2.2.2 用公式法解一元二次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．方程2x2﹣3x﹣1=0用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（ ）
A．a=2，b=﹣3，c=﹣1 B．a=﹣2，b=3，c=1
C．a=﹣2，b=﹣3，c=﹣1 D．a=2，b=3，c=﹣1
2．方程x2﹣x﹣1=0的根是（ ）
A．x1=，x2= B．x1=，x2=
C．x1=，x2= D．没有实数根
3．若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（ ）
A．m＞2 B．m＜﹣1 C．1＜m＜2 D．0＜m＜1
4．方程x2﹣3|x|﹣2=0的最小一个根的负倒数是（ ）
A． B．
C． D．
5．以x=为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0
C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=0
二．填空题（共5小题，每题8分）
6．当 ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为 ．
7．把方程（x+3）（x﹣1）=x（1﹣x）整理成ax2+bx+c=0的形式 ，b2﹣4ac的值是 ．
8．用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a= ；b= ；c= ．
9．用求根公式解方程x2+3x=﹣1，先求得b2﹣4ac= ，则 x1= ，x2= ．
10．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：
①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；
②（a*b）#c=c（a*b）；
③a*（b#a）=（a*b）#a；
④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．
正确的是 （填序号即可）
三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第12题10分）
11．x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
12．用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
13．解方程：2x（x+4）=1（用公式法）
试题解析
一．选择题
1．A
【分析】根据单项式系数的定义和方程得出即可．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1=0，
a=2，b=﹣3，c=﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程和单项式的系数，注意：说多项式各项的系数带着前面的符号．
2．B
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
【解答】解：这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，
x=，
x1=，x2=，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
3．D
【分析】公式法求出方程的实数根m=，根据2＜＜3可得其范围．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣1，
∴△=1﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
则x=，
∴方程的较大根m=，
∵2＜＜3，
∴＜＜1，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法和估计无理数的大小，熟练掌握求根公式和估计无理数的大小是解题的关键．
4．A
【分析】解此题要用换元思想，把|x|看做一个整体，设为y，此方程变形为y2﹣3y﹣2=0，解新一元二次方程，同时注意|x|≥0，即可求得x的值，再找出最小的一个根，然后求该值的负倒数即可．
【解答】解：设|x|=y
此方程变形为y2﹣3y﹣2=0，
解得：y=，
∴|x|=或|x|=＜0（舍），
则x=或x=﹣，
∴最小的根为﹣，它的负倒数是=，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法和倒数的概念以及绝对值的性质．两数互为倒数，积为1．
5．D
【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．
【解答】解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数，二次项系数是1或﹣1，常数项是﹣c或c．
所以，符合题意的只有D选项．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．利用求根公式x=解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．
二．填空题
6．b2﹣4ac；x=
【分析】写出一元二次方程的求根公式即可．
【解答】解：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=，
故答案为：b2﹣4ac；x=
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
7．2x2+x﹣3=0；25．
8．﹣1，3，﹣1．
9．5；；
10．①②④
【分析】先读懂题意，根据题意求出每个式子左边和右边，再判断是否正确即可．
【解答】解：∵[2+（﹣5）]#（﹣2）
=（﹣3）#（﹣2）
=6，∴①正确；
∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，
∴②正确；
∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，
∴③错误；
∵（1*x）#（1#x）=1，
∴（1+x）#（x）=1，
（1+x）x=1，
x2+x﹣1=0，
解得：x1=，x2=，
∵x＞0，
∴x=，∴④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题
11．【分析】根据公式法的步骤即可解决问题．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣15=0．
∴a=1，b=﹣2，c=﹣15，
∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，
∴x=，
∴x=5或﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握公式法的解题步骤是解题的关键．
12．【分析】先把方程化为一般形式：3x2+10x+5=0，然后把a=3，b=10，c=5代入求根公式计算即可．
【解答】解：方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0，
∵a=3，b=10，c=5，
∴b2﹣4ac=102﹣4×3×5=40，
∴x===，
∴x1=，x2=．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x=（b2﹣4ac≥0）．
13．【分析】首先把方程化为一元二次方程的一般形式，再找出a，b，c，求出△=b2﹣4ac的值，再代入求根公式x=．
【解答】解：2x（x+4）=1，
2x2+8x﹣1=0，
∵a=2，b=8，c=﹣1，△=b2﹣4ac=64+8=72，
∴x===．
即x1=，x2=．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，把方程化为一元二次方程的一般形式找出a，b，c，求出△=b2﹣4ac的值，是解此题的关键．
课件19张PPT。2.2.2解一元二次方程
——公式法数学湘教版 九年级上用配方法解一元二次方程步骤2.移：移常数项；1.化1：如二次项系数不为1，则化二次项系数为1；?4.写成（x+n)2=p (p ≥0); 5.直接开平方法解方程. 运用配方法解一元二次方程时，我们对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a ≠ 0）
使用配方法，求出这个方程的根呢？化1:把二次项系数化为1移项:把常数项移到方程的右边??配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方?变形:方程左边分解因式，右边合并同类项;开方:方程两边开平方;求解：解一元一次方程;定解：写出原方程的解.??????用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程：? 【例1】用公式法解下列方程：?用公式解一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数，a≠0）的步骤：用公式法解一元二次方程? 【例2】用公式法解方程：9x2 +12x+4 =0.?1.用公式法解下列方程：1.用公式法解下列方程：1.用公式法解下列方程：2、对关于x的方程 x2+mx-1=0回答下列问题．
（1）m取什么值时，使方程有两个相等的实数根？
（2）m取什么值时，方程有两个不等的实数根？
（3）m取什么值时，方程有无实数根？ 解：这里a=1，b=m，c=-1
∴b2-4ac =m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵从m2+4可以看出，不管m取任意实数， m2+4 >0，
∴不管m取任何的数，方程始终有两个不相等的实数根. 3.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状.解：将原方程转化为一般形式，得(b+c)x2-2max+(c-b)m2 =0.
∵原方程有两个相等的实数根，
∴(-2ma)2-4(b+c)(c-b)m=0，
即4m2 (a2+b2-c2)=0.
又∵m>0，∴a2+b2-c2=0，即a2+b2=c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形.用公式法解一元二次方程公式法求根公式步骤一化：方程化为ax2+bx+c=0的一般形式）
二定：求出系数a、b、c的值；
三求：求b2-4ac的值；
四判：根据b2-4ac判断方程根个数；
五代：运用求根公式计算方程的根.?用公式法解一元二次方程公式法求根公式步骤一化：方程化为ax2+bx+c=0的一般形式）
二定：求出系数a、b、c的值；
三求：求b2-4ac的值；
四判：用b2-4ac求方程根个数；
五代：运用求根公式计算方程的根.?① b2-4ac>0，两个不等实根；
② b2-4ac=0，两个相等实根；
③ b2-4ac<0，无实根.教材第37页练习.
教材第42页练习第4题. 上21世纪教育网 下精品教学资源谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com）全国最大的中小学教育资源网站有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
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课题
2.2.2用公式法解一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①理解一元二次方程求根公式的推导过程。?
②会用求根公式解简单系数的一元二次方程。?
过程与方法：经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯。
情感态度与价值观：通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。?
重点
正确推导出一元二次方程的求根公式；
掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程?
难点
一元二次方程求根公式的推导过程；
能正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高综合运算能力。??
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
回顾知识
+
导入新课
同学们，在上节课中，我们已将学习了用直接开方的方法、以及配方法解一元二次方程的方法，这节课开始我们将学习一直解一元二次方程的另一种新的方法，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：
用配方法解一元二次方程
【导入新课】运用配方法解一元二次方程时，我们对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a ≠ 0）
使用配方法，求出这个方程的根呢？
解：化1:把二次项系数化为1
移项:把常数项移到方程的右边
配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方
+
变形:方程左边分解因式，右边合并同类项;
开方:方程两边开平方;
当
求解：解一元一次方程;
定解：写出原方程的解.
x1 x2
∴
学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识，注意与老师一起推导公式。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
一般地，像刚刚推导的一样，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定，当b2-4ac ≥0 时，一元二次方程的根为：
这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
我们看一个具体的例子，来了解下解一元二次方程：
【例1】用公式法解下列方程：
（1）x2 - x –2 = 0.
解：这里 a =1 ， b =-1 ， c = -2.
∴b2 - 4ac = (-1 )2 - 4×1×（-2 ）=9，
∵9>0，
∴ 根据求根公式得x
∴原方程的根为： x1 =2 ， x2 = -1.
（2）x2 -2 x =1.
解：原式变形成一般式为：x2 -2x-1 =0，
这里 a =1 ， b =-2 ， c = -1.
∴b2 - 4ac = (-2 )2 - 4×1×（-1 ）=8，
∵8>0，
∴ 根据求根公式得x ，
∴原方程的根为： x1 = x2 =.
我们可以发现，对于用公式解一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数，a≠0）的步骤：
1.变形：化已知方程为一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数，a≠0）;
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数;
3.计算：计算b2-4ac的值；
4.判断: ①当b2-4ac时，方程有两个不等的实根：
②当b2-4ac时，方程有两个相等的实根： =
③当b2-4ac时，因无意义，所以原方程无实根.
5.带入求值：利用求根公式求出方程的解.
【例2】用公式法解方程：9x2 +12x+4 =0.
解：这里 a =9 ， b =12 ， c = 4.
∴ b2 - 4ac = 12 2 - 4×9×4=0，
∴ 根据求根公式得x ，
∴原方程的根为： x1 =x2 =.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握用用公式求一元二次方程的方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握用用公式法求一元二次方程的方法。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1.用公式法解下列方程：
2、对关于x的方程 x2+mx-1=0回答下列问题．
（1）m取什么值时，使方程有两个相等的实数根？
（2）m取什么值时，方程有两个不等的实数根？
（3）m取什么值时，方程有无实数根？
解：这里a=1，b=m，c=-1
∴b2-4ac =m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵从m2+4可以看出，不管m取任意实数， m2+4 >0，
∴不管m取任何的数，方程始终有两个不相等的实数根.
3.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状.
解：将原方程转为一般形式，得(b+c)x2-2max+(c-b)m2 =0.
∵原方程有两个相等的实数根，
∴(-2ma)2-4(b+c)(c-b)m=0，
即4m2 (a2+b2-c2)=0.
又∵m>0，∴a2+b2-c2=0，即a2+b2=c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形.
学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
用公式法解一元二次方程
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第37页练习.
教材第42页练习第4题.
