1.3 正方形的性质和判定同步练习（含解析）

1.3正方形的性质和判定练习题（含解析）
一、选择题
1．正方形具备而菱形不具备的性质是（?? ）
A．?对角线互相平分????????? B．?对角线互相垂直???????????
C．?对角线相等?????????? D．?每条对角线平分一组对角
2．下列命题正确的是（?? ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．下列说法中，正确个数有（?? ）①对顶角相等； ②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．?1个???????????????????????????B．?2个????????????????????????C．?3个?????????????????????????????D．?4个
4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（?? ）
A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（?? ）
A．?6cm?????????????????????????????B．?4cm??????????????????????????????C．?3cm???????????????????????????D．?2cm
6．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（?? ）
A．?6?????????????????????????????? B．?8????????????????????????????????? C．?10????????????????????????????? D．?12
7．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（???? ）．
A．5 B．5 C．6 D．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （?? ）
A．?1????????????????????????????? B．??????????????????????????????? C．???????????????????????????????? D．?
9．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（??? ）
A．?3????????????????????????? B．?????????????????????????????? C．???????????????????????????? D．?
10．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（?? ）
A．?1????????????????????????? B．?1．5??????????????????????????????? C．?2?????????????????????????????? D．?2．5
11．有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则 A：B等于（??? ）
A．1： B．1:2 C．2:3 D．4:9
12．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（?? ）
A．5 B． C．7 D．
13．正方形 的边长 ， 为 的中点， 为 的中点， 分别与 相交于点 ，则 的长为（?? ）
A．??????????????? B．?????????????? C．?????????????? D．? ?
14．如图，在正方形 中， ， 分别为 ， 的中点， 为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（? ）
A．????????????????????????????B．?????????????????????????????????C．??????????????????????????????D．?
15．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置，若四边形 的面积为25， ，则 的长为（?? ）
A．?5???????????????????????????????? B．??????????????????????????? C．?7???????????????????????????? D．?
二、填空题
16．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是________度．
17．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为________．
18．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________．
19．如图，四边形ACFD是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是________．
20．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM= HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为________．
21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为________．
三、解答题
22．（2017?陕西）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF，CE交于点G．求证：AG=CG．
23．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE=BF。求证：
24．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF， BC=5，CF=3，BF=4．求证：DE∥FC
25．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。求证：矩形ABCD是正方形
26．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．
27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
28．已知：如图，平行四边形 ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD ≌ △EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B ∠AEB 等于多少度时，四边形ACED是正方形？请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1．【答案】C
【解析】A、正六边形和菱形均具有，故不符合题意； B、正六边形和菱形具有，故不符合题意； C、正六边形具有，而菱形不具有，故符合题意；D、正六边形和菱形均具有，故不符合题意；故答案为C。
2．【答案】C
【解析】A．改成为：对角线“互相平分”的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B．改成为：对角线相等的“平行四边形”是矩形，故B不符合题意； C．正确，故C符合题意；D．改成为：对角线互相垂直且相等的“平行四边形”是正方形，故D不符合题意；故答案为C．
3．【答案】B
【解析】①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故答案为：B．
4．【答案】A
【解析】∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∴四边形ABEF为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故答案为A．
5．【答案】D
【解析】∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1 ， 又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm故答案为D．6．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴ =2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故答案为D．
7．【答案】D
【解析】如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小． ∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3，∴AE=3，AB=5，∴DE= ，故PB+PE的最小值是 ．故答案为：D．
8．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴= S正方形ABCD= ，故答案为：B．9．【答案】C
【解析】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM．∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,
∴△AFE≌△AMB∴FE=BM．在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM= ∴FE= ．故答案为：C．
10．【答案】C
【解析】∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵ ，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6﹣x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9=（x+3）2 ， 解得x=2．则DE=2．故答案为：C．
11．【答案】D
【解析】如答图所示： 设大正方形ABCD的边长为a，则小正方形BEFG的边长为 a，∴CE=BE=EF= a．∵AB=BC=a，∠B=90°，∴AC= = ?= a，∴AM=HM=MJ=IJ=CJ= a，∴AH= AM= × a= a，∴DH=AD-AH=a- a= a=DI，∴S1= DH·DI= × a× a= a2 ， S2= CE·EF= × a× a= a2 ， ∴S1:S2= a2: a2=4:9．即A:B=4:9．故答案为D．
12．【答案】D
【解析】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中，AE= = ．故答案为D．13．【答案】C
【解析】∵正方形ABCD，∴AD=AB=BC=2，∠DAE=∠ABF=90°∵E为AB的中点，F为BC的中点∴AE=BF=1∴ 在△ABF和△DAE中BF=AE，∠DAE=∠ABF，AD=AB∴△ABF≌△DAE∴AF=DE=，∠BAF=∠ADE∵∠BAF+∠DAM=90°∴∠ADE+∠DAM=90°∴∠AME=∠AMD=90°∴ ∴ 解之： ∵AD∥BF∴ 解之： ∴ 故答案为：C
14．【答案】D
【解析】过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P． ∴PA+PE的最小值AE′；∵E为AD的中点，∴E′为CD的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,∴DE′=BF，∴ΔABF≌ΔAD E′，∴AE′=AF．故答案为D．15．【答案】D
【解析】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中, 故答案为D．
二、填空题
16．【答案】22．5
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；△ACE中，AC=AE，则：∠ACE=∠AEC= （180°﹣∠CAE）=67．5°；∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22．5°．
17．【答案】（﹣1，5）
【解析】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′， ∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中， ?，∴△OGM≌△EOH（ASA），∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2），∴O′（﹣ ， ），∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为 （﹣1，5），故答案是：（﹣1，5）．
18．【答案】
【解析】：∵四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，设两直角边的长分别为2x、3x ∴大正方形的面积为（2x）2+（3x）2=13x2小正方形的边长为3x-2x=x，则小正方形的面积为x2,∴阴影部分的面积为：13x2-x2=12x2,∴针尖落在阴影区域的概率为： 故答案为：
19．【答案】8
【解析】∵四边形ACFD是正方形，∴∠CAF=90°，AC=AF，∴∠CAE+∠FAB=90°，又∵∠CEA和∠ABF都是直角，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠FAB，在△ACE和△FAB中，∵ ,∴△ACE≌△FAB（AAS），∵AB=4，∴CE=AB=4，∴S阴影=S△ABC= ·AB·CE= ×4×4=8．故答案为：8．
20．【答案】①②③
【解析】由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EH=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM= HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．21．【答案】2
【解析】过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图， ∵△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP，∠AOP=90°，易得四边形OECF为矩形，∴∠EOF=90°，∴∠AOE=∠POF，∴△OAE≌△OPF，∴AE=PF，OE=OF，∴CO平分∠ACP，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，∴CE=?（AC+CP），∴OC= CE= （AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，OC= ×（2+1）= ，当AC=2，CP=CB=5时，OC= ×（2+5）= ，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长= - =2 ．故答案为2 ．
三、解答题
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．∵AE=CF，∴DE=DF，在△ADF和△CDE中 ，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠DAF=∠DCE， 在△AGE和△CGF中， ，∴△AGE≌△CGF（AAS），∴AG=CG．
【解析】由正方形的性质得出∠ADF=CDE=90°，AD=CD．结合已知条件得到△ADF≌△CDE（SAS），根据全等三角性质得出∠DAF=∠DCE； 从而推出△AGE≌△CGF（AAS），依据全等三角性质得出AG=CG．
23．【答案】证明：在正方形ABCD中，AB=BC， ， ∵AE=BF ?? ??∴
【解析】利用正方形的性质，可证得AB=BC， ∠EAB=∠CBF=45°，∠ABO=∠BCO=45°，再利用SAS证明△ABE≌△BCF，可证得∠ABE=∠BCF ，然后可证得结论。
24．【答案】证明：∵四边形 ABCD是正方形??∴∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD，∵△ECF是等腰直角三角形，?∴∠ECD+∠FCD=90°， CF=CE，∴∠BCF=∠ECD，∴△BCF≌△DCE，在△BFC中，BC=5，CF=3，BF=4，? ∴ CF2+BF2=BC2 ∴∠BFC=90°，∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，∴DE∥FC．
【解析】利用正方形的性质，可得出∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD，再利用等腰直角三角形的性质，可证得∠ECD+∠FCD=90°， CF=CE，得出∠BCF=∠ECD，就可得出△BCF≌△DCE，利用全等三角形的性质得出DE=BF，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，可证得结论。
25．【答案】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°∵△AEF是等边三角形∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，又∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形。
【解析】证明矩形ABCD是正方形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，则可证一组邻边相等
26．【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，∵ ，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．
【解析】利用正方形的性质，得出∠B=90°，AD∥BC，，利用平行线的性质及垂直的定义可证得∠EAF=∠BMA，∠AFE=∠B，再利用AAS证明△ABM≌△EFA，然后利用全等三角形的性质可证得结论。
27．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF
【解析】根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，然后利用SAS判断出△ABE≌△BCF。
28．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．∵O是CD的中点，∴OC=OD．在△ADO和△ECO中， ，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）解：当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠COE=∠BAE=90°，∴?ACED是菱形．∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD，∴菱形ACED是正方形．
【解析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，所以∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，用角角边可证得△AOD≌△EOC；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．理由如下：由（1）知△AOD≌△EOC，所以OA=OE，根据平行四边形的判定定理可得四边形ACED是平行四边形．而∠B=∠AEB=45°，所以AB=AE，∠BAE=90°；由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，所以∠COE=∠BAE=90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得?ACED是菱形，而AB=AE=CD，所以根据对角线相等的菱形是正方形可得菱形ACED是正方形。