八年级数学上册第三章3.2勾股定理的逆定理知识点与同步训练（含解析）

勾股定理的逆定理
一．勾股定理逆定理
1．如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．
二．勾股数
1．满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41．
一．考点：1．勾股定理逆定理；2．勾股数．
二．重难点：掌握常用的勾股数，结合勾股定理逆定理利用线段长度可证明直角三角形．
三．易错点：勾股数除了要满足勾股定理外，还需要满足是整数．
题模一：勾股定理逆定理
例1.1.1 下列说法正确的有（　　）
①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．
A． 4个
B． 3个
C． 2个
D． 1个
【答案】C
【解析】 ①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．符合勾股定理，故本小题正确；②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC是直角三角形．故本小题错误；③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．符合勾股定理的逆定理，故本小题正确；④当C是斜边时（a+b）（a﹣b）=c2不成立，故本小题错误．
例1.1.2 在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）
A． a=9，b=41，c=40
B． a=b=5，c=5
C． a：b：c=3：4：5
D． a=11，b=12，c=15
【答案】D
【解析】 A、92+402=412，故是直角三角形，故正确；B、52+52=（）2，故是直角三角形，故正确；C、32+42=52，故是直角三角形，故正确；D、112+122≠152，故不能组成直角三角形．
例1.1.3 如图，已知，，，，AB⊥AD．判断BC⊥BD吗？简述你的理由．
【答案】 见解析
【解析】 在直角△ABD中，已知，，
∵，，
∴满足，
∴△BCD为直角三角形，
即BC⊥BD．
例1.1.4 在△ABC中，D为BC的中点，，，．试判断AD与AB的位置关系．
【答案】 AD⊥AB
【解析】 延长AD至E，使得，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴，
在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD⊥AB．
题模二：勾股数
例1.2.1 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能构成勾股数的有（ ）
A． 1组
B． 2组
C． 3组
D． 4组
【答案】C
【解析】 ①，能构成勾股数；
②，能构成勾股数；
③，能构成勾股数；
④，不能构成勾股数．
例1.2.2 已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
【答案】 7200（元）
【解析】 该题考查的是勾股定理的应用．
如图，连接BD，
在Rt△ABD中，，
在△CBD中，，，
而，
即，
∴，
所以需费用（元）．
随练1.1 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A． 4，5，6
B． 1.5，2，2.5
C． 2，3，4
D． 1，，3
【答案】B
【解析】 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D、12+（）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：B．
随练1.2 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】 ，，∵，∴，∴△ABC是等腰直角三角形，∴，所以本题的答案是C．
随练1.3 △ABC的三边长a，b，c满足，，，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】 △ABC的形状是直角三角形．
【解析】 ，，∴，∴．
随练1.4 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．
【答案】 等腰三角形或直角三角形．
【解析】 由题意知，，因此当时，△ABC为等腰三角形；当时，由，△ABC为直角三角形．
随练1.5 下面四组数中是勾股数的有（ ）
（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．
A． 1组
B． 2组
C． 3组
D． 4组
【答案】A
【解析】 （1），能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误；
（2），能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误；
（3），三边是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，正确；
（4）
，能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误．