八年级数学上册第三章3.3勾股定理的应用知识点与同步训练（含解析）

勾股定理的应用
一．求线段长
常用的方法有：
1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；
2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；
3．通过特殊三角形的比例关系来计算（仅限于选择、填空题中的快速计算）；
如图1，；如图2，
4．面积法：当所求的线段为三角形的高时，利用面积相等可求得对应高的长度；
如上图，，．
5．挖掘题目中的隐含条件，通过全等三角形、等腰三角形等来求线段长；
6．做辅助线：根据题目中的条件，添加适当的辅助线，如垂直等进而解三角形．
二．勾股定理与最短距离
在立体图形中，往往会涉及到求某两点之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图，然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离．
三．两点间距离公式
在平面直角坐标系中，任意给定两点，．过点A、B分别向坐标轴作垂线，则，，由勾股定理可得，．（初中阶段解答题中不能直接应用，如果需要，应提前说明“由勾股定理得”）
一．考点：1．求线段长；2．最短路径问题；3．两点之间距离公式．
二．重难点：根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长．
三．易错点：
1．在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；
2．所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”．
题模一：求线段长
例2.1.1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB==15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ ABC=AC?BC=AB?CD，
∴CD===，
则点C到AB的距离是．
故选A
例2.1.2 如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）
A． 2
B． 2
C． 4
D． 4
【答案】A
【解析】 ∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=1，
∴CD=2=AD，
∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，
故选：A．
例2.1.3 如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（　　）
A． 5
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
如图所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又AD⊥BD，∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠CBE=∠DAB，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴BD=CE，又CE=3，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，AD=2，BD=3，
根据勾股定理得：AB==．
故选D
例2.1.4 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A． 2cm
B． 3cm
C． 4cm
D． 5cm
【答案】B
【解析】 该题考查的是勾股定理的计算．
∵，，，
∴，
∵，∴，
设，则在Rt△DEB中，
，故，
故选B．
题模二：最短路径问题
例2.2.1 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是（ ）
A． 3
B．
C．
D． 4
【答案】C
【解析】 该题考查最短路径求解．
将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
如图，．故选C．
例2.2.2 如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm．
【答案】 10
【解析】 该题考查的是最值问题．
圆柱的侧面展开图如下：
以DG为对称轴做点A的对称点L，连结CL则蚂蚁从A到C处的最短距离为LC，
根据轴对称性质可得△LJK≌△AJK，又由题意得，
∵，
∴，
∴Rt△LBC中，，
∴，即蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为．
例2.2.3 如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，其边缘AB=CD=20cm，小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为　　m．（π取3）
【答案】 10
【解析】 其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，∴BC=πR=5π=15m，AB=CD=20m，∴CF=30m，在Rt△CDF中，DF=m，故他滑行的最短距离约为10m．
题模三：两点之间距离公式
例2.3.1 在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A（2，3），B（4，1），A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是（　　）
A． （1，0）
B． （5，4）
C． （1，0）或（5，4）
D． （0，1）或（4，5）
【答案】C
【解析】 本题考查了坐标的确定及利用两点的坐标确定两点之间的距离公式，是一道中难度题．
根据两点之间的距离公式，d=，将四个选项代入公式中，观察哪一个等于，再作答．
设宝藏的坐标点为C（x，y），
根据坐标系中两点间距离公式可知，AC=BC，
则（x-2）2+（y-3）2=（x-4）2+（y-1）2，
化简得x-y=1；
又因为标志点到“宝藏”点的距离是，
所以（x-2）2+（y-3）2=10；
把x=1+y代入方程得，y=0或y=4，即x=1或5，
所以“宝藏”C点的坐标是（1，0）或（5，4）．
故选C．
随练2.1 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为　　cm．
【答案】 4.8
【解析】 ∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
随练2.2 在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30°，BC=2，以斜边AB为一边，作等边△ABD，则线段CD的长为__________.
【答案】 2或
【解析】 本题考察的是解三角形．
如图，由，知．．
①当D与C分居直线AB两侧时，，由勾股定理，
．
②若，故在BC的延长线上．那么
随练2.3 △ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，则BC=____________
【答案】 14或4
【解析】 该题考查勾股定理．
①如图，锐角△ABC中，
，，BC边上高，
在Rt△ABD中，，由勾股定理得：
∴，
在Rt△ACD中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为
②钝角△ABC中，
，，BC边上高，
在Rt△ABD中，，由勾股定理得：
，
∴，
在Rt△ACD中：，，由勾股定理得：
，
∴，
∴BC的长为
综上可知答案为：14或4
随练2.4 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　）
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
【答案】A
【解析】
过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD===3，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离=AD=3．
故选A．
随练2.5 如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要____cm．
【答案】 （1）10 （2）2
【解析】
将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB==10（cm）；
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，
根据勾股定理可知所用细线最短需要==2（cm）．
故答案为：10；2．
随练2.6 在平面直角坐标系中，已知点A（-，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标____．
【答案】 （0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）
【解析】 本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标．
需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标．
如图，①当点C位于y轴上时，设C（0，b）．
则+=6，解得，b=2或b=-2，
此时C（0，2），或C（0，-2）．
如图，②当点C位于x轴上时，设C（a，0）．
则|--a|+|a-|=6，即2a=6或-2a=6，
解得a=3或a=-3，
此时C（-3，0），或C（3，0）．
综上所述，点C的坐标是：（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）．
故答案是：（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）．