新湘教版 数学 九年级上2.4一元二次方程根与系数的关系教学设计
课题
2.4一元二次方程根与系数的关系
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①掌握一元二次方程根与系数的关系；
②会运用关系定理求已知一元二次方程两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。?
过程与方法：
①经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力；②在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想。
情感态度与价值观：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
重点
理解一元二次方程根与系数的关系，并能简单灵活运用。
难点
①一元二次方程的根与系数的关系的推导。
②会用利用根与系数的关系解有关的问题?。?
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
回顾知识
+
导入新课
同学们，在前面的学习中，我们已将学习了用直接开方的方法、以及配方法解一元二次方程的方法，这节课我们将探究方程的根到底与系数a、b、c有什么样的关系，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：
1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠ 0）
2.方程的判别式： △= b2-4ac
3.当?≥０时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根.
4.求根公式为：x
【导入新课】问题1：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c = 0（a≠0）的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
（1）先解方程，再填表；想想两根之和、两根之积与a、b的关系，完成填空：
由下表猜测：若方程ax2+bx+c = 0（a≠0） 的两个根为x1，x2，则x1+x2 = - ，x1x2= .
问题2：对于方程ax2+bx+c =0（a≠0），当Δ≥0时，该方程根与它的系数之间有什么关系呢？
当Δ≥0 时，设ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个根为x1，x2，则ax2+bx+c =a（x- ）（x- ）
=a[x2-（ + ）x+ ]
又ax2+bx+c=a（x2+）
于是x2+=x2- （ + ）x+
根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定，得=-（ + ）， =（ ·）.
+ =-， ·=
学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识，注意与老师一起推导公式。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
一般的，我们说，当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数之间具有如下关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即
+ =-， ·= .
这个关系通常被称为韦达定理.
我们看一个具体的例子：
【例1】 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1、x2的和与积.
（1）2x2-3x+1=0， （2）x2-3x+2=10， （3）7x2-5=x+8.
解：（1）∵a=2，b=-3，c=1
∴+=-=， ·==.
（2）原方程化为一般式：x2-3x-8=0
∴+=-=3， ·==8.
（3）原方程化为一般式：7x2-x-13=0
∴+=-=， ·==.
【练一练】 下列方程的两根和与两根积各是多少？
（1） x2－3x+1=0 ； （2） 3x2－2x=2； （3） 2x2+3x=0； （4）3x2=1 .
解：（1）+=-=3，·==.
（2）+=-，·==-.
（3）+=-，·==.
（4）+=0，·=-.
从例题中，我们可以发现：在使用根与系数的关系时：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2） 在使用x1+x2=－时，“－ ”不要漏写.
若ax2(bx(c(0 （a(0 ((0）
（1）若两根互为相反数，则b(0;
（2）若两根互为倒数，则a(c;
（3）若一根为0，则c(0 ;
（4）若一根为1，则a(b(c(0 ;
（5）若一根为(1，则a(b(c(0;
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
【例2】已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个跟为-3，求它的另一个根及q的值。
解：设x2+3x+q=0的另一个根为x2，则
-3+x2=-3
解得x2=0
有根与系数之间的关系得 q=（-3）×0=0
因此，方程的另一个根为0，q的值为0.
【例3】设方程4x2-2x-3=0的两个根是α 和β，求4α2＋2β的值．
分析：由根与系数的关系，得α+β ，α是方程的根， 所以，4α2-2α-3=0，原式化为只含α+β的式子，从而求值.
解：∵α是方程4x2-2x-3=0的根，
∴4α2-2α-3=0，即：4α2=2α+3．
又由根与系数的关系得：α+β=
∴4α2+2β=2α+3+2β=2（α+β）+3=4．
我们可以发现：根与系数的关系主要应用于：
（1）不解方程检验方程的根；
（2）求关于根的代数式的值；
（3）已知方程的一个根求另一根和系数；
（4）已知两根确定方程.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握一元二次方程根与系数的关系。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握一元二次方程根与系数的关系。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1.下列方程的两根和与两根积各是多少？
（1） x2－8x+6=0 ； （2） 2x2－3x=1；
解：（1）+=-=8，·==.
（2）+=-，·==-.
2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
∴x1·x2=2x2=-，即：x2=-
由于x1+x2=2+（-）==-
得：k=-7.
答：方程的另一个根是-，k=-7.
3.如果方程x2-mx+2m-1=0的两根平方和为7，求m的值.
分析：x1+x2=m，x1x2=2m-1，而 x12+x22=7
解：∵x1+x2=m，x1x2=2m-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7
即：m2-2（2m-1）=7
解得：m=5，m=-1
当m=5时，原方程无实数解，故m=5舍去。
∴ m=-1
4.已知方程 x2+3x+m=0 的两根为 x1，x2，当 m 为何值时，3x1-x2=4？
解：∵x1+x2=-3且x1x2=m
∴3x1-x2=3（x1+x2）-4x2=4
即：3× （-3）-4x2=4
∴x2=-， x1=-3+=
∴m= x1x2==－
【扩展提升】设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= 4 ， x1·x2= 1 ，
（2） x12+x22= 14 ，
（3） （x1-x2）2 = 12 .
解析：（2） x12+x22= （x1+x2）2-2 x1x2= 42-2=14.
（3） （x1-x2）2 = x12 + x22-2x1x2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4=12
【扩展总结】1.求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
2.总结常见的求值:
①2+2=（+）2-2
②（x1-x2）2 =（x1+x2）2-4x1x2
③
④
【做一做】当k为何值时，方程2x2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1.
解：设方程两根分别为x1，x2（x1>x2），则x1-x2=1
∵ （x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=
∴（）2-4×=1，解得k1=9，k2= -3
当k=9或-3时，由于Δ≥0，
∴k的值为9或-3.
学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生根据自己掌握的知识完成扩展提升里的联系，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习、做一做等检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
一元二次方程根与系数的关系
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第48页练习第1、2题.
教材第45页练习2.4第4、5题.
2.4 一元二次方程根与系数的关系
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
2．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k值是（ ）
A．﹣1 B．±2 C．2 D．﹣2
4．已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1 B．x1?x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
5．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
二．填空题（共5小题，每题8分）
6．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 ．
7．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1= ，x2= ．
8．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2= ．
9．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22= ．
10．若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是 ．（写出符合要求的方程）
三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第13题10分）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
12．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
13．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．
试题解析
一．选择题
1．D
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
2．C
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=2、x1x2=﹣，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
3．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．
【解答】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（k2﹣4）x+k+1=0的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则
x1+x2==﹣（k2﹣4）=0，即k=±2，
当k=2时，方程无解，故舍去．
故选：D．
【点评】本题考查的是根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
4．D
【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣1，x1x2=﹣，所以A、B选项错误；
∵x1+x2＜0，x1x2＜0，
∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误；
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，
∴2x12+2x1﹣1=0，
∴x12+x1=，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
5．C
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣、αβ=﹣3，将其代入+=中即可求出结论．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
二．填空题
6．2
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
7．﹣2；3
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1可得出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，
∴m=1，
∴原方程为x2﹣x﹣6=0，即（x+2）（x﹣3）=0，
解得：x1=﹣2，x2=3．
故答案为：﹣2；3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系求出m的值是解题的关键．
8．-3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2
∴x1+x2+x1x2=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
9．
【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=．x1x2=﹣，
∴x12+x22=，
故答案为：
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．
10．x2﹣3x+2=0．
【分析】设原方程为ax2+bx+c=0（a≠0），根据根与系数的关系可得出﹣=3、=2，取a=1即可得出结论．
【解答】解：设原方程为ax2+bx+c=0（a≠0），
∵该方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3、x1x2=2，
∴﹣=3，=2，
取a=1，则b=﹣3，c=2，
∴此时该方程为x2﹣3x+2=0．
故答案为：x2﹣3x+2=0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
三．解答题
11．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
12．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．
13．【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可求出p值．
【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．
∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=﹣6，
∴p=﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求出p值．
课件23张PPT。2.4 一元二次方程根与系数的关系数学湘教版 九年级上一元二次方程? 问题1：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c = 0（a≠0）的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？（1）先解方程，再填表；想想两根之和、两根之积与a、b的关系，完成填空：由上表猜测：若方程ax2+bx+c = 0（a≠0） 的两个根为x1，x2，则x1+x2 = ，x1x2= .6-1201-45-6-3-4??问题2：对于方程ax2+bx+c =0（a≠0），当Δ≥0时，该方程根与它的系数之间有什么关系呢？???一元二次方程的根与系数的关系【例1】 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1、x2的和与积.
（1）2x2-3x+1=0， （2）x2-3x+2=10， （3）7x2-5=x+8.? 要先将方程化为一般形式，才能确定a，b，c的值.????若ax2?bx?c?0 （a?0 ??0）
（1）若两根互为相反数，则b?0;
（2）若两根互为倒数，则a?c;
（3）若一根为0，则c?0 ;
（4）若一根为1，则a?b?c?0 ;
（5）若一根为?1，则a?b?c?0;
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根. 【例2】已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个跟为-3，求它的另一个根及q的值。
解：设x2+3x+q=0的另一个根为x2，则
-3+x2=-3
解得x2=0
有根与系数之间的关系得 q=（-3）×0=0
因此，方程的另一个根为0，q的值为0. 【例3】设方程4x2-2x-3=0的两个根是α 和β，求4α2＋2β的值． ?根与系数的关系应用于：
（1）不解方程检验方程的根；
（2）求关于根的代数式的值；
（3）已知方程的一个根求另一根和系数；
（4）已知两根确定方程.一元二次方程根与系数关系的应用?2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. ?3.如果方程x2-mx+2m-1=0的两根平方和为7，求m的值.分析：x1+x2=m，x1x2=2m-1，而 x12+x22=7∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7即：m2-2（2m-1）=7解得：m=5，m=-1解：∵x1+x2=m，x1x2=2m-1，∴ m=-1当m=5时，原方程无实数解，故m=5舍去。 4.已知方程 x2+3x+m=0 的两根为 x1，x2，当 m 为何值时，3x1-x2=4？? 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= ， x1·x2= ，
（2） x12+x22= ，
（3） （x1-x2）2 = .411412解析：（2） x12+x22= （x1+x2）2-2 x1x2= 42-2=14.
（3） （x1-x2）2 = x12 + x22-2x1x2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4=12?当k为何值时，方程2x2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1.?一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系的应用?一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系的应用?教材第48页练习第1、2题.
教材第45页练习2.4第4、5题. 上21世纪教育网 下精品教学资源谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com）全国最大的中小学教育资源网站有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
赶快加入21世纪教育网名师合作团队吧！！月薪过万不是梦！！
详情请看：http://www.21cnjy.com/zhaoshang/
