11.1.1 平方根
【学习目标】
1.了解一个数的平方根与算术平方根的意义。
2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根。
3.了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系，求某些非负数的
算术平方根。
【学习重难点】
会计算某些非负数的算术平方根。
【学习过程】
一、课前准备
1、复习平方数 = =
= = = =
探究交流：一对互为相反数的的数的平方有什么关系？
2、填底数
因为
因为 有 = =
探究交流：平方得25的数有几个？分别是什么？这两个数有什么关系?
它们的和等于多少呢?
二、学习新知
自主学习：
如图所示, 面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？
根据正方形的面积公式，应该是边长2 = 25
由此我们得出, 其边长应该为
如果：面积为16，则边长应该为______； 面积为9，则边长为________；
面积为a，则边长又如何呢？可设边长为x，则得到：__________。
新知概念1：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根。
就是说, 当 x2=a (a≥0)时, 称x是a的平方根。而a称为x的平方数。
重点：怎么求一个数的平方根？
在上面的问题中,我们知道因为 =25,所以5是25的一个平方根.
探究交流:25的平方根只有一个吗?还有没有别的数的平方也等于25?
因为（ ）2=25，所以 也是25的一个平方根。
这就是说 和 都是25的平方根
探究交流:如何求一个数的平方根?求一个数的平方根的关键是什么呢?
例如:求25的平方根的关键是: 等于25,这个数就是25的平方根.
概括：⑴一个正数的平方根有 ,它们是互为
⑵ 0的平方根是 , 就是它 ; ⑶ 没有平方根.
新知概念2：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： 读作：根号a
它的另一个平方根记作： 读作：负根号a
一个正数a的平方根表示为： 读作正负根号a
实例分析：
例1、求100的平方根
例2、将下列各数开平方：
(1)49； (2)
例3、用计算器求下列各数的算术平方根：
(1)529； (2)44.81(精确到0.01)
【随堂练习】
1. 在以下说法中；（1）负数没有平方根，所以只有正数才有平方根；（2）算术平方根等于其本身的数只有0和1两个；（3）把一个数先平方后取算术平方根得原数；（4）如果a＞0，则a有平方根，反之若a有平方根，则a＞0．正确的个数有（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
2. 一个数a的算术平方根比本身大，那么这个数一定（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．0＜a＜1 D．不能确定
3. 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的 ，记作_____；如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的 ．
4.
5.
6. 求下列各式的值:
⑴ ⑵ ⑶
【中考连线】
已知且求的值．
【参考答案】
随堂练习
1.B 2.C 3.算术平方根，，平方根 4. 5.
6.⑴1.2; ⑵; ⑶
中考连线
15.2
11.1.2立方根
【学习目标】
1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根；
2．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．
【学习重难点】
1.立方根的概念和求法。
2.立方根与平方根的区别
【学习过程】
一、课前准备
什么是平方根？什么是开平方？二者之间有怎样的关系？
正数有几个平方根？零有几个平方根？负数呢？
二、学习新知
自主学习：
任务一： 了解立方根的概念
阅读课本第49——50页，解决下列问题．（自主完成后小组交流）
1．什么叫做a的立方根？用式子如何描述a的立方根？
2．什么叫开立方？它与立方有何关系？
任务二：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是（ ）；
因为（ ）3=0.125，所以0.125的立方根是（ ）；
因为（ ）3=0，所以0的立方根是（ ）；
因为（ ）3=－8，所以－8的立方根是（ ）；
因为（ ）3=－，所以－的立方根是（ ）．
思考：（1）正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是_______．
（2）你能说出数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
实例分析：
例1、求下列各数的立方根：
(2)-125 (3)-0.008
例2、用计算器求下列各数的立方根：
(1)1331； (2)9.263(精确到0.01)
【随堂练习】
1．-的立方根是 ，125的立方根是 。
2．的立方根是 .
3．=_____.
4．-3是 的平方根，-3是 的立方根.
5．若，则
【中考连线】
10.若+有意义，则的值是( )
A.0 B. C. D.
【参考答案】
随堂练习
1. -,5解析：本题直接根据立方根的概念求解.
2.2 解析：意为8的立方根,即2.
3.解析：=.
4.9,-27解析：逆用平方根,立方根的概念求解.
5.0.05 解析：开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.
中考连线
B
11.2 实数
【学习目标】
1．了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数。
2．知道实数在数轴上的点一一对应.
3.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算。
【学习重难点】
1.无理数及实数的概念, 实数与数轴上的点一一对应
2.有理数与无理数的区别, 学会两个实数的大小比较。
【学习过程】
一、课前准备
1、填空：（有理数的两种分类）
有理数 有理数
2、有理数中的分数能化为小数吗？化为什么样的小数？举例加以说明
二、学习新知
自主学习：
自己用计算器求的值。
大家会发现，，由于计算器的位数限制，的结果还没有完全显示出来，的值是一个无限不循环的小数。在以前我们所学的数域中，已经解释不了了，
像这样,小数位数无限又不循环的一类数称之无理数。
请同学们动脑筋想一想，这样的数，你还能找出来吗？请相互之间举个例子，比一比！
概括:无理数：无限不循环的小数叫做无理数； 实数：有理数与无理数统称为实数。
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是____无理数，，，是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，
所以实数也可以这样分类：
实数
注意:(1)用根号表示的数不一定是无理数.如：
(2)无理数不一定都是用根号表示的数.如：π
（3)无理数有无数多个.无多少之分
(4)无理数可分为正无理数和负无理数.
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
概括 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
例如 的相反数是 -π的相反数是 0的相反数是
总结 数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
实例分析：
例1、试估计 与π的大小关系。
例2、计算：-（精确到0.01）
【中考连线】
计算：
【参考答案】
随堂练习
中考连线
-3
12.1.1 同底数幂的乘法
【学习目标】
１．掌握同底数幂的乘法运算法则。
２．会运用同底数幂的乘法法则进行相关计算。
【学习重难点】
1.同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算
2.对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用
【学习过程】
一、课前准备
1.什么叫做乘方？
2.an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么?
3.请你说出下列各幂的底数和指数:
二、学习新知
自主学习：
1.试试看：
(1)下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：
①23×24＝（2×2×2）×(2×2×2×2)=2( )
②53×54=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=5( )
③a3．a4=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=a( )
(2)根据上面的规律，请以幂的形式直接写出下列各题的结果：
= = = ×=
2.猜一猜：当ｍ，ｎ为正整数时候，
． =．＝＝
观察上面式子左右两端，你发现它们各自有什么样的特点？你想探究它们之间怎样的运算规律？
3.归纳：同底数幂的乘法法则：
实例分析：
例1、（１） （２）
（３） （４）（m是正整数）
例2、光在真空中的速度为3×105km/s，太阳系以外距地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球约4.22年，一年以秒计算3×107s，比邻星与地球距离约多少千米？
【随堂练习】
1. ； ； ；
；
2. ； ；
3. ； ；
4. ＝； ＝；
5. ；
6. ；
【中考连线】
若，则等于（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【参考答案】
随堂练习
1、；2、；3、；
4、； 5、；6、
中考连线
D
12.1.2 幂的乘方
【学习目标】
1.经历探索幂的乘方性质，进一步体会幂的乘方。
2.了解幂的乘方运算性质，并能利用性质进行计算和解决一些实际问题。
【学习重难点】
1.幂的乘方运算性质。
2.幂的乘方运算性质的灵活运用。
【学习过程】
一、课前准备
计算 ⑴= （2） a2·a3 = （3）=
二、学习新知
自主学习：
1、做一做：
（1）(23)2=___________(根据幂的意义)=_________（根据同底数幂的乘法法则）=
（2）(a4)3=________(根据幂的意义)=_________（根据同底数幂的乘法法则）=
(3) =_________×__________=____________(根据 )=
(4) (am)5=_____________________ =___________________=
（ ）
（5）=________________________________________(幂的意义)
（ ）
=（同底数幂的乘法法则）
=____________________________________(乘法的意义)
2、通过以上计算，你有什么发现？冪的乘方，_________________________,_____________________________。
3、=____________________(m、n为正整数)
4、想一想：与相等吗？为什么？
实例分析：
例1、计算：
（1）； （2）
【随堂练习】
1、如果a3m =4，则a6m=
2、如果a2m=3，则(a3m)4 =
3、计算：⑴ ⑵ ⑶
【中考连线】
已知10a=5，10b=6.求
【参考答案】
随堂练习
1、16 2、 3、(1) (2) (3)
中考连线
241
12.1.3 积的乘方
【学习目标】
经历探索积的乘方的运算的性质的过程，进一步体会幂的意义，
了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
【学习重难点】
积的乘方的运算；正确区别幂的乘方与积的乘方的异同.
【学习过程】
一、课前准备
1、口述同底数幂的运算法则。
2、口述幂的乘方运算法则。
3、计算：
（1） (2) a (3)
二、学习新知
自主学习：
计算观察，探索规律
做一做：（1）（ab）2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb) = a( )b( )
(2) (ab)3= = =a( )b( )
(3) (ab)4= = =a( )b( )
提出问题：
（1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？
（2）如果设n为正整数，将上述的指数改成n即：,其结果是什么呢？
（ab）n＝＝ ? ＝
即 （ab）n ＝ （n为正整数）
这就是说：
积的乘方，等于把积的每一个因式 ，再把 相乘。
实例分析：
例1、计算：
(1) (2) (3) (4)
【随堂练习】
1．=_______________。
2．(-0.125)2=_________
3.已知(x3)5=-a15b15，则x=_______
4.(0.125)1999·(-8)1999=_______
5.化简()2·(-2a2)3所得的结果为____。
6.( )5=(8×8×8×8×8)(a·a·a·a·a)
【中考连线】
已知,求 (x2y)2n的值。
【参考答案】
随堂练习
2、 3、-ab 4、-1 5、
6、8a
中考连线
7425
12.1.4 同底数幂的除法
【学习目标】
1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．
2．同底数幂的除法的运算算理．
【学习重难点】
1.准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
2.根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
【学习过程】
一、课前准备
1、同底数幂的乘法法则：
2、问题：一种数码照片的文件大小是K，一个存储量为M（1M=K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？列式为：
这是一个什么运算？如何计算呢？
二、学习新知
自主学习：
从上述运算中归纳出同底数幂的除法法则：
根据同底数幂的除法法则问题2中计算的结果为：
[师]请同学们做如下运算：
1．（1）28×28 （2）52×53 （3）102×105 （4）a3·a3
2．填空：
（1）（ ）·28=216 （2）（ ）·53=55
（3）（ ）·105=107 （4）（ ）·a3=a6
2．除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于,从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
（1）216÷28=（ ） （2）55÷53=（ ）
（3）107÷105=（ ） （4）a6÷a3=（ ）
从上述运算中归纳出同底数幂的除法法则：
根据同底数幂的除法法则问题2中计算的结果为：
3、 推导同底数幂相除的运算法则：
4、 同底数幂的除法的运算法则：
实例分析：
例1、计算：
（1）a8÷a3 （2） （3）
【随堂练习】
1.计算：= ，= .
2.在横线上填入适当的代数式：，.
3.计算： = ， = ．
4.计算：= .
5.计算：＝___________．
【中考连线】
观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，则89的个位数字是（ ）
A.2 ； B．4； C．8； D．6.
【参考答案】
随堂练习
1.，；2.，；3.， ；4.；5. ．
中考连线
C
12.2.1 单项式与单项式相乘
【学习目标】
1.会熟练利用单项式乘单项式的法则进行相关运算；
2.通过对单项式法则的应用，培养观察、比较、归纳及运算的能力.
【学习重难点】
1.单项式与单项式相乘的法则
2.计算时注意积的系数、字母及其指数。
【学习过程】
一、课前准备
同底底数幂的乘法：
幂的乘方：
积的乘方：
同底数幂的除法：
叫单项式。
叫单项式的系数。
3计算：①＝ ②＝ ③＝ ④-3m2·2m4 =
⑤ 其中④⑤题计算结果的系数分别是 ， 。
二、学习新知
自主学习：
1光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
列式为：
该式的结果等于多少呢?（运用交换律和结合律）
× =（ ）×（ ）=
2如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，这是何种运算？你能算吗?
ac5·bc2=（ ）×（ ）=
3.仿照第2题写出下列式子的结果
(1)3a2·2a3 = （ ）×（ ）= (2) -3m2·2m4 =（ ）×（ ）= (3)x2y3·4x3y2 = （ ）×（ ）= (4)2a2b3·3a3= （ ）×（ ）=
4.观察第3题的每个小题的式子有什么特点？由此你能得到的结论是：
单项式与单项式相乘，
归纳总结：
(1)通过计算，我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点：
一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数；
二是把各因式的_____ 相乘，底数不变，指数相加；
三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因式。
(2)单项式相乘的结果仍是 ．
推广：=
实例分析：
例1、计算：
(1) (2)
【随堂练习】
1.计算：（2xy2）·（x2y）=_________；（-5a3bc）·（3ac2）=________．
2．已知am=2，an=3，则a3m+n=_________；a2m+3n=_________．
3．一种电子计算机每秒可以做6×108次运算，它工作8×102秒可做_______次运算．
4.①（-5ab2x）·（-a2bx3y） ②（-3a3bc）3·（-2ab2）2
【中考连线】
若2a=3，2b=5，2c=30，试用含a、b的式子表示c．
【参考答案】
随堂练习
1．x3y3；-15a4bc3 2．24；108 3．4.8×1011
4．①a3b3x4y；②-108a11b7c3
中考连线
c=a+b+1
12.2.2 单项式与多项式相乘
【学习目标】
1、会利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式。
2、会利用法则进行单项式乘多项式的运算。
3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
【学习重难点】
会利用法则进行单项式乘多项式的运算。
【学习过程】
一、课前准备
1、单项式与单项式相乘的法则：
2、2x2-x-1是几次几项式？写出它的项。
3、用字母表示乘法分配律
二、学习新知
自主学习：
观察右边的图形：回答下列问题
大长方形的长为 ，宽为 ，面积为 。
三个小长方形的面积分别表示为 ， ， ，
大长方形的面积= + + =
（3）根据（1）（2）中的结果中可列等式：
（4）这一结论与乘法分配律有什么关系？
（5）根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？
单项式乘多项式法则：
单项式与多项式相乘时，分两个阶段：
①按 律把单项式乘多项式写成 与 乘积的代数和的形式；
②分别进行 乘法运算。
几点注意：
1.单项式乘多项式的结果仍是 ，原多项式的项数与计算后的项数 。
2.在单项式乘法运算中要注意系数的 。
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
实例分析：
例1、计算：
解：
【随堂练习】
1．2ab（5ab+3a2b）
2．计算：．
3．计算：2x（x2﹣x+3）
4．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b3）（﹣4a2）= _________ ．
5．计算：xy2（3x2y﹣xy2+y）
6．（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）
【中考连线】
对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值．
【参考答案】
随堂练习
1、10a2b2+6a3b2 2、x3y5﹣x3y6+x2y4． 3、2x3﹣2x2+6x 4、2x3﹣2x2+6x
5、3x3y3﹣x2y4+xy3 6、﹣6a3b+4a2b2+8ab3．
中考连线
a的值为5、b的值为0、c的值为﹣1、d的值为4．
12.2.3 多项式与多项式相乘
【学习目标】
1、探索并理解多项式与多项式相乘的法则，并会熟练运用它们进行运算．
2、主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯
【学习重难点】
理解多项式与多项式相乘的法则，并会熟练运用它们进行运算
【学习过程】
一、课前准备
1、回忆单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则；
2、利用法则进行计算：
①＝ ； ②＝
③＝ ； ④＝ ；
⑤＝
二、学习新知
自主学习：
1、问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？
思考：可以用几种方法表示扩大后绿地的面积?
不同的表示方法之间有什么关系?
方法一：这块花园扩地后长 米，宽 米，因而面积为 米2．
方法二：这块花园现在是由 小块组成，它们的面积分别为： 米2、 米2、
米2、 米2，故这块绿地的面积为 米2．
由此可得： 和 表示的是同一块绿地面积。
所以有： = ；
2、由上题可得，多项式乘多项式的公式：(a+b)(m+n)= + + +
多项式与多项式相乘：
理解升华
1.运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏.
2.多项式与多项式相乘，结果仍是 .
3.注意确定积中的每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的 ，“同号 ，异号 ”.
4.多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项要 .
实例分析：
例1、计算：
(1)(x+2)(x-3) (2)(2x+5y)(3x-2y)
例2、计算：
(1) (2)
【随堂练习】
1.计算（5b+2）（2b－1）=______ _.
2.计算：（3－2x）（2x－2）=___ ___．
3.计算：（x+1）（x2－x+1）=____ _ ____．
4.若（x－8）（x+5）=x2+bx+c，则b=____ __，c=____ ___．
5.当a=－1时，代数式的值等于 .
【中考连线】
已知m，n满足│m+1│+（n－3）2=0，化简（x－m）（x－n）=_________．
【参考答案】
随堂练习
1.； 2. ； 3. ； 4. b=－3，c=－40； 5.6.
中考连线
12.3.1 两数和乘以这两个数的差
【学习目标】
1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；
2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用；
【学习重难点】
1、掌握两数和乘以它们的差的结构特征；
2、正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。
【学习过程】
一、课前准备
1、多项式与多项式相乘法则
2．利用多项式与多项式的乘法法则写出 (x＋a)(x＋b)的结果。
3.计算：
(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
二、学习新知
自主学习：
1、做一做，计算
(x ＋ 3)(x － 3)=
(a＋2b)(a－2b)=
(4m＋n)(4m－n)=
(5＋4y)(5－4y)=
(a ＋ b)(a－b)=
归纳总结
也就是说，
这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式
2.平方差公式的特征：
（1）等式左边是两个数
（2）等式右边是两个数
3.需要注意的几个问题
(1)公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式
(2)必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式
4.平方差公式的几何意义
实例分析：
例1、计算：（1）(a+3)(a-3) （2）
(3)(1+2c)(1-2c) (4)(-2x-y)(2x-y)
例2 、运用平方差公式计算 1998×2002
解：1998×2002 =（2000- ）×(2000+ )
=
=
例3 、街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
【随堂练习】
1.(x+6)(6-x)=________,=_____________.
2..
3.(x-1)(+1)( )=-1.
4.(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].
5.(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]
【中考连线】
计算:
【参考答案】
随堂练习
1.36-x2,x2- 2.-2a2+5b 3.x+1 4.b+c,b+c 5.a-c,b+d,a-c,b+d
中考连线
原式==.
12.3.2 两数和(差)的平方
【学习目标】
1、理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算；
2、培养探索能力和概括能力，体会数形结合的思想；
【学习重难点】
1、掌握两数的平方这一公式的结构特征；
2、对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
【学习过程】
一、课前准备
1． 平方差公式：
公式的结构特征:等式左边
等式右边
２.计算下列各题:（1）（2x-3）（2x+3）
（2）（-3x+y）(3x+y)
(3) (m+2) (m+2)
二、学习新知
自主学习：
1.一块边长为a米的实验田，因需要其边长增加b米，如图的四块实验田，以种植不同的新品种
用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
方法一（直接求）：
方法二（间接法）：
探索: 你发现了什么？
2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
（2）某学生写出了如下的算式，他是怎么想的？你能继续做下去吗？
3．完全平方公式
（1）结构特征: 左边是
右边是
（2）语言表述:
小结：两数和的完全平方公式：
两数差的完全平方公式：
他们的特征是：
实例分析：
例1、计算：
(1) (2x+3y)2 ； (2)
例2、计算：
(1) (2)
【随堂练习】
⒈ 的计算结果是 ( )
A． B．— C． D．
⒉ .在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），如图1-8-1（1），把余下的部分拼成一个矩形如图1-8-1（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A. B.
C. D.
3. 利用乘法公式计算： = = ；
4.若是一个完全平方式，则k= .
5. ⑴ ⑵
【中考连线】
，其中．
【参考答案】
随堂练习
1. A；2.C 3.略 4.±20 5.⑴ ⑵
中考连线
，75
12.4.1 单项式除以单项式
【学习目标】
1．理解单项式除以单项式的意义和运算法则.
2．能熟练进行单项式除以单项式的除法运算.
【学习重难点】
单项式相除的运算法则.
【学习过程】
一、课前准备
1、计算下列各题.
归纳：单项式与单项式相乘，系数 ，相同字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．.
简单理解：单项式与单项式相乘，系数相乘，相同字母相乘，剩下的照抄。
二、学习新知
自主学习：
1、根据单项式乘以单项式法则填空：
(1)2ab· =6a2b3；(2) ·4x2y=-8x2y3z根据乘除法的互逆关系填空：
（1）6a2b3÷ 2ab= （2）-8x2y3z÷4x2y=
2、仔细观察以上单项式除以单项式的结果，比对原式中各项的变化，你能体会怎样进行单项式除以单项式运算吗？
归纳：单项式除以单项式，把 与 分别相除作为商的因式，对于只在被除数式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
简单理解：单项式与单项式相除，系数相除，相同字母相除，剩下的照抄。
实例分析：
例1、计算：
(1) (2) (3)
解：
【随堂练习】
1．
2．
3．
4．
5．=____________．
6．
7．
8．．
【中考连线】
化简求值，其中，．
【参考答案】
随堂练习
1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．1； 7．； 8．．
中考连线
；4．
12.4.2 多项式除以单项式
【学习目标】
1、记住多项式除以单项式的运算法则
2、会进行简单的多项式除以单项式的运算
【学习重难点】
利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的法则，掌握整式除法的运算．
【学习过程】
一、课前准备
计算：
1．（－4a2b）2÷（2ab2） 2．－16（x3y4）3÷（－x4y5）2；
二、学习新知
自主学习：
1、计算:2y·（3x+4） 2、计算，小组探讨计算（6xy+8y）÷2y
试计算：（ad+bd）÷d
总结规律：多项式除以单项式，先把这个多项式的_______除以单项式，再把所得的商________．
探究1： 请同学们解决下面的问题：
(1);
(2);
通过计算、讨论、归纳，得出多项式除单项式的法则
归纳：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的_____ 。即：
实例分析：
例1、（1）（9x4－15x2+6x）÷3x （2）
【随堂练习】
(12x3-18x2+6x)÷(-6x)
2.(-12x3y3z+6x2yz3-3xy3z2)÷(-3xyz)
3.(24a3-16a2+8a)÷8a，
4.(6a4b3-2a3b2)÷(-2a3b2)．
【中考连线】
多项式6x5-15x4+3x3-3x2+x+1除以3x2余式为x+1，求商式．
【参考答案】
随堂练习
1.-2x2+3x-1 2.4x2y2-2xz2+y2z 3.3a2-2a+1 4.-3ab+1
中考连线
∵[(6x5-15x4+3x3-3x2+x+1)-(x+1)]÷3x2
=(6x5-15x4+3x3-3x2)÷3x2
=2x3-5x2+x-1
∴商式=2x3-5x2+x-1
12.5 因式分解
【学习目标】
1、理解因式分解的意义，能区分整式的乘法与因式分解；认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。
2、会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解
【学习重难点】
1、理解因式分解的意义；判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解
2、多项式因式分解和整式乘法的关系
【学习过程】
一、课前准备
计算下列各式：
(1)m(a+b+c)=_________??? (2)(a+b)(a-b)=_________???????? (3)(a+b)2=___________
二、学习新知
自主学习：
1、公因式：几个多项式的 的因式称为它们的公因式。
2、提公因式：把一个多项式的 提到括号外面的因式分解的方法叫做提公因式法。
3、提公因式法的理论根据是 。
4、仔细观察：多项式5a3b-10a2b2c的公因式是 5a2b
5、归纳：找公因式的方法与步骤
（1）、确定公因式的系数因式：
取各项系数的绝对值的 为公因式的系数。
（2）、确定公因式的字母因式；
取各项中 的字母，指数取它们在各项中的最 （选高、低）次。
(2) = ( 3) =
6、因式分解的一般步骤：一提二套三检查
一提：指先提取公因式；（有公因式的多项式一定先提取公因式）
二套：指再套公式；
三检查：指是否分解完全。
实例分析：
例1、把下列多项式分解因式
(2)
(3) (4)
解：
例2、把下列多项式分解因式
【随堂练习】
分解因式：
（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2
【中考连线】
分解因式：a2﹣4a+4﹣b2
【参考答案】
随堂练习
（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．
中考连线
a2﹣4a+4﹣b2=（a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．
13.1.1 命题
【学习目标】
了解什么是命题，能正确区分命题的题设和结论，能把命题改写成“如果…那么…”的形式。
2、了解公理和定理的概念及公理与定理的区别。能认识真命题和假命题。
【学习重难点】
1、能正确区分命题的题设和结论，能把命题改写成“如果…那么…”的形式。
2、能认识真命题和假命题。
【学习过程】
一、课前准备
1.试判断下列句子是否正确．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（ ）
（2）两直线平行，同位角相等； （ ）
（3）同旁内角相等，两直线平行； （ ）
（4）平行四边形的对角线相等； （ ）
（5）直角都相等． （ ）
二、学习新知
自主学习：
1.判断一件事情是_______或________的句子叫做命题，其中正确的命题叫做___________,错误的命题叫做_____________.
2.练习：下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
(1)、猪有四只脚； (2)、三角形两边之和大于第三边；
(3)、画一条线段； (4)、四边形都是菱形；
(5)、你的作业做完了吗？ (6)、多边形的外角和等于180度；
(7)、过点P做线段MN的垂线。 (8)、一个锐角与一个钝角的和等于一个平角。
3.命题由___________和_________两部分组成. 这样的命题常可写成__________________的形式.
定理与公理的判别：___________需要证明，证明之后就可以直接加以运用，而__________则不需要证明，可以直接加以运用，也可以用来证明_____________.
例如下列的真命题作为公理：
1).一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
3)两点之间，线段最短．（阅读教材55-56页）
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
公理、定理、命题的关系：
真命题 公理（真确性由实践总结）
命题 定理（真确性通过推理证实）
假命题
实例分析：
例1、把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…… ，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论。
【随堂练习】
1．能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．
2．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．每个命题都是由______和______两部分组成的．
3．如果两条直线平行，那么_________角相等．
4．把命题“对顶角相等”改写成“如果____________________，那么________________”．
5．命题“同角的余角相等”的条件是___________________，结论是_______________________．
6．命题“同底等高的两个三角形面积相等”的条件是________________________，结论是________________________________．
【中考连线】
已知下列语句：①平角都相等．②画两个相等的角．③两直线平行，同位角相等．④等于同一个角的两个角相等吗？⑤邻补角的平分线互相垂直．⑥等腰三角形的两个底角相等．其中是命题的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【参考答案】
随堂练习
1．定义 2．正确，题设，结论 3．内错角 4．两个角是对顶角，这两个角相等
5．两个角是同一个角的余角，这两个角相等
6．两个三角形有公共边且该边上的高线相等，这两个三角形的面积相等
中考连线
C
13.1.2 定理与证明
【学习目标】
1、理解什么是定理和证明．
2、知道如何判断一个命题的真假．
【学习重难点】
理解证明要步步有据．
【学习过程】
一、课前准备
请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；（ ）
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（ ）
（3）如果|a|=|b| ，那么a=b；（ ）
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（ ）
（5）两点确定一条直线．（ ）
（6）相等的角是对顶角.（ ）
（7）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么内错角也相等.（ ）
二、学习新知
自主学习：
(1) 叫做定理.
(2)你能写出几个学过的定理吗？
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。
活动一:请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．并对其进行证明.
命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
问1：命题1是真命题还是假命题？
问2：你能将命题1所叙述的内容用图形语言来表达吗？
问3：这个命题的题设和结论分别是什么呢？
问4：你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
已知（条件）：
求证（结论）：
问5：请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？
命题2 相等的角是对顶角．
问1：判断这个命题的真假．
问2：这个命题题设和结论分别是什么？
题设：
结论：
问3：我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系.
实例分析：
例1、直角三角形的两个锐角互余
已知：
求证：
证明：
【随堂练习】
已知：如图，直线a,b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b
证明：假设 ，则 ，（ ）
这与 相矛盾，所以 不成立，所以a不平行b。
【中考连线】
已知:E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证:AB∥CD。
【参考答案】
随堂练习
a平行b，∠1 =∠2，∠1≠∠2，假设.
中考连线
利用∠BFD=∠B +∠E，∠D=∠B+∠E得∠D =∠BFD
13.2.1 全等三角形判定的条件
【学习目标】
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
2.掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关的问题。
3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养大家的符号意识
【学习重难点】
运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题
【学习过程】
一、课前准备
回忆全等图形，全等多边形，全等三角形的概念。
二、学习新知
自主学习：
1、能够______________的图形就是全等图形, 两个全等图形的________和________完全相同。
2、一个图形经过______、______、_________后所得的图形与原图形 。
3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。“全等”用“ ”表示，读作 。
4、如图所示，△OCA≌△OBD，
对应顶点有：点___和点___，点___和点___，点___和点___；
对应角有：____和____，_____和_____，_____和_____；
对应边有：____和____， ____和____，_____和_____.
5、全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。
6、判断三角形全等的条件为：
实例分析：
例1、如图所示，△AFB≌△AEC，且∠A=60 °,∠B=24 °求∠BOC的度数。
【随堂练习】
1. 如图所示，若△OAD≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD= .
2. 如图，若△ABC≌△DEF，回答下列问题：
（1）若△ABC的周长为17 cm，BC=6 cm，DE=5 cm，则DF = cm
（2）若∠A =50°，∠E=75°，则∠B=
3. 如图，△AOB≌△COD，那么∠ABD与∠CDB相等吗？为什么？
【中考连线】
如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°，则∠D的度数为（??? ）.
A．50° ???? B．30°?? ????? C．80°?????? D．100°
【参考答案】
随堂练习
1、95° 2、6 3、75° 4、相等，理由略.
中考连线
B
13.2.2 边角边
【学习目标】
1、掌握三角形全等的“SAS”条件，能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，做最佳自己
【学习重难点】
SAS的探究和运用
2、领会两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
【学习过程】
一、课前准备
什么是全等三角形？全等三角形具有什么性质？
判定两个三角形全等至少需要几个条件？
上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。
二、学习新知
自主学习：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？
(1)动手试一试
已知：△ABC
求作：，使，，
(2) 把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌ （ ）
温馨提示：证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。
做一做：已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形，
把你所画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否一定全等？
通过画图或实验可以得出：
实例分析：
例1、如图：已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE，求证:△ABE≌△DCE
例2、如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，那么DE的长就是A、B的距离，你知道其中的道理吗？
【随堂练习】
1、已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.
2、如图已知：AE=AF，AB=AC，∠B=24°，求∠C的度数.
【中考连线】
如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，则还需添加的条件是
【参考答案】
随堂练习
∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.
24°
中考连线
∠DAB=∠CBA
13.2.3 角边角，角角边
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定：“角边角”和“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一组角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【学习重难点】
1、掌握三角形全等“角边角”“ 角角边”的条件
2、正确运用“角边角”“ 角角边”的条件判定三角形全等，解决实际问题。
【学习过程】
一、课前准备
1、全等三角形判定SAS： 对应相等的两个三角形全等。
2、如图所示，已知AE=DB，BC=EF，BC∥EF，说明△ABC和△DEF全等的理由．
二、学习新知
自主学习：
情况1、角边角 两角及这两角的夹边 分别对应相等
画两个角分别为45°.和60°其夹边为4cm的三角形。
小组交流：
小组成员把你们画的三角形剪下看是否都能重合？
归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
情况2、角角边——两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等。
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？
能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？
归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
实例分析：
例1、已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．AB=DC
例2、已知：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′，求证： △ABC≌△A′B′C′
【随堂练习】
1、如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？
2．已知如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，试说明BD=CE。
【中考连线】
如图，点B、E、F、C在同一直线上． 已知∠A =∠D，∠B =∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）．
【参考答案】
随堂练习
1、本题已知∠A=∠B，又O是AB的中点，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本题还隐含了对顶角，∠AOC=∠BOD，于是根据（ASA）可得△AOC与△BOD全等。
2、已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE ，则△ABD≌△ACE，结合∠BAC=∠DAE易得两已知边的夹角∠BAD=∠CAE，于是，建立了已知与结论的联系，应用（SAS）可说明△ABD≌△ACE，于是BD=CE。
中考连线
AB = DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF）
13.2.4 边边边
【学习目标】
1、能自己试验探索出判定三角形全等的SSS判定定理。
2、会应用判定定理SSS进行简单的推理判定两个三角形全等
3、会作一个角等于已知角.
【学习重难点】
1、三角形全等的条件．
2、寻求三角形全等的条件．
【学习过程】
一、课前准备
什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？
如图，△ABC≌△DCB那么
相等的边是：
相等的角是：
二、学习新知
自主学习：
1、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）
先任意画一个△ABC。再画一个，使A′B′=AB, B′C′=BC, C′A′=CA,把画好的剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
a．作图方法：
b．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现 ，这说明这些三角形都是 的．
c．归纳：三边对应相等的两个三角形 ，简写为“ ”或“ ”．
d、用数学语言表述：
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌ ( )
用上面的规律可以判断两个三角形 ． “SSS”是证明三角形全等的一个依据．
实例分析：
例1、如图，在四边形ABCD中，AD=CB，AB=CD，求证：∠B=∠D
【随堂练习】
1、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．
2、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．
【中考连线】
已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.
⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；
⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.
【参考答案】
随堂练习
1、连接BC，证明△ABC≌△DCB.
2、⑴证明△ADE≌△CBF；⑵证明∠AEF=∠CFE.
中考连线
⑴可添加AE=CF或添加AF=CE，证明△DEC≌△BFA；⑵由⑴得∠BFA=∠DEC，∴DE∥BF.
13.2.5 直角边斜边
【学习目标】
1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；
3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
【学习重难点】
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
【学习过程】
一、课前准备
(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是
(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
二、学习新知
自主学习：
(1)动手试一试。
已知线段a ，c (a使∠C=∠，AB=c ，CB= a .
按步骤作图： a c
① 作∠MCN=∠=90°.
② 在射线 CM上截取线段CB=a .
③ 以B 为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A .
④ 连结AB.
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
(4)用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt中,
∵ ∴Rt△ABC≌Rt△
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、
“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”
实例分析：
例1、已知：如图,已知AC=BD，∠C=∠D=90°，求证:BC=AD
【随堂练习】
1．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，由_______可证明△ABD≌△ACD，从而有BD=______，∠B=________．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．有两条边分别相等的两个直角三角形全等
B．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等
C．有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
3．如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，求证：AB∥CD．
【中考连线】
如图，AB=AC，AF⊥BC于F，D，E分别为BF，CF的中点，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【参考答案】
随堂练习
1．HL CD ∠C （点拨：AD为公共的直角边）2．C （点拨：两条直角边的夹角为直角）
3．证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠A=∠C，∴AB∥CD．
中考连线
D
13.3.1 等腰三角形的性质
【学习目标】
1、理解并掌握“等边对等角”定理，能够运用“等边对等角”定理解决实际问题；
2、理解并掌握“三线合一”定理，能够运用“三线合一”定理解决实际问题；
【学习重难点】
1、“等边对等角”的探究过程。
2、“等边对等角”和“三线合一”在实际中的应用。
【学习过程】
一、课前准备
什么是等腰三角形？三角形的三边关系？
____________________________________
2、等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 .
3. （1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；
（2）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
（3）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
二、学习新知
自主学习：
如图拿出一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到的三角形ABC有什么特点？
想一想
（1）、上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
（2）、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
（3）由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？
（4）大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?
（5）猜想与论证：等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
方法一： 证明: 作顶角的平分线AD 则有∠1＝∠2
在△ABD和△ACD中
AB=AC
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
方法二：方法三：
几何语言
结论：
性质2：
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
《1》 ∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（三线合一）
《2》∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）
∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一）
《3》∵AB=AC， AD⊥BC （已知）
∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
实例分析：
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，AD的延长线交BC于E.求证：AE⊥BC.
【随堂练习】
1. 周长为20cm的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm．
2. 如图△ABC中,?AB＝AC,?∠A＝40°,?∠AED＝∠F,?则∠F＝___________度.
3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm
4. 已知如图,?A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD,?∠C＝40°,?则∠ABD＝______度.
5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．
6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的,?则三角形的周长是_______cm
【中考连线】
已知：如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于M.
求证：M是BE的中点.
【参考答案】
随堂练习
1.10- 2. 35 3. 17 4. 20 5. 13,10 6. 30
中考连线
由已知证得BD平分∠ABC ∠DBC=30°
∵CE=CD ∠ACB=60°∴∠E=∠DBC=30° ∴DB=DE
∵DM⊥BC ∴M是BE的中点.
13.3.2 等腰三角形的判定
【学习目标】
理解并掌握等腰三角形的判定定理
2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.
【学习重难点】
1、等腰三角形的判定定理的运用
2、能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
【学习过程】
一、课前准备
1、等腰三角形定义_____________________
2、等腰三角形性质：________________________________________________
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
5、等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是_________________
6、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16 cm，求这个等腰三角形的边长?
二、学习新知
自主学习：
猜想：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船到0处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
验证：如图，△AB0中，∠A=∠B，A0=B0吗？请证明你的结论。
归纳：等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有 相等，那么这个三角形是 三角形。（简写成：等 对等 ）
请你用几何语言表示（结合上图）
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别？
_______________________________________________
总结：判定等腰三角形的方法有几种？分别有哪些？
_______________________________________________________
实例分析：
例1、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.求证：AB=AC
例2、如图，AB//CD，∠1=∠2，求证AB=AC
【随堂练习】
1、在中，，，若，则______，_____；如果，则________.
2、底角等于顶角的一半的等腰三角形是________三角形.
3、如图，已知，，则图中有______个等腰三角形.
4、如图，已知在中，，BD和CE为角平分线，则图中有______个等腰三角形.
5、如图，已知，垂足为D，且和都是等腰直角三角形.如果，则_______.
【中考连线】
如图，已知，在中，，高BD，EC相交于点H，且，。
求BD，CE的长。
【参考答案】
随堂练习
；； 2、等腰直角 3、3 4、4 5、5
中考连线
解：由可知，，
所以中有，中，。
∴，
13.4.1 作一条线段等于已知线段
【学习目标】
1、掌握三种尺规作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。
2、通过动手操作、合作探究，培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。
【学习重难点】
1、掌握作线段等于已知线段，作一个角等于已知角.
2、尺规作图的理论依据
【学习过程】
一、课前准备
尺规作图定义：
二、学习新知
自主学习：
1.作一条线段等于已知线段。
已知：线段MN＝a，求作一条线段等于a.
作法：（1）
（2）
（3）
2．作一个角等于已知角
已知：∠AOB 求作一个角等于∠AOB.
作法：（1）作 O1P1；
（2）以O为圆心，以 作弧，
交 ，交 ；
（3）以 为圆心，以 作弧，
交 ；
（4）以 为圆心，以 半径作弧，
交 ；
经过 作 。
则 即为所求的角。
想一想：为什么两个角相等？你会证明吗？
实例分析：
例1、已知：线段MN＝a，求作一条线段等于a.
例2、已知：∠AOB 求作一个角等于∠AOB.
【随堂练习】
1、根据图形把下列画图语句补充完整.
(1)如图1所示,在__________上截取_________=a.
(2)如图2所示,以点______为圆心,以________为半径作弧,交_______于点____.
2、已知∠AOB,画一个∠A′O′B′=∠AOB的步骤:
第一步:____________________________________________;
第二步:____________________________________________;
第三步:_____________________________________________;
第四步:______________________________________________;
第五步:______________________________________________.
所以∠A′O′B′就是所画的角.
【中考连线】
只用无刻度直尺就能作出的是( )
A.延长线段AB至C,使BC=AB; B.过直线L上一点A作L的垂线
C.作已知角的平分线; D.从点O再经过点P作射线OP
【参考答案】
随堂练习
1.(1)射线OM;OA;(2)A;R;射线AB;M.
2.画射线O′A′;以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA于C,交OB于D;以O ′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于C′;以点C′为圆,以CD长为半径画弧, 交前一条弧于D′;经过点D′画射线O′B′.
中考连线
D
13.4.2 作角的平分线
【学习目标】
1.会作已知角的平分线
2.能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线
【学习重难点】
1、掌握尺规作已知角的平分线的作法
2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线
【学习过程】
一、课前准备
1、作一个与已知角相等的角.
二、学习新知
自主学习：
请同学们结合“学习目标”，思考下列目标思考题，并且完成以下作图。（按以下做法做出∠AOB 的平分线）
已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线.
作法：（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于C 点，交OB 于D 点；
（2）分别以C、D 两点圆心，以大于CD长为半 径画弧，两弧相交于P 点；
（3）过O、P 作射线OP ，即为所求作的角平分线.
第二步时为什么要取大于线段BC长的一半为半径画弧呢？
说出以上作角平分线的根据是什么？
实例分析：
例1、已知∠A，试作∠B= ∠A （不写作法，保留作图痕迹）
【随堂练习】
如图所示,所画的是∠AOB的平分线OP,根据图中的作图痕迹, 可知其画图的步骤是:
第一步:以O为圆心,以任意长为半径画弧,分别交______、____ 于______ 和______;
第二步:分别以_______、_______为圆心,以大于CD的一半长为半径画弧, 两弧在∠AOB的内部相交于_________;
第三步:___________,那么射线OP就是∠AOB的平分线,这是因为______、 ________、_______,所以_______≌________,所以∠________=∠________.
【中考连线】
用尺规作图,不能作出惟一直角三角形的是( )
A.已知两条直角边 B.已知两个锐角
C.已知一直角边和一锐角 D.已知斜边和一直角边
【参考答案】
随堂练习
OB;OA;点C;点D;点C;点D;点P;画射线OP;OP=OP(公共边);OC=OD;PC=PD(同圆半径相等); △POC;△POD;POC;POD.
中考连线
B
13.4.3 经过一已知点作已知直线的垂线
【学习目标】
掌握经过一已知点作已知直线的垂线的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。
通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。
【学习重难点】
掌握经过一已知点作已知直线的垂线的作法。
【学习过程】
一、课前准备
1.已知点与已知直线有哪两种不同的位置关系： ， ．因此要分别按这两种情况作图．
二、学习新知
自主学习：
1、经过已知直线上一点作已知直线的垂线．
已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．
如图，由于点C在直线AB上，因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线．
作法：
第一步： 作平角ACB的 ；
第二步： 反向延长射线 ．
则直线CD就是所要作的垂线．
想一想：还有其它的作法吗？
作法2：
第一步：
第二步：
第三步：
则 。
动手试一试，现在你知道具体作法了吧，你能说说其中的道理吗？
2、经过已知直线外一点作已知直线的垂线．
已知直线AB和AB外一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．
如图19．3．7，若以点C为圆心，能作与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形，由“等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线”可知，只需作出∠DCE的平分线．
作法：
第一步：
第二步：
第三步：
则 。
实例分析：
例1、例利用直尺和圆规作一个等于45°的角．
作法：
1． ；
2． ；
3． ．
∠DAB就是所要作的角（如图19．3．8所示）．
【随堂练习】
请你根据图3所示的作图痕迹,填写画线段AB的垂直平分线的步骤.
第一步:分别以______、_______为圆心,以大于______一半的长度为半径画弧,两弧在AB的两侧分别相交于点________和点_______;
第二步:经过点_____和点_______画______;直线MN就是线段AB的垂直平分线.
【中考连线】
用尺规作图,不能作出惟一三角形的( )
A.已知两角和夹边; B.已知两边和其中一边的对角
C.已知两边和夹角; D.已知两角和其中一角的对边
【参考答案】
随堂练习
A;B;AB;M;N;M:N;MN.
中考连线
B
13.4.4 作线段的垂直平分线
【学习目标】
掌握作已知线段的垂直平分线的方法及一般步骤，并熟练掌握基本作图语言。
通过动手操作、合作探究，培养学生的作图、语言表达、逻辑思维和推理能力。
【学习重难点】
1、掌握作已知线段的垂直平分线的作法。
2、尺规作图的理论依据。
【学习过程】
一、课前准备
1.线段的垂直平分线的性质是： 。
2.如图，对已知线段AB的垂直平分线上的任意两点C、D，总有CA＝CB， DA＝DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？
二、学习新知
自主学习：
问题1：作已知线段的垂直平分线
如图，已知线段AB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB的垂直平分线．
作法：
第一步：_________________________________.
第二步： ．
则直线CD就是所要作的线段AB的垂直平分线．
我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的，即证明直线CD垂直平分线段AB．
如图，连结CA、CB、DA、DB，
∵ AC＝BC， AD＝BD，CD＝CD，
∴ △ ≌△ （S．S．S．），
∴ ∠ACD＝∠BCD（全等三角形的对应角相等），
∴ CD垂直平分线段AB（等腰三角形“三线合一”）．
由于直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点，从而也可以作出任一个三角形的三条中线．
实例分析：
例1、如图，作△ABC边BC的垂直平分线．
【随堂练习】
请你根据图3所示的作图痕迹,填写画线段AB的垂直平分线的步骤.
第一步:分别以______、_______为圆心,以大于______一半的长度为半径画弧,两弧在AB的两侧分别相交于点________和点_______;
第二步:经过点_____和点_______画______;直线MN就是线段AB的垂直平分线.
【中考连线】
如图所示,请把线段AB四等分,简述步骤.
【参考答案】
随堂练习
A;B;AB;M;N;M:N;MN.
中考连线
步骤:(1)作AB的垂直平分线MN,交AB于O1;(2)作O1A的垂直平分线EF交AB于O2;(3)作O1B的垂直平分线GH交AB于O3,则O1、O2、O3即为线段AB的四等分点.
13.5.1 互逆命题与互逆定理
【学习目标】
1.理解互逆命题与互逆定理
2.正确应用互逆命题与互逆定理
【学习重难点】
区分互逆命题与互逆定理
【学习过程】
一、课前准备
1、命题的概念：
2、命题都有两部分：
3、命题分为 和 两种．
4、判断下列命题真假并说出下列命题的题设和结论：
（1）平行四边形的对边互相平行
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
（3）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
二、学习新知
自主学习：
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；
3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；
5、平行四边形的对边互相平行；6、对边互相平行的四边形是平行四边形；
观察上面三组命题,你发现了什么?
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
（1）
（2）
（3）
概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的 是第二个命题的 ，而第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做 。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 。
归纳：如果一个定理的逆命题也是 ，那么这两个定理叫做 。
其中的一个定理叫做另一个定理的 。
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题
2：所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理
实例分析：
例1、下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
（2）等边三角形的每个角都等于60°
（3）同旁内角互补，两直线平行.
【随堂练习】
1、写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．
（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
（2）三角形的中位线平行于第三边．
【中考连线】
已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
①AB∥CD，②AO=CO，③，AD=BC，④∠ABC=∠ADC．
（1）请从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为真命题，请对你所构造的一个真命题给予证明．
（2）能否从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为假命题？若能，请写出一个满足条件的假命题，并举反例说明．
【参考答案】
随堂练习
（1）等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，证明略
（2）平行于三角形一边的线段是三角形的中位线，是假命题，反例略
中考连线
（1）答案不唯一，如选①和②等，证明略 （2）如选①和③，反例略
13.5.2 线段垂直平分线
【学习目标】
1、初步掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理。
2、会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。
【学习重难点】
1、掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理。
2、线段的垂直平分线的定理及其逆定理的应用。
【学习过程】
一、课前准备
1、线段垂直平分线的定义：
2尺规作已知线段AB的垂直平分线MN：
二、学习新知
自主学习：
在MN上任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
由此你能得出什么规律?
命题：线段垂直平分线上的点到 .
已知，如图直线MN⊥AB，垂足是C，
且AC=CB.点P在MN上
求证：PA=PB
线段垂直平分线性质定理：
逆命题：
已知，如图PA=PB,
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
1、逆定理：
实例分析：
例1、已知，如图PA=PB,
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
【随堂练习】
1．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．
2．到线段两端距离相等的点在这条线段的_________．
3．已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________．
4．底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上．
5．如图，直线 l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点．
【中考连线】
已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．
【参考答案】
随堂练习
1.相等 2．垂直平分线 3．PQ是线段AB的垂直平分线 4．无数 垂直平分线5．AB的中垂线
中考连线
由AB=AC，OB=OC，得AO垂直平分BC，从而AO⊥BC．
13.5.3 角平分线
【学习目标】
1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运
2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；
3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力
【学习重难点】
1、角平分线性质定理及其逆定理
2、掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明
【学习过程】
一、课前准备
1、角平分线的定义及作法。
2、互逆命题、互逆定理。
3、如图，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：AC是∠DAB的平分线
二、学习新知
自主学习：
探究点1：角平分线的性质定理
目标展示一
1、角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？
已知：
求证：
证明：
定理归纳：
探究点2：角平分线性质定理的逆定理
目标展示二
问题2：上面定理的逆命题是:＿＿＿＿＿ ＿＿ ＿＿＿。
它是真命题吗？（ ）；如果是，你能证明它吗？
实例分析：
例1、已知：PM⊥AB，PN⊥AC，M、N为垂足，PM=PM
求证：点P在∠BAC的平分线上.
证明：
【随堂练习】
1、到一个角的两边距离相等的点在 ．
2、如图，在△ABC中，∠C＝90o，AM是∠CAB的平分线，CM＝20cm，那么M到AB的距离为 ．
3、如图，要在河流的南边，公路的左侧M处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ．
【中考连线】
如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ）
（A）直角三角形． （B）等腰三角形． （C）等边三角形． （D）等腰直角三角形．
【参考答案】
随堂练习
1、这个角的角平分线上 2、20cm
3、∠BAC的平分线上且距A点1cm处，角的平分线上的点到角两边的距离相等
中考连线
B
14.1.1 直角三角形三边关系
【学习目标】
1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．会应用勾股定理解决实际问题
【学习重难点】
1.探索勾股定理的证明过程
2.运用勾股定理解决实际问题
【学习过程】
一、课前准备
直角三角形的性质：
二、学习新知
自主学习：
一、探索勾股定理
试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺
直角边a
直角边b
斜边c
关系
1
2
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．
由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系
图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积．即
AC＋ＢＣ＝ＡＢ，
图14.1.1
这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
试一试
观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝ 平方厘米；
正方形Q的面积＝ 平方厘米；
（每一小方格表示1平方厘米）
图14.1.2
正方形R的面积＝ 平方厘米．
我们发现，正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 ．
由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系 ．
由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
△ABC中，∠C=90°, 则(a、b 表示两直角边，c表示斜边)
变式：
实例分析：
例1、Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°
已知a=8,b=10,求c. (c=6)
已知a=5,c=12,求b (b=13)
注意：“∠B为直角”这个条件。
例2如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）
【随堂练习】
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；② 若c=25，b=15，则a=________。
2、斜边为13cm，一条直角边长为12cm，则另一条直角边为_______cm.
3、如图，以数轴的单位长度线段做正方形。以数轴的原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则A表示的数是（ ）
A、 B、1.4 C、 D、
4、在Rt△ABC中，=90°，，AC=b，BC=a
①若a=10,b=24，求c； ②若a=16，c=20,求b.
【中考练习】
图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
【参考答案】
随堂练习
1、①5；② 20. 2、15. 3、D 4、①c=26; ②b=12.
中考连线
C
14.1.2 直角三角形的判定
【学习目标】
1、探索并掌握勾股定理逆定理；
2、会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形；
3、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，体会数形结合的思想。
【学习重难点】
1、探索并掌握勾股定理逆定理
2、会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形
【学习过程】
一、课前准备
1、（回忆）直角三角形的性质：
（1）有一个角是 ， （2）两个锐角的和为 （互余）；
（3） 的平方和等于 的平方，即： 。
2、在△ABC中，∠C=（1）若，，则c=____；
（2）若，，则b=____；
3、以小组为单位，准备长度分别5 cm、6 cm、9 cm、12cm、13cm、15cm的小棒。
二、学习新知
自主学习：
1、拼三角形：
从长度分别为3cm、 4cm 、5 cm、6 cm、9 cm、12cm、13cm、15cm的小棒中选出三根：
（1）6、9、13；（2）9、12、 15；（3）5、12、13拼出三个三角形。
2、按要求填表：（用直角三角板判断三角形的形状）
三边的长
三边的关系（计算）
三角形的形状
较短边a
较短边b
最长边c
两条较短的边的平方和
最长边的平方
三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方的关系（ “≠”或“=”）
直角三角形（填“是”或“不是”）
哪边对直角（填字母）
3
4
5
6
9
13
9
12
15
5
12
13
3、按你们拼图得到的猜想填空：
（1）三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方满足 时，这个三角形是直角三角形； 边所对的角是直角。
（2）你们的结论：三角形的三边长a、b、c有 关系时，这个三角形是直角三角形。
4、思考：如果三角形的两条较短的边的平方和不等于最长边的平方，那么这个三角形还是直角三角形吗？
5、归纳总结：在一个三角形中：只要 的平方和等于 的平方，这个三角形就是直角三形，其中 所对的角是直角。
实例分析：
例1、已知，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，，求证：∠C=90°
例2、已知△ABC，AB=，BC=2n，AC=(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？
【随堂练习】
1、判断
（1）由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边的三角形不是直角三角形．（ ）
（2）由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾股数。（ ）
2．请完成以下未完成的勾股数：
（1）8，15，______； （2）15，12，______；
（3）10，26，_______； （4）7，24，______．
3．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”)。
4．三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
5．以下各组数为三边的三角形中不是直角三角形的有（ ）．
A．7，24，25 B．4，7，8 C．12，16，20 D．3，4，5
6．在△ABC中，AC=21cm，BC=28cm，AB=35cm，求△ABC的面积．
【中考连线】
一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 13 , BC=12，这个零件符合要求吗？
【参考答案】
随堂练习
1、（1）．× （2）．× 2.略 3．合格 4．A 5．D. 6．294cm
中考连线
在△ABD中，
所以△ABD为直角三角形 ∠A =90°
在△BDC中,
所以△BDC是直角三角形∠CBD =90°
因此这个零件符合要求。
14.1.3 反证法
【学习目标】
1．通过实例，体会反证法的含义．
2.了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题
【学习重难点】
1、理解反证法的意义。
2、熟练运用反证法。
【学习过程】
一、课前准备
预习反证法的步骤.
二、学习新知
自主学习：
问题1 小龙和小明看过电影后走出电影院，小明扫视周围后不假思索的唠叨：“下了雨，天还这么热。” 小明很诧异，问：“哪里下了雨？”“你没看到马路快车道上全是湿漉漉的吗？” “没有下雨，这是洒水车洒的。” 小明有理有据的回答：“如果下雨的话，不仅快车道上湿，慢车道和人行道上也要湿。你看，除了快车道外，其它地方都不湿，所以肯定刚才没下雨，” 小龙点点头笑道：“不错，是没有下雨，怪不得天这么闷热。” 思考讨论： 小龙为什么会赞同小明的分析？小明在分析的过程中体现了一种什么数学方法呢？
问题2 我们知道，命题“在直角三角形ABC中，AB=c BC=a CA=b 且∠C=90°那么a2+b2=c2 ”是真命题。那么请同学们思考讨论：“在三角形ABC中，AB=c BC=a CA=b 且 ∠C≠90°，那么a2+b2≠c2 ”是真命题吗？如果是请说明理由。
归纳：
1、反证法的概念：反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法）：是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
2、反证法的步骤：（1）先假设 ；（2）然后通 过 ，推出与_______ 、______、或 _________________________________，说明假设不成立，从而得到原结论正确。
实例分析：
例1、求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条直线和
求证：和只有一个交点.
【随堂练习】
求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
求证：一直线的垂线与斜线必相交。
已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B。求证：m和n必相交。
【中考连线】
有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【参考答案】
随堂练习
1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°，则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。故三角形中至少有一个角不大于60°。
证明：假设m和n不相交则m∥n
∵m⊥l ∴n⊥l，这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。
故m和n必相交。
中考连线
C
14.2 勾股定理的应用
【学习目标】
1.准确运用勾股定理及逆定理
2.经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。
3.培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。
【学习重难点】
1、掌握勾股定理及逆定理
2、正确运用勾股定理及逆定理
【学习过程】
一、课前准备
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=则AC=________．
2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，则第三边的长是_________．
3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．问至少需要多长的梯子？
二、学习新知
自主学习：
1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）
（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到C点的最短路程是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到C点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
学习体会：
我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．
实例分析：
例1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
例2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
从点A出发一条线段AB使它的另一端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为
画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数
例3：已知CD=６m， AD=８m，∠ADC=90°， BC=24m，AB=26m。求图中阴影部分的面积．
【随堂练习】
1．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离了欲到达点B240m，已知他在水中游了510m，求该河宽度．
2．在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，已知△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，求BC边上的高．
【中考连线】
小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．
【参考答案】
随堂练习
1．450米 2．15米 3．C 4．8
中考连线
12米
15.1 数据的收集
【学习目标】
1、经历调查和收集数据的过程，体会数据的作用；
2、了解不确定的现象也能够表现出规律，养成用数据说话的新习惯；
3、理解频数、频率概念并能进行计算。
4、培养观察、探究、分析、归纳的能力。
【学习重难点】
1、通过对实际问题的讨论，体会数据在生活中的重要作用，能够对数据进行简单的分析，从而树立正确的数据观
2、理解调查和收集数据的过程，正确地解释数据结果
【学习过程】
一、课前准备
在日常生活中，我们可能遇到下面一些问题
同学们最喜欢哪一门学科？
选举我们班的班干部
班里同学出生主要集中在哪一年？
本级全体学生的平均年龄为多少岁？
二、学习新知
一：调查全班同学最喜欢的科目
二：选举我们班的班干部
1、明确调查问题：谁当班干部好
2、确定调查对象：全班每位同学
3选择调查方法：
4、展开调查：
5、统计结果：
6、得出结论：
综上所述调查收集数据的过程为：
三、收集数据的方法一般有：
这是一张2000~2001年赛委CBA总决赛八一双鹿对上海东方队一场比赛后公布的比赛统计表，请你从表中进行分析，上海东方队赢在哪里
?
八一双鹿
上海东方
最终比分
105
116
二分球
30/60
35/65
二分球命中率
50%
54%
三分球
9/29
8/18
三分球命中率
31%
44%
罚球
18/20
22/27
罚球命中率
90%
81%
前场篮板
20
17
后场篮板
26
30
快攻
4
7
扣篮
2
6
盖帽
1
9
失误
18
10
助攻
5
8
四、频数和频率
在下列一组数：86、868、886、888、868、688、666中，数字8和6出现的频数和频率分别是多少？
频数：
频率：
1．下表为一收集到的数据，总人数是50人
项
目
篮球
跑步
乒乓球
跳绳
羽毛球
排球
人
数
?
8
?10
?12
?9
?6
?5
频
数
频
率
归纳：频率、频数和总数据之间的关系如下：
实例分析：
例1、某中学为了解本校学生的身体发育情况，对某年级同龄的40名女生的身高进行测量，结果如下（数据均为整数，单位：cm）
167 154 159 166 169 159 156 162
158 159 160 164 160 157 161 158
153 158 164 158 163 158 x 157
162 159 165 157 151 146 151 160
165 158 163 162 154 149 168 164
分组
频数
频率
144.5~149.5
2
0.05
149.5~154.5
A
0.15
154.5~159.5
14
B
159.5~164.5
C
D
164.5~169.5
6
0.15
合计
40
1
（1）频率分布表中的A= ；
B= ；C= ；D= 。
2）原来数据中x的值可能是
【随堂练习】
1、将一批数据分成5组，列出分布表，其中第一组与第五组的频率之和是0.27，第二与第四组的频率之和是0.54，那么第三组的频率是
2、今年夏天遭遇50年一遇的高温天气,供电部门采取了拉闸限电的措施,在对某一小区的民意调查（全部）中，有a人赞成，b人反对，c人无所谓，则赞成出现的频数是______，频率是______.
3、工艺品厂对某工艺品进行抽查，共抽查了30件工艺品，其中一等品12件，二等品8件，三等品7件，不合格品3件，那么这次抽查过程中合格产品出现的频率为 .
4、将一组数据分成五组，其中第一组的频率是0.1，第四组与第五组的频率之和为 0.5，那么第二组与第三组的频率之和为 .
【中考连线】
荷兰数学家卢道夫早在1596年就推算出了具有15位小数的π是3.141592653589793，则3出现的频率是 （ ）
A． B． C．3 D．
【参考答案】
随堂练习
1．0.19 2.a, 3.90% 4.0.4.
中考连线
B
15.2.1 扇形统计图
【学习目标】
1、理解扇形统计图的特点，会绘制简单的扇形统计图。
2、初步经历数据的收集、整理和分析的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力。
3、培养互相合作与交流的能力，增强数学应用意识.
【学习重难点】
1、绘制扇形统计图，从扇形统计图中获取有用的信息。
2、从扇形统计图中获取有用的信息
【学习过程】
一、课前准备
在日常生活中我们会见到和用到各种各样的统计图，有哪些？
二、学习新知
自主学习：
（一）探究扇形图的特点
问题1：P135
现在要请同学们回答，图中各个扇形分别代表了什么？人们失去牙齿最主要的原因是什么？对于不同年龄的人群，情况有没有不同？
为了学会制作扇形图，要求学生先观察图中的每个圆中所有扇形表示的百分比之和为多少？
再要求学生量一量，每个扇形的圆心角度数是多少？
再要求学生用360度去除测量出来的角度，计算出百分比.
（二）画扇形图
提出问题：P136“问题2”
怎样用扇形统计图表示各国得票数占总票数的百分比？
自己动手绘制扇形统计图，并归纳出绘图的一般步骤：
第1步： 中国得票数占总票数的百分比为：
第2步： ，扇形圆心角的度数应为：.
在扇形统计图的学习中，有些学生会将角度与百分比混淆，如误以为中心角为45°的扇形在扇形统计图中表示占45%的份额。
第3步： 。
要求学生将韩国、俄罗斯、墨西哥的得票率补充在上面的扇形统计图中.
实例分析：
例1、用扇形统计图表示下列数据：某乡镇2000年平均每人每季度消费性支出为446元，其中食品占40.6%，衣着占12.2%，家庭设备用品及服务占7.0%，医疗保险占5.9%，交通通讯占8.7%，娱乐文化教育等占12.7%，居住占8.6%，杂项商品占4.3%.
【随堂练习】
1．扇形统计图的特点是能直观地，生动地反映各部分在总体中所占的 。
2．某校八年级学生英语成绩达到优秀标准的有60人，占总人数的，在扇形统计图中，表示这部分学生的扇形的圆心角是 °，在这幅图中表示良好等级的圆心角是120°，则达良好等级的学生有
3．绍兴市某村水果种植基地里，的面积种植了梨，的面积种植了苹果，的面积种植了葡萄，其余的面积种植了枇杷，请你根据这些数据画出扇形统计图.
【中考连线】
某电台“市民热线”对上周接到的热线电话进行了分类统计，得到的统计信息图如图2所示，其中有关房产城建的电话有36个，请你根据统计图的信息回答下列问题：
（1）上周“市民热线”接到有关环境保护方面的电话有多少个？
（2）据此估计，除环境方面的电话外，“市民热线”今年（按52周计算）接到的热线电话约多少个？
【参考答案】
随堂练习
1．比例；2．；；
3．先算出枇杷种植面积为12.5%,然后画出扇形统计图如下：
中考连线
（1）有关房产城建的电话所占百分比为：，上周接到的热线电话个数：，上周“市民热线”接到有关环境保护方面的电话所占百分比：，上周“市民热线”接到有关环境保护方面的电话有：个；
（2）上周接到的热线电话个数：，“市民热线”今年（按52周计算）接到的热线电话约个
15.2.2 利用统计图表传递信息
【学习目标】
使学生学会对所收集到的数据进行统计表示。
2、学会用多种方法来表示数据。
【学习重难点】
1.数据的表示;
2.选择一种适当数据表示方法。
【学习过程】
一、课前准备
我们已经学过哪些统计方法？各有什么特点？
二、学习新知
自主学习：
解放以来，我国的国内生产总值(GDP)一直呈上扬趋势，1952年只有679亿元，1962年上升到1 149.3亿元，1970年上升到2 252.7亿元，1980年上升到4 517.8亿元，1990年上升到18 547.9亿元，2000年上升到89 404亿元。 (1) 设计一张统计表，简明地表达这一段文字信息；(2) 再设计一张条形统计图，直观地表明这种上扬趋势；
小小统计图表使长长的文字信息变得一目了然!
1. 统计图表----统计表、折线统计图：
从上述两张图表中，你能得出哪些结论?说说你的理由.我们在小学阶段已经学习过统计表和一些统计图(如条形统计图、扇形统计图和折线统计图)，这些统计图表可以帮助我们非常直观地发现一些有意思的结论.为了更清楚和直观地感受题目中给出的文字信息：
（1）我国国内生产总值总体上呈现 。
（2）从1952年到1980年这28年中，增长的速度 。
（3）但自1980年以后，增长的速度 。
（4）尤其是在1990年到2000年这10年期间，发展速度 。
2. 统计图表----统计表、折线统计图：
表中罗列了金、银、铜牌和奖牌总数这四栏。根据表中奖牌数总计一栏绘制的我国奥运健儿获取奖牌总数的折线统计图：
(1) 图中用一条折线将五届奥运会的数据联起来了，请问介于相邻两届之间的四条折线段有什么意思吗?
(2)要比较客观地评价一个代表队在一届奥运会上的表现是很困难的。有人建议比较奖牌总数，有人建议比较金牌总数，有人建议比较金牌和银牌的总数，等等。你比较赞同哪一个方案?你还能再提出一个你认为更公平的方案吗?说说你的理由。
实例分析：
例1、下面是小明一天的时间安排的条形统计图
（1）由条形统计图可见小明一天的学习时间是___小时，活动时间是___小时。
（2）你能根据右表的信息绘制一张扇形图吗?
睡觉
学习
活动
吃饭
其他
时间（?小??时）
百分数
%
%
%
%
%
圆心角
o
o
o
o
o
【随堂练习】
1.据国家统计局统计，浙江省2001年全省实现国内生产总值6 700亿元，第一、二、三产业占国内生产总值的比重如图，则我省第三产业实现国内生产总值 _________ 亿元.
2. 根据如图统计图，你获得哪些信息和结论？写出3条：
（1）__________ ；（2）_____________ ；（3）_____________ .
3. 利用统计图来表示一天24时气温的变化情况可选择______ 统计图，最不合适的选择是 _______ 统计图.
4. 小华粉刷他的卧室花了10时，他记录的完成工作量的百分数如下：
时间（时）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
完成的百分数
5
25
35
50
50
65
70
80
95
100
（1）第5时他完成工作量的_______ ％；（2）小华在_______ 时间内完成工作量最大；
（3）如果小华从上午8时开始工作，那么他在_______时间段没有工作.
【中考连线】
某学校七年级3班40位同学都订阅了杂志，50％的同学订阅《科学画报》，40％的同学订阅《作文通讯》，30％的同学订阅《英语画刊》，20％的同学订阅其他杂志.不能表示上述数据的统计图是（ ）
（A）条形统计图. （B）折线统计图. （C）扇形统计图. （D）以上答案均不对.
【参考答案】
随堂练习
1. 2 572.8 2. 略 3. 折线、扇形
4.（1）50％ （2）1～2时 （3）11：00～12.00
中考连线
C
