新湘教版 数学 九年级上2.2.1.1用直接开平方法
解一元二次方程教学设计
课题
2.2.1.1用直接开平方法
解一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①使学生知道形如x2=a (a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解；
②使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；?
③使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。
过程与方法：在学习与探究中使学生体会“化归”、“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法。
情感态度与价值观：使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值。
重点
使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。
难点
?探究(x－m)2=n的解的情况,培养分类讨论的意识。?
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
回顾知识
+
导入新课
同学们，在上节课中，我们已将学习了有关一元二次方程的概念，而从这节课开始我们将一起开始学习关解一元二次方程的知识，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的有关方程的知识：
1. 一元二次方程
①定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程.
②一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）, a：二次项系数, b：一次项系数，c：常数项。
2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.
3、什么叫做平方根？平方根有哪些性质？
若x2=a，则x叫做a的平方根.记作：x= ±.
平方根的性质：
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；
(2)零的平方根是零；
(3)负数没有平方根.
接下来，我们看几个例子：
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm（其中π取3）.
要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系.
等量关系：矩形的面积-圆的面积=矩形的面积×.
解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意得：200×150-3x2 ＝200×150×．
整理得：x2 - 2500＝0．
那么，如何求解呢？
把方程写成：x2=2500.
这表明 x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
x=或 x= .
因此，原方程的解为：x1=50，x2=－50.圆的半径不可能为负数，所以x2=－50不合题意，应当舍去 .
答：圆的半径为5.cm.
我们可以发现，我们在解题时候用的方法是根据平方根的意义开平方，从而求得方程的解.那这样的方法叫做什么方法呢？
学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
像刚刚探究里的解得的x1=50，x2=－50能使方程x2-2500=0左右两边相等.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
我们看一个具体的例子，再来了解下一元二次方程的解：
【例1】已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，则m的值是 （ A ）
A.-1 B.1 C.0 D.0或1
【解析】∵ x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解
∴x=1满足方程x2-mx+2m=0
∴把x=1代入方程，得12-m+2=0
∴m=-1.
【问题探究】用所学的知识解下列方程，求出x的值，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1） x2=9
解：根据平方根的意义，得x1=3，x2=-3.
（2） x2=0
解：根据平方根的意义， 得x1=x2=0.
（3） x2+8=0
解：根据平方根的意义，得 x2=-8，
∵负数没有平方根，
∴原方程无解.
所用方法：将方程化为x2 = p的形式，根据平方根的意义求解x.
像刚刚的探究里一样，我们可以根据平方根的意义求解一元二次方程的解：
解一元二次方程（1）
1.方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
2.具体方法：一般的，将一元二次方程化为x2 = n的形式：
（1）当n>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=，x2=；
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
我们需要注意的是，能化为x2=n（n≥0）的形式的方程需要具备的特点：
①左边是含有未知数的完全平方式；
②右边是非负常数.
接下来，我们看一个例子，看直接开平方如何求一元二次方程的解：
【例2】解方程：4x2-25=0.：
解：原方程可化为：x2=.
根据平方根的意义，得x=或 x= ，
因此，原方程的根为x1=，x2=.
【总结】解一元二次方程时候，首先将方程化为x2=p的形式，再根据平方根的定义求解.
想一想：问题：当方程为（x+1）2=81时，能否直接开平方求解x的值？
解：∵ （x+1）2=81形如x2=p，
∴将x+1看成一个整体
∴ x+1=9或 x+1=，也就是把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
∴x=8或x=-10
因此，原方程的根为x1=8，x2=.
【例3】求解一元二次方程方程（2x+1）2=2.
解：将2x+1看成一个整体，根据平方根的意义，
得 2x+1= 或2x+1=-
∴x=或x=－
因此，原方程的根为x1=，x2=.
在这里我们对用直接开平方法求解一元二次方程的知识点进行一个小的总结：
1.形如（ax+m）2=n（a、n、m为常数且a≠0）的一元二次方程可用直接开平方法求解x．
2.求解方程：（ax+m）2-n =0（a、m、n为常数，a≠0）
解：将原方程化解为： （ax+m）2=n
根据平方根的意义，得 ax+m= 或ax+m=-
①当n<0时，方程无实数解；
②当n=0时，x 1 =x2=
③当n>0时，x1=，x2=.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握用一元二次方程的解，以及用直接开平方法求一元二次方程的方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
结合老师的讲解，利用练习和探究用直接开平方法求一元二次方程的方法。
讲授知识，让学生掌握一元二次方程的解，以及用直接开平方法求一元二次方程的方法。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。
课堂练习
课堂练习
+
扩展提升
1．一元二次方程x2－9＝0的根为（ C ）
A．x＝3 B．x＝－3
C．x1＝3，x2＝－3 D．x＝9
2．一元二次方程x2＝14的根是 x 1 =x2 ．
3 ．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是 x1=3，x2=-3 ．
4．解下列方程：
（1）2y2－100＝0；
解：原式化解得：y2=50
∴y=±
∴x1=，x2=-.
（2）（x＋6）（x－6）＝64.
解：原式化解得：x2-36=64
即x2=100
∴ x=±10
∴x1=10，x2=-10
（3）（x－1）2－4 = 0；
解：移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
∴x1=3，x2=-1.
（4）12（3－2x）2－3 = 0.
解：移项，得12（3-2x）2=3，
即（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5，3-2x=-0.5
∴ x1= ，x2=.
5.已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根， 求 2a2+4a+2018的值.
解：由题意得a2+2a-2=0，即a2+2a=2
∴2a2+4a+2017= 2（a2+2a）+2018
=2×2+2018
=2022
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的根.
2.形如（x+m）2=n的一元二次方程可用直接开平方法求解x．
3.求解方程： （x+m）2=n
解： 根据平方根的意义，得x= 或x=-
①当n<0时，方程无实数解；
②当n=0时，x 1 =x2=
③当n>0时，x1=，x2=.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
解一元二次方程（1）
1.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的根.
2.形如（x+m）2=n的一元二次方程可用直接开平方法求解x．
3.求解方程： （x+m）2=n
解： 根据平方根的意义，得x= 或x=-
①当n<0时，方程无实数解；
②当n=0时，x 1 =x2=
③当n>0时，x1=，x2=.
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第31页做一做.
教材第31页练习第1、2题.
2.2.1.1用直接开平方法解一元二次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．方程x2﹣9=0的解是（ ）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=±9 D．x1=3，x2=﹣3
2．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
3．关于x的方程（x+1）2﹣m=0（其中m≥0）的解为（ ）
A．x=﹣1+m B．x=﹣1+
C．x=﹣1±m D．x=﹣1
4．规定运算：对于函数y=xn（n为正整数），规定y′=nxn﹣1．例如：对于函数y=x4，有y′=4x3．已知函数y=x3，满足y′=18的x的值为（ ）
A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=x2=0
C．x1=，x2=﹣ D．x1=3，x2=﹣3
5．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
二．填空题（共5小题，每题8分）
6．若（x﹣1）2=4，则x= ．
7．方程3x2=12的解是 ．
8．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根为 ．
9．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）﹡3=0的解为 ．
10．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x+m﹣1）2+b=0的解是 ．
三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第11题10分）
11．解方程：（x+1）2=4．
12．解方程：（x﹣5）2﹣9=0．
13．我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25．
解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或 3x﹣2= ．
分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．
（2）解方程．
试题解析
一．选择题
1．D
【分析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2=9，
x=±3，
所以x1=3，x2=﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2．D
【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：由原方程得到：（x﹣2018）2=﹣2017．
∵（x﹣2018）2≥0，
﹣2017＜0，
∴该方程无解．
故选：D．
【点评】考查了直接开平方法解一元二次方程．形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3．D
【分析】先将方程变形为（x+1）2=m，再利用直接开平方法求解．
【解答】解：移项，得（x+1）2=m，
开方，得x+1=±，
解得x=﹣1±．
故选：D．
【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程．根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
4．C
【分析】根据新定义得到3x2=18，然后利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：根据题意得3x2=18，
即x2=6，
所以x1=，x2=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了阅读理解能力．
5．D
【分析】i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【解答】解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵=504…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2017=i，
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．
二．填空题
6．【分析】把x﹣1看做整体直接开方后再计算即可求解．
【解答】解：x﹣1=±2
x﹣1=2或x﹣1=﹣2
x=3或x=﹣1．
【点评】主要考查直接开平方法解方程．要注意整体思想的运用．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
7．x1=﹣2，x2=2．
【分析】先把二次项系数化为1，再运用直接开平方法求解．
【解答】解：3x2=12，
系数化为1，得x2=4，
解得x1=﹣2，x2=2．
故答案为：x1=﹣2，x2=2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
8．±2
【分析】根据一元二次方程ax2=b的解互为相反数，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其分别代入m+1、2m﹣4中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，
∴m+1=﹣（2m﹣4），
解得：m=1，
∴m+1=2，2m﹣4=﹣2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了开方法解一元二次方程以及解一元一次方程，牢记一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根互为相反数是解题的关键．
9．x1=2，x2=﹣4
【分析】先根据新定义得到（x+1）2﹣32=0，再移项得（x+1）2=9，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：∵（x+1）﹡3=0，
∴（x+1）2﹣32=0，
∴（x+1）2=9，
x+1=±3，
所以x1=2，x2=﹣4．
故答案为x1=2，x2=﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
10．x1=，x2=0
【分析】把方程a（2x+m﹣1）2+b=0看作关于2x﹣1的一元二次方程，则2x﹣1=2或2x﹣1=﹣1，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：把方程a（2x+m﹣1）2+b=0变形为a[（2x﹣1）+m]2=a，
∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，
∴2x﹣1=2或2x﹣1=﹣1，
∴x1=，x2=0．
故答案为x1=，x2=0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
三．解答题
11．【分析】两边直接开平方可得x+1=±2，然后再解一元一次方程即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x+1=±2，
则x+1=2，x+1=﹣2，
解得：x1=1，x2=﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
12．【分析】方程整理后，利用直接开平方法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x﹣5）2=9，
开方得：x﹣5=±3，
即x﹣5=3，或x﹣5=﹣3，
解得：x1=8，x2=2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
13.【分析】根据题意给出的思路即可求出答案．
【解答】解：（1）3x﹣2=﹣5，
（2）根据乘方运算，
得或
解这两个一元一次方程，得x1=，x2=．
故答案为：﹣5
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意，本题属于基础题型．
课件22张PPT。2.2.1.1解一元二次方程
——直接开平方法数学湘教版 九年级上方 程 1. 一元二次方程
①定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程. ②一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）
a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.3、什么叫做平方根？平方根有哪些性质？平方根的性质：
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；
(2)零的平方根是零；
(3)负数没有平方根.?? 如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm（其中π取3）.?答：圆的半径为5.cm.前面的探究解得的x1=50，x2=－50能使方程x2-2500=0左右两边相等. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 【例1】已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解，则m的值是 （ ）
A.-1 B.1 C.0 D.0或1【解析】∵ x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一个解
∴x=1满足方程x2-mx+2m=0
∴把x=1代入方程，得12-m+2=0
∴m=-1.A用所学的知识解下列方程，求出x的值，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1） x2=9（2） x2=0（3） x2+8=0解：根据平方根的意义，
得x1=3，x2=-3.解：根据平方根的意义，
得x1=x2=0.解：根据平方根的意义，
得 x2=-8，
∵负数没有平方根，
∴原方程无解.所用方法：将方程化为x2 = p的形式，根据平方根的意义求解x.（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.2.具体方法：一般的，将一元二次方程化为x2 = n的形式：?1.方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.解一元二次方程①左边是含有未知数的完全平方式；
②右边是非负常数.能化为x2=n（n≥0）的形式的方程需要具备的特点： 【例2】解方程：4x2-25=0.：【总结】解一元二次方程时候，首先将方程化为x2=p的形式，再根据平方根的定义求解.?问题：当方程为（x+1）2=81时，能否直接开平方求解x的值？? 【例3】求解一元二次方程方程（2x+1）2=2.?解一元二次方程1.形如（ax+m）2=n（a、n、m为常数且a≠0）的一元二次方程可用直接开平方法求解x．?1．一元二次方程x2－9＝0的根为（ ）
A．x＝3 B．x＝－3
C．x1＝3，x2＝－3 D．x＝9
2．一元二次方程x2＝14的根是 ．
3 ．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是 ．C ?x1=3，x2=-3解：原式化解得：x2-36=64
即x2=100
∴ x=±10
∴x1=10，x2=-104．解下列方程：
（1）2y2－100＝0； （2）（x＋6）（x－6）＝64.?（3）（x－1）2－4 = 0；解：移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
∴x1=3，x2=-1.（4）12（3－2x）2－3 = 0.?5.已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根， 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得a2+2a-2=0，即a2+2a=2
∴2a2+4a+2017= 2（a2+2a）+2018
=2×2+2018
=2022 方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．用直接开平方法解一元二次方程2.形如（x+m）2=n的一元二次方程可用直接开平方法求解x．?1.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的根.解一元二次方程（1）2.形如（x+m）2=n的一元二次方程可用直接开平方法求解x．?1.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的根.教材第31页做一做.
教材第31页练习第1、2题. 上21世纪教育网 下精品教学资源谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com）全国最大的中小学教育资源网站有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
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