新湘教版 数学 九年级上2.2.3用因式分解法解一元二次方程教学设计
课题
2.2.3用因式分解法解一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①了解因式分解法的概念与步骤。?
②会用因式分解法解简单系数的一元二次方程。?
过程与方法：探索因式分解法的步骤，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而使学生树立数学转换的思想。
情感态度与价值观：通过运用因式分解法解一元二次方程，让学生体会解决问题方法的多样化，让学生体验数学逻辑的严密性。?
重点
能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。?
难点
能理解并灵活运用“若ab=0，则a=0或b=0”的概念；
能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。??
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
回顾知识
+
导入新课
同学们，在上节课中，我们已将学习了用直接开方的方法、配方法以及公式法解一元二次方程的方法，这节课开始我们将学习一直解一元二次方程的另一种新的方法，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：
解下列一元二次方程：
（1）x2-81=0（直接开方法）
解：x2=81
∴x=±9
∴x1=9；x2=-9.
（2）x2+4x+1=0（配方法）
解：移项：x2+4x=-1
配方：x2+4x+4=-1+4
即（x+2）2=3
∴x+2=±
∴x1=-2；x2=--2.
（3）x2+x-2=0（公式法）
解：这里a=1，b=，c=-2
b2-4ac=2-4×1×（-2）=10>0
∴x=
∴x1=-；x2=.
因式分解：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解.
平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
分解因式：
（1）x2-81=x2-92=（x+9）（x-9）
（2）x2+4x=x（x+4）
（3）x2+x+4=x2+x+22 =（x+2）2
【知识探究】若ab=0，则a、b的值可能有哪几种情况？
1.当a≠b时：①a=0，b≠0；
②a≠0，b=0.
2.当a=b时，a=b=0.
结论：若ab=0，则a=0或b=0.
【导入新知】解方程：x2-3x=0.
在解这个方程的时候，我们可以用配方法：将原方程化为（x-）2=进行求解，我们也可以用公式进行公式法求解.
有没有更简便的方法呢？
解：对方程左边进行因式分解：x（x-3）=0
根据“若ab=0，则a=0或b=0”，可以得到
x=0或x-3=0
∴x1=0；x2=3.
学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识，注意与老师一起推导公式。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
一般地，像刚刚导入的一样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
我们看一个具体的例子，来了解下解一元二次方程：
【例1】用因式分解法解下列方程：
（1） x（x-5）=3x
解：原方程可以写成 x（x-5）-3x = 0.
把方程左边因式分解，得x（x-5-3）= 0.
由此得出x =0或 x-5-3 = 0.
解得： x1=0 ，x2= 8.
（2） 2x（5x-1）=3（5x-1）
解：原方程可以写成2x（5x-1）-3（5x-1）= 0.
把方程左边因式分解，得（5x-1）（2x-3）= 0.
由此得出 ：5x-1 = 0 或 2x-3 = 0.
解得：x1 = x2 =.
（3） （35-2x）2-900=0
解：原方程可以写成 ： （35-2x）2-302=0.
把方程左边因式分解，得（35-2x+30）（35-2x-30）= 0.
由此得出65-2x = 0 或 5-2x= 0.
解得：x1 = x2 =.
我们可以发现，对于用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数，a≠0）的步骤：
1.化解：方程右边不为零的化为零.
2.因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.
3.求解：至少有一个一次因式为零，得两个一元一次方程.
4.定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解.
【例2】用因式分解法解方程：x2-10x+24=0
解：配方，得：x2-10x+52-52+24=0
因而（x-5）2-12=0
把方程左边因式分解，得（x-5+1）（x-5-1）= 0.
即（x-4）（x-6）=0
由此得出： x-4 = 0或x-6= 0.
解得x1 = x2 =.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握用用因式分解法求一元二次方程的方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握用因式分解法求一元二次方程的方法。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
+
扩展提升
1.用因式分解法解下列方程：
（1） x2-19x=0 ；
解：把方程左边因式分解，得x（x-19）=0.
由此得出 x = 0 或 x-19 = 0 .
解得x1=0 ， x2=19.
（2）13x2= 25x .
解：原方程可以写成13x2-25x = 0，
把方程左边因式分解，得x（13x-25）=0.
由此得出 x = 0 或 13x-25 = 0.
解得：x1 = x2 =
2.用因式分解法解下列方程：
（1） 6x（2x-1）= 1-2x ，
解：原方程可以写成6x（2x-1）+（2x-1）= 0，
把方程左边因式分解，得（2x-1）（6x+1）= 0.
由此得出 2x-1 = 0 或 6x+1 = 0.
解得x1 = x2 =-.
（2） 8x（2x+1）= 4x+2 ，
解：原方程可以写成8x（2x+1）-2（2x+1）= 0，
把方程左边因式分解，得（2x+1）（8x-2）=0.
由此得出 2x+1 = 0或8x-2 = 0.
解得， x1 =-x2 = .
【扩展提升】解方程：x2=2x
解：方程的两边同时除以x，得x=2
∴原方程的解为x-2.
这样的解法正确吗？
我们知道，只有方程的两边同时除以一个不为零的数，所得的方程与原方程同解.所以这样的做法是错误的.
正确解法：
①当x=0时，左边=02=0，右边=0，
∵左边=右边，
∴x=0是原方程的解.
②当x≠0时，方程的两边同除以x，得x=1
∴原方程的解为：x1=1，x2=0.
【做一做】解方程：（x-6）（x+2）=-12
解：原方程化为：（x-6）（x+2）=-3×4
∴x-6=-3，即x=3； x+2=4，即x=-2.
∴原方程的解为： x1=3，x2=-2.
正确解法：
解：原方程化解：x2-4x-12=-12即x2-4x=0
将方程左边进行因式分解，得x（x-4）=0
∴x=0或x-4=0
∴原方程的解为：x1=0，x2=4.
学生自主完成课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
在扩展提升的时候，学生要先自主思考问题，然后再听老师讲解，在做一做的时候举一反三。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
扩展提升有助于检测学生对知识的灵活运用，借助做一做检测学生对知识点的掌握程度。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1.若ab=0，则a=0或b=0；
2.因式分解：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
具体步骤：①化解：方程右边不为零的化为零.
②因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.
③求解：至少有一个一次因式为零，得两个一元一次方程.
④定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
用因式分解法解一元二次方程
1.若ab=0，则a=0或b=0；
2.因式分解：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
具体步骤：
①化解：方程右边不为零的化为零.
②因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.
③求解：至少有一个一次因式为零，得到两个一元一次方程.
④定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解.
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第39页练习第1、2题.
教材第42页练习第5题.
2.2.3 用因式分解法解一元二次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．一元二次方程x2﹣x=0的根为（ ）
A．x=1 B．x=0 C．x1=0，x2=1 D．x1=1，x2=﹣1
2．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
3．方程x2﹣2x=3可以化简为（ ）
A．（x﹣3）（x+1）=0 B．（x+3）（x﹣1）=0
C．（x﹣1）2=2 D．（x﹣1）2+4=0
4．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（ ）
A．﹣1或 B．1或﹣ C．1或﹣ D．1或
5．若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6）
C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）
二．填空题（共5小题，每题8分）
6．一元二次方程x2﹣x=0的根是 ．
7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是 ．
8．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为 ．
9．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a、b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的极差是 ．
10．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 ．
三．解答题（共2小题，每题20分）
11．解方程：（x+1）2=3（x+1）
12．解方程：
（1）3（x﹣1）2=x（x﹣1）
（2）x2+1=3x．
试题解析
一．选择题
1．C
【分析】方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．
【解答】解：原方程可化为：x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0；
解得x1=0，x2=1；故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
2．A
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=7，ab=12，利用勾股定理得到矩形的对角线长=，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5．
【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，
则a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长====5，
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了矩形的性质．
3．A
【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣2x=3，
x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．
4．B
【分析】直接利用2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数得出2x2+1+4x2﹣2x﹣5=0，进而整理利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：∵2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，
∴2x2+1+4x2﹣2x﹣5=0，
则3x2﹣x﹣2=0，
（x﹣1）（3x+2）=0，
解得：x1=1，x2=﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
5．B
【分析】根据题意可知x2+mx+n可分解为（x﹣5）（x+6）从而可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2+mx+n=0的两个实根分别为5，﹣6，
∴x2+mx+n=（x﹣5）（x+6）
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意进行因式分解，本题属于基础题型．
二．填空题
6．x1=0，x2=1
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
7．13
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
8．-1
【分析】根据题意可以求得方程x2+2x﹣3=0与=相同的解，从而可以求得a的值．
【解答】解：由x2+2x﹣3=0得
x1=﹣3，x2=1，
∵=中x≠﹣3，
∴方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，这个解是x=1，
∴，得a=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程、分式方程的解，解答本题的关键是明确解方程的方法．
9．4
【分析】直接利用十字相乘法分解因式解方程即可，再利用极差的定义求出答案．
【解答】解：x2﹣3x+2=0
（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x1=1，x2=2，
故这五个数据为：1，2，3，4，5
则这五个数据的极差是：5﹣1=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及极差的定义，正确解方程是解题关键．
10．1
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．
三．解答题
11．【分析】把右边的项移到左边，然后提公因式法因式分解，求出方程两个根．
【解答】解：（x+1）2﹣3（x+1）=0，
（x+1）（x﹣2）=0，
∴x+1=0，x﹣2=0，
解得x1=﹣1，x2=2．
【点评】本题考查的是用因式分解法解方程，把右边的项移到左边后，可以用提公因式的方法进行因式分解，求出方程的两个根．
12．【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据公式法，可得答案．
【解答】解：（1）方程整理，得
3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0
因式分解，得
（x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]=0
于是，得
x﹣1=0或2x﹣3=0，
解得x1=1，x2=；
（2）方程整理，得
x2﹣3x+1=0
∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴x==，
即x1=，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
课件19张PPT。2.2.2解一元二次方程
——因式分解法数学湘教版 九年级上解一元二次方程解一元二次方程的方法：直接开方法、配方法、公式法?解：x2=81
∴x=±9
∴x1=9；x2=-9.?? 因式分解：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解.平方差公式：
完全平方公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
a2±2ab+b2=（a±b）2?解：原式=x2-92
=（x+9）（x-9）解：原式=x（x+4） ?若ab=0，则a、b的值可能有哪几种情况？
1.当a≠b时：①a=0，b≠0；
②a≠0，b=0.
2.当a=b时，a=b=0.
结论：若ab=0，则a=0或b=0. 解方程：x2-3x=0. 解：对方程左边进行因式分解：
x（x-3）=0
根据“若ab=0，则a=0或b=0”，可以得到
x=0或x-3=0
∴x1=0；x2=3.?用因式分解法解一元二次方程 1.利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. 【例1】用公式法解下列方程：（1） x（x-5）=3x
解：原方程可以写成
x（x-5）-3x = 0.
把方程左边因式分解，得
x（x-5-3）= 0.
由此得出
x =0或 x-5-3 = 0.
解得： x1=0 ，x2= 8.
? 【例1】用因式分解法解下列方程：?用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数，a≠0）的步骤：用因式分解法解一元二次方程1.化解：方程右边不为零的化为零.
2.因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.
3.求解：至少有一个一次因式为零，得到两个一元一次方程.
4.定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解. 【例2】用因式分解法解方程：x2-10x+24=0?1.用因式分解法解下列方程：（1） x2-19x=0 ；
解：把方程左边因式分解，得
x（x-19）=0.
由此得出 x = 0 或 x-19 = 0 .
解得 x1=0 ， x2=19. ?2.用因式分解法解下列方程：??解方程：x2=2x
解：方程的两边同时除以x，得
x=2
∴原方程的解为x-2.
这样的解法正确吗？正确解法：
①当x=0时，左边=02=0，右边=0，
∵左边=右边，
∴x=0是原方程的解.②当x≠0时，方程的两边同除以x，得
x=1
∴原方程的解为：x1=1，x2=0.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并给出正确的做法.解方程：（x-6）（x+2）=-12
解：原方程化为：
（x-6）（x+2）=-3×4
∴x-6=-3，即x=3；
x+2=4，即x=-2.
∴原方程的解为： x1=3，x2=-2.错误正确解法：
解：原方程化解：x2-4x-12=-12即x2-4x=0
将方程左边进行因式分解，得
x（x-4）=0
∴x=0或x-4=0
∴原方程的解为：x1=0，x2=4.用因式分解法解一元二次方程具体步骤：①化解：方程右边不为零的化为零.
②因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.
③求解：至少有一个一次因式为零，得到两个一元一次方程.
④定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解. 2.因式分解：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.1.若ab=0，则a=0或b=0；用因式分解法解一元二次方程具体步骤：①化解：方程右边不为零的化为零.
②因式分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积.
③求解：至少有一个一次因式为零，得到两个一元一次方程.
④定值：两个一元一次方程的解就是原方程的解. 2.因式分解：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.1.若ab=0，则a=0或b=0；教材第39页练习第1、2题.
教材第42页练习第5题. 上21世纪教育网 下精品教学资源谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com）全国最大的中小学教育资源网站有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
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