2018学年高中物理第4章波粒二象性粒子的波动性、不确定关系学案教科版选修3_5

粒子的波动性、不确定关系
【学习目标】
1．知道康普顿效应及其理论解释；
2．知道光具有波粒二象性，从微观角度理解光的波动性和粒子性；
3．了解概率波的含义，了解光是一种概率波．
4．知道微观粒子和光子一样具有波粒二象性；
5．掌握波长的应用；
6．知道“不确定性关系”以及氢原子中“电子云”的具体含义．
【要点梳理】
要点一、粒子的波动性
1．光的散射
光在介质中与物质微粒相互作用，因而传播方向发生改变，这种现象叫做光的散射．
2．康普顿效应
（1）美国物理学家康普顿在研究射线通过金属、石墨等物质的散射时，发现在散射的射线中，除了有与入射波长相同的成分外，还有波长大于的成分．人们把这种波长变长的现象叫做康普顿效应．
（2）经典电磁理论的困难：散射前后光的频率不变，因而散射光的波长与入射光的波长应该相同，不应出现的散射光．
（3）爱因斯坦的光子说：光子不仅具有能量，而且光子具有动量．
（4）康普顿用光子说成功解释了康普顿效应：他认为散射后射线波长改变，是射线光子和物质中电子碰撞的结果．由于光子的速度是光速，非常大，而物质中的电子速度相对很小，因此可以看做电子静止．碰撞前后动量和能量都守恒．碰撞后电子动量和能量增加，光子的动量和能量减小，故散射后光子的频率要减小，光子的波长变长．

（5）康普顿效应进一步揭示了光的粒子性，也再次证明了爱因斯坦光子说的正确性．
3．光的波粒二象性
（1）光电效应和康普顿效应表明光具有粒子性，光的干涉、衍射、偏振现象表明光具有波动性．光既有波动性又有粒子性，单独使用任何一种都无法完整地描述光的所有性质，把这种性质叫做光的波粒二象性．
（2）光波是一种慨率波．
光子在空间各点出现的可能性大小（概率），可以用波动规律来描述．如单个光子通过双缝后的落点无法预测，但光子遵循的分布规律可预测，（通过双缝后）产生干涉条纹，亮纹处光子到达的机会大，暗纹处光子到达的机会小．
4．光的波动性与粒子性的统一
（1）光子和电子、质子等实物粒子一样，具有能量和动量．和其他物质相互作用时，粒子性起主导作用，在光的传播过程中，光子在空间各点出现的可能性的大小（概率）由波动性起主导作用，因此称光波为概率波．
（2）光子的能量跟其对应的频率成正比，而频率是波动性特征的物理量，因此揭示了光的粒子性和波动性之间的密切联系．
（3）对不同频率的光，频率低、波长长的光，波动性特征显著；而频率高、波长短的光，粒子性特征显著．
要点诠释：光子是能量为的微粒，表现出粒子性，而光子的能量与频率有关，体现了波动性，所以光子是统一了波粒二象性的微粒，但是，在不同的条件下的表现不同，大量光子表现出波动性，个别光子表现出粒子性；光在传播时表现出波动性，光和其他物质相互作用时表现出粒子性；频率低的光波动性更强，频率高的光粒子性更强．
综上所述，光的粒子性和波动性组成一个有机的统一体，相互间并不是独立存在．
5．再探光的双缝干涉实验
物理学家做了图甲所示的实验，帮助我们认识光的波动性和粒子性的统一．在双缝干涉的屏处放上照相底片，如果让光子一个一个通过双缝，在曝光量很小时，底片上出现如图乙所示的不规则分布的点，表现出光的粒子性．如果曝光量很大，底片上出现规则的干涉条纹反映光子分布规律，遵循波的规律，如图中丙、丁所示．
要点诠释：实验表明个别光子的行为无法预测，表现出粒子性；大量光子的行为表现出波动性，在干涉条纹中，光波强度大的地方，即光子出现概率大的地方；光波强度小的地方，是光子到达机会少的地方，即光子出现概率小的地方．因此，光波是一种概率波．

要点诠释：曝光量很小时可以清楚地看出光的粒子性，曝光量很大时可以看出粒子的分布遵从波动规律．
6．光的波粒二象性的理解
光的干涉、衍射、偏振说明光不可怀疑地具有波动性，学习了光电效应、康普顿效应和光子说，认识到光的波动理论具有一定的局限性，光还具有粒子性，经过长期的探索表明：光既具有波动性，又具有粒子性，即具有波粒二象性．
项目
内容
说明
光的粒子性
当光同物质发生作用时，这种作用是“一份一份”进行的，表现出粒子的性质
粒子的含义是“不连续”“一份一份”的
光的粒子性中的粒子是不同于宏观观念的粒子
光的波动性
（1）足够能量的光在传播时，表现出波的性质
（2）光是一种概率波，即光子在空间各点出现的可能性大小（概率）可用波动规律来描述
光的波动性是光子本身的一种属性，不是光子之间相互作用产生的．光的波动性不同于宏观概念的波
波动性和粒子性的对立、统一
宏观世界：波和粒子是相互对立的概念
微观世界：波和粒子是统一的
光子说并未否定波动性，中，和就是波的概念
7．光本性学说的发展简史
学说名称
微粒说
波动说
电磁说
光子说
波粒二象性
代表人物
牛顿
惠更斯
麦克斯韦
爱因斯坦
公认
实验依据
光的直进
光的反射
光的干涉
衍射
能在真空中传播，是横波，光速等于电磁波速
光电效应
康普顿效应
光既有波动现象，又有粒子特征
内容要点
光是一群弹性粒子
光是一种机械波
光是一种电磁波
光是由一份一份光子组成的
光是具有电磁本性的物质，既有波动性又有粒子性
惠更斯的波动说认为光是一种机械波，是一种纯机械运动的形式，没有物质性，因此不能解释光在真空中的传播．麦克斯韦的光的电磁说认为光是一种电磁波，是物质的一种特殊形态，从而揭示了光的电磁本质，能圆满地解释光在真空中的传播以及光的反射、折射、干涉和衍射等现象．
牛顿主张的微粒说，认为光是一种“弹性粒子流”，是一种实物粒子，没有波动性；爱因斯坦的光子说认为光是由光子构成的不连续的特殊物质，光的能量，其中是光的频率，属于波的特征物理量之一，因此光子学本身没有否定光的波动性．
惠更斯的波动说与牛顿的微粒说由于受传统宏观观念的影响，都试图用一种观点去说明光的本性，因而它们是相互排斥、对立的两种不同的学说．
麦克斯韦的光的电磁说与爱因斯坦的光子说是对立的统一体，揭示了光的行为的二重性：既具有波动性，又具有粒子性，即光具有波粒二象性．
要点二、不确定关系
1．物质的分析
物理学把物质分为两大类：一类是分子、原子、电子、质子及由这些粒子所组成的物体，我们称它们为实物；另一类是场，如电场、磁场等，它们并不是由微观粒子所构成的，而是客观存在的一种特殊物质．
（1）问题猜想：大家知道，光具有波动性，但同时也具有粒子性，即光具有波粒二象性，那么像分子、原子、质子、电子等微观粒子是否具有波动性呢？
（2）德布罗意假设与物质波：
1924年，32岁的法国物理学家德布罗意在他的博士论文中提出了一个大胆的假设：任何一个运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与它相对应．这种波叫物质波，也称为德布罗意波．
（3）物质波波长的计算公式：
，式中是普朗克常量，是运动物体的动量．
（4）物质波的实验验证——电子束的衍射：
1927年美国物理学家戴维孙和英国物理学家汤姆孙分别获得了电子束在晶体上的衍射图样（如图所示），从而证实了实物粒子——电子的波动性．他们为此获得了1937年的诺贝尔物理学奖．

要点诠释：①1960年约恩孙直接做了电子双缝干涉实验，从屏上摄得了微弱电子束的干涉图样和光的干涉图样是非常相似的（如图所示）．这也证明了实物粒子的确具有波动性．

②除了电子以外，后来还陆续证实了质子、中子以及原子、分子的波动性，对于这些粒子，德布罗意给出的和关系同样正确．1929年，德布罗意获得了诺贝尔物理学奖，成为以学位论文获此殊荣的人．
3．物质波是概率波
电子和其他微观粒子同光子一样，具有波粒二象性，所以与它们相联系的物质波也是概率波．
要点诠释：（1）波粒二象性是包括光子在内的一切微观粒子的共同特征．（2）德布罗意波是概率波，在电子束的衍射图样中，电子落在“亮环”上的概率大，落在“暗环”上的概率小，但概率的大小受波动规律支配．
4．不确定性关系
（1）在经典力学中，一个质点的位置和动量是可以同时精确测定的，而在量子理论中，要同时准确地测出微观粒子的位置和动量是不可能的，也就是说不能同时用位置和动量来描述微观粒子的运动．我们把这种关系叫做不确定性关系．
（2）海森伯（德国物理学家）的不确定性关系
对于微观粒子的运动，如果以表示粒子位置的不确定量，以表示粒子在方向上的动量的不确定量，那么
，
式中是普朗克常量．
（3）海森伯的不确定性关系是量子力学的一条基本原理，是物质波粒二象性的生动体现．它表明：在对粒子位置和动量进行测量时，精确度存在一个基本极限，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量．
5．电子云
由不确定性关系可知原子中的电子在原子核周围的运动是不确定的，因而不能用“轨道”来描述它的运动．电子在空间各点出现的概率是不同的．当原子处于稳定状态时，电子会形成一个稳定的概率分布．人们常用一些小黑圆点来表示这种概率分布，概率大的地方小黑圆点密一些，概率小的地方小黑圆点疏一些，这样电子的概率分布图的结果如同电子在原子核周围形成云雾，称为“电子云”．电子云是原子核外电子位置不确定的反映．
要点诠释：（1）电子云描述的是电子在原子核外空间各点出现的概率大小的一种形象化的图示，并不是代表电子的位置．
（2）我们通常认为的“核外电子轨道”，只不过是电子出现概率最大的地方．
6．位置和动量的不确定性关系的理解
（1）粒子位置的不确定性．
单缝衍射现象中，入射的粒子有确定的动量，但它们可以处于挡板左侧的任何位置，也就是说，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的．
（2）粒子动量的不确定性．
微观粒子具有波动性，会发生衍射．大部分粒子到达狭缝之前沿水平方向运动，而在经过狭缝之后，有些粒子跑到投影位置以外．这些粒子具有与其原来运动方向垂直的动量．由于哪个粒子到达屏上的哪个位置是完全随机的，所以粒子在垂直方向上的动量也具有不确定性，不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量．
（3）位置和动节的不确定性关系：
．
由可以知道，在微观领域，要准确地测定粒子的位置，动量的不确定性就更大；反之，要准确确定粒子的动量，那么位置的不确定性就更大．如将狭缝变成宽缝，粒子的动量能被精确测定（可认为此时不发生衍射），但粒子通过缝的位置的不确定性却增大了；反之取狭缝，粒子的位置测定精确了，但衍射范围会随Δx的减小而增大，这时动量的测定就更加不准确了．
（4）微观粒子的运动具有特定的轨道吗？
由不确定关系可知，微观粒子的位置和动量是不能同时被确定的，这也就决定了不能用“轨道”的观点来描述粒子的运动，因为“轨道”对应的粒子某时刻应该有确定的位置和动量，但这是不符合实验规律的．微观粒子的运动状态，不能像宏观物体的运动那样通过确定的轨迹来描述，而是只能通过概率波作统计性的描述．
7．显微镜的分辨本领
最好的光学显微镜能够分辨大小的物体．衍射现象限制了光学显微镜的分辨本领．波长越长，衍射现象越明显．可见光波长为，日常生活中的物体大小比可见光波长大得多，光的衍射不明显，所以我们才说光沿直线传播．当被观察物太小时，衍射现象不能忽略，这样物体的像就模糊了，影响了显微镜的分辨本领．
电子显微镜是使用电子束工作的．电子束也是一种波，如果把它加速，电子动量很大，它的德布罗意波波长就很短，衍射现象的影响就很小．现代电子显微镜的分辨本领可以达到．由于加速电压越高电子获得的动量越大，它的波长就越短，分辨本领也就越强，所以电子显微镜的分辨本领大小常用它的加速电压来表示．
要点三、本章知识概括
1．知识网络

2．要点回顾
不确定性关系：，表示粒子位置的不确定量，表示粒子在方向上的动量的不确定量．
电子云：电子在原子核外空间出现的概率大小的形象表示．
【典型例题】
类型一、粒子的波动性
例1．科学研究表明：能量守恒和动量守恒是自然界的普遍规律．从科学实践的角度来看，迄今为止，人们还没有发现这些守恒定律有任何例外．相反，每当在实验中观察到似乎是违反守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新的发现而胜利告终．如人们发现，两个运动着的微观粒子在电磁场的相互作用下，两个粒子的动量的矢量和似乎是不守恒的．这时物理学家又把动量的概念推广到了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了．
现有沿一定方向运动的光子与一个原来静止的自由电子发生碰撞后自由电子向某一方向运动，而光子沿另一方向散射出去．这个散射出去的光子与入射前相比较，其波长________（填“增大”“减小”或“不变”）．
【思路点拨】光子具有动量且与其他物质相互作用时，动量守恒。
【答案】增大
【解析】康普顿效应表明光子不仅具有能量，而且具有动量，当光子与静止的电子发生碰撞时，由动量守恒知光子的动量减小，故散射后光子能量减小，由半知，光子的波长增大．
【总结升华】知道光子具有动量且与其他物质相互作用时，动量守恒是解题的基础．
举一反三:
【变式】有关光的本性，下列说法正确的是（ ）．
A．光既具有波动性，又具有粒子性，两种性质是不相容的
B．光的波动性类似于机械波，光的粒子性类似于质点
C．大量光子才具有波动性，个别光子只具有粒子性
D．由于光既具有波动性，又有粒子性，无法只用其中一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性

【答案】D
【解析】19世纪初，人们成功地在实验中观察到了光的干涉、衍射现象，这属于波的特征，微粒说无法解释．但到了19世纪末又发现了光的新现象——电子投射多晶薄膜的衍射图样——光电效应．这种现象用波动说无法解释，而用光子说可以完美地进行解释，证实光具有粒子性．因此，光既具有波动性，又具有粒子性，但它又不同于宏观观念中的机械波和粒子．波动性和粒子性是光在不同情况下的不同表现，是同一客体的两个不同侧面、不同属性，我们无法用其中的一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性．
【总结升华】要注意，不可用宏观观念中的机械模型来理解光的波粒二象性——认为光子像一个个的小球在做机械振动，从而形成了光波．这种粒子不是宏观观念中的粒子，这种波也不是宏观观念中的波．
例2．在光的双缝干涉实验中，在光屏上放上照相底片，并设法减弱光的强度，尽可能使光子一个一个地通过狭缝，分别在曝光时间不长和足够长的情况下，实验结果是（ ）．
A．若曝光时间不长，则底片上出现一些无规则分布的点
B．若曝光时间足够长，则底片上出现干涉条纹
C．实验结果表明光具有波动性
D．实验结果表明光具有粒子性

【答案】A、B、C、D
【解析】光波是概率波，当曝光时间不长时，粒子性显著，底片上出现一些无规则的点迹；当曝光时间足够长时，波动性显著，底片上出现明显的干涉条纹，故A、B、C、D四项都正确．
【总结升华】正确理解光是一种概率波是处理本题的关键．
举一反三:
【变式】科学家设想未来的宇航事业中利用太阳帆来加速星际飞船，设该飞船所在地每秒每单位面积接收到的光子数为，光子平均波长为，太阳帆面积为，反射率，设太阳光垂直射到太阳帆上，飞船总质量为．
（1）求飞船加速度的表达式（光子动量）．
（2）若太阳帆是黑色的，飞船的加速度又为多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）光子垂直射到太阳帆上再反射，动量变化量为却，设光对太阳帆的压力为，单位时间打到太阳帆上的光子数为，则，
由动量定理有
，
所以
，
而光子动量
，
所以
．
由牛顿第二定律可得飞船加速度的表达式为
．
（2）若太阳帆是黑色的，光子垂直打到太阳帆上不再反弹（被太阳帆吸收），光子动量变化量为，故太阳帆上受到的光压力为
，
飞船的加速度
．
【总结升华】此题既考查了光子的粒子性——光具有动量，又考查了动量定理和牛顿第二定律，是一道情景新颖、综合性很强的好题．
例3．我们能感知光现象是因为我们接收到了一定能量的光．一个频率是的无线电波的光子的能量是多大？一个频率为的绿色光子和一个频率为的光子的能量各是多大？请结合以上光子能量的大小，从概率波的角度说明：为什么低频电磁波的波动性显著而高频电磁波的粒子性显著？
【思路点拨】低频电磁波的光子能量小，波长长，容易观察到干涉和衍射现象，波动性显著．在衍射的亮纹处表示到达的光子数多，概率大。而在暗纹处表示到达的光子数少，概率小．相比之下，高频电磁波光子能量大，波长极短，很难找到使其发生明显衍射的狭缝或障碍物，因而波动性不容易观察到，粒子性显著．
【答案】见解析。
【解析】 由公式E=h得：
．
．
．
低频电磁波的光子能量小，波长长，容易观察到干涉和衍射现象，波动性显著．在衍射的亮纹处表示到达的光子数多，概率大。而在暗纹处表示到达的光子数少，概率小．相比之下，高频电磁波光子能量大，波长极短，很难找到使其发生明显衍射的狭缝或障碍物，因而波动性不容易观察到，粒子性显著．
【总结升华】对波动性特点的理解是解决本题的关键．
举一反三:
【变式】20世纪20年代，剑桥大学学生G·泰勒做了一个实验．在一个密闭的箱子里放上小灯泡、熏黑的玻璃、狭缝、针尖、照相底片，整个装置如图所示，小灯泡发出的光通过熏黑的玻璃后变得十分微弱，经过三个月的曝光，在底片上针尖影子周围才出现非常清晰的衍射条纹，泰勒对此照片的平均黑度进行测量，得出每秒到达底片的能量是．

（1）假设起作用的光波长约为，计算从一个光子到达和下一个光子到达所相隔的平均时间，及光束中两邻近光子之间的平均距离；
（2）如果当时实验用的箱子长为，根据（1）的计算结果，能否找到支持光是概率波的证据？
【答案】见解析。
【解析】（1）波长的光子能量为
．
因此每秒到达底片的光子数为
．
如果光子是依次到达底片的，则光束中相邻两光子到达底片的时间间隔是
．
两相邻光子间平均距离为
．
（2）由（1）的计算结果可知，两邻近光子之间的平均距离为，而箱子长只有，所以在箱子里一般不可能有两个光子同时在运动．这样就排除了光的衍射行为是光子相互作用的可能性，因此，衍射图形的出现是许多光子各自独立行为积累的结果，在衍射条纹的亮区是光子到达可能性较大的区域，而暗区是光子到达可能性较小的区域．这个实验支持了光波是概率波的观点．
【总结升华】此类信息题，应认真阅读题目，提取有用信息，结合已学的知识解决新问题，需要较高的创新思维能力和文字组织能力．
类型二、不确定关系
例4．关于物质波，下列认识错误的是（ ）．
A．任何运动的物体（质点）都伴随一种波，这种波叫物质波
B．射线的衍射实验，证实了物质波假设是正确的
C．电子的衍射实验，证实了物质波假设是正确的
D．宏观物体尽管可以看做物质波，但它们不具有干涉、衍射等现象

【答案】B、D
【解析】据德布罗意物质波理论知，任何一个运动的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与之相对应，这种波就叫物质波，可见，A选项是正确的；由于射线本身就是一种波，而不是实物粒子，因此射线的衍射现象并不能证实物质波理论的正确性，即B选项错误；电子是一种实物粒子，电子的衍射现象表明运动着的实物粒子具有波动性，故C选项是正确的；由电子穿过铝箔的衍射实验知，少量电子穿过铝箔后所落位置是散乱的、无规律的，但大量电子穿过铝箔后所落位置则呈现出衍射图样，即大量电子的行为表现出电子的波动性，干涉、衍射是波的特有现象，只要是波，都会发生干涉、衍射现象，故选项D错误．综合以上分析知，本题应选B、D．
【总结升华】（1）物质波理论上是说任何一个运动的物体（如实物粒子等）都具有波动性，即其行为服从波动规律．
（2）物质波理论告诉我们，任何微观粒子都既具有粒子性又具有波动性，即与光一样，也具有波粒二象性．波粒二象性是光子、电子、质子等微观粒子都具有的基本属性．
举一反三:
【变式】关于物质波，下列说法正确的是（ ）．
A．速度相等的电子和质子，电子的波长大
B．动能相等的电子和质子，电子的波长小
C．动量相等的电子和中子，中子的波长小
D．甲电子速度是乙电子的倍，甲电子的波长也是乙电子的倍

【答案】A
【解析】由可知动量大的波长小，电子与质子的速度相等时，电子动量小，波长大．电子与质子动能相等时，由动量与动能的关系式：可知，电子的动量小，波长大．动量相等的电子与中子，其波长应相等．如果甲、乙两电子的速度远小于光速，甲的速度是乙的倍，则甲的波长应是乙的．
【总结升华】本题应用了动量的两种表达：和，微观粒子的动量与其波长有关，同时与其能量有关，能量又是由波长（频率）决定的，可见两种表达本质是相同的，只不过表达形式不同而已．
例5．一质量为的足球以的速度在空中飞行；一个初速度为零的电子，通过电压为的电场加速试分别计算它们的德布罗意波长，其中，电子质量为，普朗克常量．
【思路点拨】电场中的动能定理、德布罗意波长的计算进行了综合运用。
【答案】见解析。
【解析】物体的动量，其德布罗意波长．
足球的德布罗意波长
．
电子经电场加速后，速度增加为，
根据动能定理
，
．
该电子的德布罗意波长
．
【总结升华】本题将电场中的动能定理、德布罗意波长的计算进行了综合运用，关键是计算出物质的动量．
举一反三:
【变式】质量为，速度为在空中飞行的子弹，其德布罗意波长是多少？为什么我们无法观察出其波动性？如果能够用特殊的方法观察子弹的波动性，我们是否能够看到子弹上下或左右颤动着前进，在空中描绘出正弦曲线或其他周期性曲线？为什么？
【答案】见解析。
【解析】根据德布罗意的观点，任何运动着的物体都有一种波和它对应。飞行的子弹必有一种波与之对应．由于子弹的德布罗意波长极短，即使采用特殊方法观察，我们也不能观察到其衍射现象．由于德布罗意波是一种概率波，仅是粒子在空间出现的概率遵从波动规律，而非粒子做曲线运动．由波长公式可得
．
因子弹的德布罗意波长太短，无法观察到其波动性．
不会看到这种现象，因德布罗意波是一种概率波，粒子在空间出现的概率遵从波动规律，而非宏观的机械波，更不是粒子做曲线运动．
【总结升华】认为运动物体将做曲线运动是容易出现的错误，以宏观观念的波来理解德布罗意波是错误的根源．德布罗意波是一种概率波，是指在一般情况下不能用确定的坐标描述粒子的位置，无法用轨迹描述粒子的运动。但是粒子在空间各处出现的概率受波动规律支配，不是粒子将做曲线运动．
例6．为了观察晶体的原子排列，可以采用下列方法：
（1）用分辨率比光学显微镜更高的电子显微镜成像（由于电子的物质波波长很短，能防止发生明显的衍射现象，因此电子显微镜的分辨率高）；
（2）利用射线或中子束得到晶体的衍射图样，进而分析出晶体的原子排列．则下列分析中正确的是（ ）．
A．电子显微镜所利用的是电子的物质波的波长比原子尺寸小得多
B．电子显微镜中电子束运动的速度应很小
C．要获得晶体的射线衍射图样，射线波长要远小于原子的尺寸
D．中子的物质波波长可以与原子尺寸相当

【答案】A、D
【解析】由题目所给信息“电子的物质波波长很短，能防止发生明显衍射现象”及发生衍射现象的条件可知，电子的物质波的波长比原子尺寸小得多，A项正确；由信息“利用x射线或中子束得到晶体的衍射图样”及发生衍射现象的条件可知，中子的物质波波长或X射线的波长与原子尺寸相当，D项正确，C项错．
【总结升华】信息题是高考的一个热点，我们应从题中所给信息找我们所需要的有用的东西．
举一反三:
【变式】金属晶体中晶格大小的数量级为．电子经加速电场加速，形成一电子束．电子束照射该金属晶体时，获得明显的衍射图样．问这个加速电场的电压约为多少？
【答案】见解析。
【解析】当电子运动的德布罗意波长与晶格大小差不多时，可以得到明显的衍射图样，我们由此来估算加速电场的电压．
设加速电场的电压为，则电子加速后的动能，
而电子的动量
，
电子的德布罗意波长
．
则加速电压为
．
【总结升华】从题目数据可知，加速后电子的德布罗意波长数量级为，相当于电磁波谱中射线的波长，这样它的粒子性十分显著，而波动性则只能在特殊条件下观察到．
例7．已知，试求下列情况中速度测定的不确定量．
（1）一个球的质量，测定其位置的不确定量为．
（2）电子的质量，测定其位置的不确定量为（即原子的数量级）．
【思路点拨】将已知量代入不确定性关系分别计算。
【答案】见解析。
【解析】（1），，由，知，
．
（2），．
．
【总结升华】宏观世界中物体的质量比微观世界中物体（粒子）的质量大许多倍，正是因为宏观物体质量较大，其位置和速度的不确定量极小，通常不计，可以认为其位置和速度（动量）可精确测定；而微观粒子由于其质量极小，其位置和动量的不确定性特别明显，不可忽略，故不能准确把握粒子的运动状态．