【答案】 4
【解析】 如图所示：

可得这样的白色的小正方形有4个．
随练1.8 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上，请图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图1中，以AB、BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形有两组角互补且是非对称图形；
（2）在图2中以以AB、BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形有两组角互补且是轴对称图形．

【解析】 （1）如图1所示：
（2）如图2所示：