2.3 一元二次方程根的判别式-试卷

2.3一元二次方程根的判别式
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0
C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2
3．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
二．填空题（共5小题，每题8分）
6．一元二次方程x2﹣3x+1=0的根的判别式的值是　 　．
7．关于x的一元二次方程x2+tx+t2+t+2=0根的情况是　 　．
8．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=　 　（一个即可）．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为　 　．
10．对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常数）．
例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．
已知：y=+（m﹣1）x2+m2x．若方程y'=0有两个相等实数根，则m的值为　 　．
三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第13题10分）
11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根．
13．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
试题解析
一．选择题
1．A
【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2．C
【分析】利用根的判别式△=b2﹣4ac分别进行判定即可．
【解答】解：A、△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；
B、△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C、△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D、△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
3．A
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误；
D、由x1?x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1?x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1?x2=﹣2，
∴x1、x2异号，结论D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．
∴2+3=5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
5．D
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴，
∴b=a+1或b=﹣（a+1）．
当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；
当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
二．填空题
6．5
【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△=b2﹣4ac．
7．无实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=9＞0，进而即可得出方程x2+tx+t2+t+2=0无实数根．
【解答】解：∵x2+tx+t2+t+2=0中a=1，b=t，c=t2+t+2，
∴△=b2﹣4ac=t2﹣4（t2+t+2）=﹣（t+2）2﹣4＜0．
∴关于x的一元二次方程x2+tx+t2+t+2=0根的情况是 无实数根．
故答案是：无实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．-2
【分析】先根据判别式的意义得到△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，然后在解集中找出负整数即可．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，
∴△=42+8a≥0，
解得a≥﹣2，
∴负整数a=﹣1或﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△=4m2﹣2（1﹣4m）=4m2+8m﹣2=0，
∴m2+2m=
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）
=﹣m2﹣2m+4
=+4
=
故答案为：
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型．
10．
【分析】根据给定的新定义可找出y'=x2+2（m﹣1）x+m2，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵y=+（m﹣1）x2+m2x，
∴y'=x2+2（m﹣1）x+m2．
∵方程y'=0有两个相等实数根，
∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，
解得：m=．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
三．解答题
11．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）a≠0，
△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，
∵a2＞0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2） ∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
　
12．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
（2）求出m的值，解方程即可解答．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=42﹣4（3m﹣2）=24﹣12m＞0，
解得：m＜2．
（2）∵m为正整数，
∴m=1．
∴原方程为x2﹣4x+1=0
解这个方程得：，．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系是解题的关键．
　
13．【分析】（1）代入x=1可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（a﹣2）2+4＞0，由此即可证出：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，
解得：a=．
（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入x=1求出a值；（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．