23.1 图形的旋转同步课时作业（2）
图片预览
文档简介
23.1 图形的旋转同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在△OAB中，∠AOB=55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针旋转到△OA′B′ 的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为（ ）
A． 125° B． 70° C． 55° D． 15°
2．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则等于
A． B． C． D．
3．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是
A． B． C． D．
4．如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝65°，则∠ADE等于( )
A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A． 12 B． 6 C． 6 D．
6．如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段BC的延长线上，则的大小为
A． B． C． D．
7．如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是
A． B． C． D．
8．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．
10．如图，在中，，，以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______．
11．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．
12．如图，在中，，，点D为BC中点，将绕点D逆时针旋转，得到，与AB交于点E，则______．
13．如图，线段AB两端点坐标分别为、，线段CD两端点坐标分别为、D?数学课外兴趣小组研究这两线段发现：其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段，请写出旋转中心的坐标______．
14．如图，等边三角形ABC的边长为9cm，，连接DE，将绕点D逆时针旋转，得到，连接CF，则______cm．
15．如图，在中，，，，现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为______．
三、解答题
16．如图所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE．
（1）问△ABC与△ADE的关系如何？
（2）求∠BAD的度数．
17．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转38°得Rt△A′B′C′，若AC⊥A′B′，求∠ABC的度数．
18．如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形.
19．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将绕点C顺时针方向旋转得到，连结EF，若，求的度数．
20．如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，与BC交于点D，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，连接BB′，求线段BB′的长度．
21．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB=QC；
（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．
22．已知：在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴正半轴上，且线段OA、OB（OA＜OB）的长分别等于方程的两个根，点C在轴正半轴上，且OB=2OC．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）将△OBC绕点C顺时针旋转90°后得到，求直线的表达式．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等可得，即可得到旋转角的度数.
【详解】
，
，
又 ，
中，，
旋转角的度数为.
故选：.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
2．C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，
所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB．
【详解】
根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，
所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣35°=45°．
故选：C
【点睛】
本题考核知识点：旋转性质. 解题关键点：理解旋转的性质.
3．C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°，求得每次旋转的度数．
【详解】
中心角是由8个度数相等的角组成，
每次旋转的度数可以为，
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，运用数形结合思想、发现8个相等的中心角构成一个周角是解题的关键.
4．C
【解析】
【详解】
由题意得，∠B=∠CED=65°，AC=DC，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∴∠ADE=∠CED－∠CAD=65－45=20.
故选C.
5．D
【解析】
【分析】
连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【详解】
连接B'B，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C=60°，
∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B=60°，
∵∠CB'A'=30°，
∴∠A'B'B=30°，
∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12，
∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，
∴B'B=6，
故选D．
【点睛】
此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
6．B
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．
【详解】
解：由旋转的性质可知：，，．
，，
．
．
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
由已知求出旋转角，再根据角的和差关系求得∠AOE=∠BOE-∠AOB=45?-15?.
【详解】
由已知可得，旋转角：∠BOE=45?,所以，∠AOE=∠BOE-∠AOB=45?-15?=30?.
故选：B
【点睛】
本题考核知识点：旋转角，角的和差倍. 解题关键点：理解旋转角的定义.
8．D
【解析】
【分析】
设BC、C'D'相交于点M，连结AM，根据HL即可证明△AD'M≌△ABM，可得到∠MAB=30°，然后可求得MB的长，从而可求得△ABM的面积，最后利用正方形的面积减去△AD'M和△ABM的面积进行计算即可．
【详解】
设BC、相交于点M，连结AM，
由旋转的性质可知：，
在Rt和Rt△ABM中
，
≌（HL），
，，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选D．
【点睛】
本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关性质与定理、证得≌是解本题的关键．
9．6
【解析】
【详解】
由题意得，∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP与△CDO中，
，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=CO=AC﹣AO=9﹣3=6.
故答案为6.
10．
【解析】
【分析】
先在中利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得出≌，然后根据阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可．
【详解】
在中，，，
，
把逆时针旋转，得到，
，，，，
阴影部分的面积，
故答案为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用．
11．
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得AC=CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案．
【详解】
∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，
故答案为：70°°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键.
12．28
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得出，，进而由求出即可．
【详解】
由题意可得：，，
则，
，
，
，
．
故答案为：28．
【点睛】
考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出是解题关键．
13．或
【解析】
【分析】
分点A的对应点为C或D两种情况考虑：当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心此题得解．
【详解】
当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示：
点的坐标为，B点的坐标为，
点的坐标为；
当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示：
点的坐标为，B点的坐标为，
点的坐标为．
综上所述：这个旋转中心的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
由等边三角形ABC的边长为9cm，可得，，将绕点D逆时针旋转，得到，可得可证为等边三角形，可得，则可得，可得为直角三角形，再根据勾股定理可求CF的长．
【详解】
如图：
是等边三角形
，且，
，是等边三角形．
将绕点D逆时针旋转，得到
，且
，且
为等边三角形
，
，
，
为直角三角形，且，，
，
故答案为
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，本题关键是证明为直角三角形．
15．
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可知S△ABC＝S△AB1C1，由此可得S阴影=S扇形ABB1，根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】
∵S△ABC＝S△AB1C1，
∴S阴影=S扇形ABB1=πAB2=π．
故答案为：π．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影=S扇形ABB1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键．
16．（1）△ABC≌△ADE；（2）30°
【解析】由旋转的性质和三角形的性质即可解答．
解：（1）∵△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE，∴△ABC≌△ADE．
（2）旋转角相等，即∠BAD=∠EAC=30°．
17．38°.
【解析】分析：
如下图所示，设AC与A′B′的交点为O，则由已知条件易得∠A′OC=90°，∠ACA′=38°，由此可得∠A′=52°，由旋转的性质可得∠A=52°，结合∠ACB=90°即可得到∠ABC=38°.
详解：
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转38°得Rt△A′B′C′，
∴∠ACA′=38°，∠A=∠A′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠A′OC=90°，
∴∠A′=90°-38°=52°，
∴∠A=52°，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°-90°-52°=38°.
点睛：“由旋转的性质得到∠ACA′=38°，结合AC⊥A′B′得到∠A′=52°=∠A”是解答本题的关键.
18．见解析
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形．
【详解】
证明：由旋转知∠D=∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠D，AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
又∵∠A=∠E，
∴∠ACB=∠A，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，对于旋转的性质用到最多的是：旋转前、后的图形全等．
19．15°
【解析】
【分析】
根据旋转性质可得：，，，由等腰直角三角形三角形性质可得，所以.
【详解】
解：是旋转得到的图形， ，，， ． ．
【点睛】
本题考核知识点：旋转性质，等腰直角三角形. 解题关键点：熟记旋转性质，等腰直角三角形性质.
20．BB′=BC=2．
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，可得AB=2AC=4，由勾股定理得BC==2；再证△AA′C是等边三角形，得AA′=AB=2，A′C=A′B，可得∠A′CB=∠A′BC=30°，
由旋转得∠A′CB′=90°，BC=B′C，所以∠B′CB=90°﹣30°=60°，证得△BCB′是等边三角形，所以BB′=BC=2．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BC==2，
∵∠A=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′=AB=2，
∴A′C=A′B，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，
∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，
∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC=2．
【点睛】
本题考核知识点：旋转，直角三角形，等边三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记旋转性质和等边三角形的判定和性质.
21．（1）证明见解析；（2）5.
【解析】
【分析】
（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；
（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.
直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC===5．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键.
22．(1) A（1,0）、B（4,0）、 C（0,2）； (2)
【解析】
【分析】
（1）先利用因式分解法解方程x2-5x+4=0可确定A（1，0）、B（4，0）；再利用OB=2OC，且点C在y轴正半轴上可确定C点坐标；
（2）利用旋转的性质得OB=O′B′=4，OC=O′C′=2，∠COB=∠C0′B′=90°，∠OCO′=∠BCB′=90°，则可确定O′（-2，2）、B′（-2，-2），然后利用待定系数法求直线B′C的解析式．
【详解】
(1) ∵OA、OB的长是方程2-5+4=0的两个根，且OA＜OB，
解得
∴OA=1，OB=4
∵A、B分别在x轴正半轴上，
∴A（1,0）、B（4,0）
又∵OB2OC，且点C在轴正半轴上
∴OC2，C（0,2）
(2) ∵ 将△OBC绕点C顺时针旋转90°后得到
∴OB=O′B′=4，OC=O′C′=2，∠COB=∠C0′B′=90°，∠OCO′=∠BCB′=90°
∴O′（-2,2）、B′（-2,-2）
设直线B′C的解析式为
∴，解得
∴直线B′C的解析式为.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了旋转的性质和待定系数法求一次函数解析式．
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在△OAB中，∠AOB=55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针旋转到△OA′B′ 的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为（ ）
A． 125° B． 70° C． 55° D． 15°
2．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则等于
A． B． C． D．
3．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是
A． B． C． D．
4．如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝65°，则∠ADE等于( )
A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A． 12 B． 6 C． 6 D．
6．如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段BC的延长线上，则的大小为
A． B． C． D．
7．如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是
A． B． C． D．
8．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．
10．如图，在中，，，以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______．
11．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．
12．如图，在中，，，点D为BC中点，将绕点D逆时针旋转，得到，与AB交于点E，则______．
13．如图，线段AB两端点坐标分别为、，线段CD两端点坐标分别为、D?数学课外兴趣小组研究这两线段发现：其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段，请写出旋转中心的坐标______．
14．如图，等边三角形ABC的边长为9cm，，连接DE，将绕点D逆时针旋转，得到，连接CF，则______cm．
15．如图，在中，，，，现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为______．
三、解答题
16．如图所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE．
（1）问△ABC与△ADE的关系如何？
（2）求∠BAD的度数．
17．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转38°得Rt△A′B′C′，若AC⊥A′B′，求∠ABC的度数．
18．如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形.
19．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将绕点C顺时针方向旋转得到，连结EF，若，求的度数．
20．如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，与BC交于点D，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，连接BB′，求线段BB′的长度．
21．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB=QC；
（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．
22．已知：在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴正半轴上，且线段OA、OB（OA＜OB）的长分别等于方程的两个根，点C在轴正半轴上，且OB=2OC．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）将△OBC绕点C顺时针旋转90°后得到，求直线的表达式．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等可得，即可得到旋转角的度数.
【详解】
，
，
又 ，
中，，
旋转角的度数为.
故选：.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
2．C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，
所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB．
【详解】
根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，
所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣35°=45°．
故选：C
【点睛】
本题考核知识点：旋转性质. 解题关键点：理解旋转的性质.
3．C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°，求得每次旋转的度数．
【详解】
中心角是由8个度数相等的角组成，
每次旋转的度数可以为，
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，运用数形结合思想、发现8个相等的中心角构成一个周角是解题的关键.
4．C
【解析】
【详解】
由题意得，∠B=∠CED=65°，AC=DC，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∴∠ADE=∠CED－∠CAD=65－45=20.
故选C.
5．D
【解析】
【分析】
连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【详解】
连接B'B，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C=60°，
∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B=60°，
∵∠CB'A'=30°，
∴∠A'B'B=30°，
∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12，
∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，
∴B'B=6，
故选D．
【点睛】
此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
6．B
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．
【详解】
解：由旋转的性质可知：，，．
，，
．
．
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
由已知求出旋转角，再根据角的和差关系求得∠AOE=∠BOE-∠AOB=45?-15?.
【详解】
由已知可得，旋转角：∠BOE=45?,所以，∠AOE=∠BOE-∠AOB=45?-15?=30?.
故选：B
【点睛】
本题考核知识点：旋转角，角的和差倍. 解题关键点：理解旋转角的定义.
8．D
【解析】
【分析】
设BC、C'D'相交于点M，连结AM，根据HL即可证明△AD'M≌△ABM，可得到∠MAB=30°，然后可求得MB的长，从而可求得△ABM的面积，最后利用正方形的面积减去△AD'M和△ABM的面积进行计算即可．
【详解】
设BC、相交于点M，连结AM，
由旋转的性质可知：，
在Rt和Rt△ABM中
，
≌（HL），
，，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选D．
【点睛】
本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关性质与定理、证得≌是解本题的关键．
9．6
【解析】
【详解】
由题意得，∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP与△CDO中，
，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=CO=AC﹣AO=9﹣3=6.
故答案为6.
10．
【解析】
【分析】
先在中利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得出≌，然后根据阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可．
【详解】
在中，，，
，
把逆时针旋转，得到，
，，，，
阴影部分的面积，
故答案为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用．
11．
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得AC=CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案．
【详解】
∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，
故答案为：70°°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键.
12．28
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得出，，进而由求出即可．
【详解】
由题意可得：，，
则，
，
，
，
．
故答案为：28．
【点睛】
考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出是解题关键．
13．或
【解析】
【分析】
分点A的对应点为C或D两种情况考虑：当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心此题得解．
【详解】
当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示：
点的坐标为，B点的坐标为，
点的坐标为；
当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示：
点的坐标为，B点的坐标为，
点的坐标为．
综上所述：这个旋转中心的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
由等边三角形ABC的边长为9cm，可得，，将绕点D逆时针旋转，得到，可得可证为等边三角形，可得，则可得，可得为直角三角形，再根据勾股定理可求CF的长．
【详解】
如图：
是等边三角形
，且，
，是等边三角形．
将绕点D逆时针旋转，得到
，且
，且
为等边三角形
，
，
，
为直角三角形，且，，
，
故答案为
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，本题关键是证明为直角三角形．
15．
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可知S△ABC＝S△AB1C1，由此可得S阴影=S扇形ABB1，根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】
∵S△ABC＝S△AB1C1，
∴S阴影=S扇形ABB1=πAB2=π．
故答案为：π．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影=S扇形ABB1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键．
16．（1）△ABC≌△ADE；（2）30°
【解析】由旋转的性质和三角形的性质即可解答．
解：（1）∵△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE，∴△ABC≌△ADE．
（2）旋转角相等，即∠BAD=∠EAC=30°．
17．38°.
【解析】分析：
如下图所示，设AC与A′B′的交点为O，则由已知条件易得∠A′OC=90°，∠ACA′=38°，由此可得∠A′=52°，由旋转的性质可得∠A=52°，结合∠ACB=90°即可得到∠ABC=38°.
详解：
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转38°得Rt△A′B′C′，
∴∠ACA′=38°，∠A=∠A′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠A′OC=90°，
∴∠A′=90°-38°=52°，
∴∠A=52°，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°-90°-52°=38°.
点睛：“由旋转的性质得到∠ACA′=38°，结合AC⊥A′B′得到∠A′=52°=∠A”是解答本题的关键.
18．见解析
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形．
【详解】
证明：由旋转知∠D=∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠D，AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
又∵∠A=∠E，
∴∠ACB=∠A，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，对于旋转的性质用到最多的是：旋转前、后的图形全等．
19．15°
【解析】
【分析】
根据旋转性质可得：，，，由等腰直角三角形三角形性质可得，所以.
【详解】
解：是旋转得到的图形， ，，， ． ．
【点睛】
本题考核知识点：旋转性质，等腰直角三角形. 解题关键点：熟记旋转性质，等腰直角三角形性质.
20．BB′=BC=2．
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，可得AB=2AC=4，由勾股定理得BC==2；再证△AA′C是等边三角形，得AA′=AB=2，A′C=A′B，可得∠A′CB=∠A′BC=30°，
由旋转得∠A′CB′=90°，BC=B′C，所以∠B′CB=90°﹣30°=60°，证得△BCB′是等边三角形，所以BB′=BC=2．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BC==2，
∵∠A=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′=AB=2，
∴A′C=A′B，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，
∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，
∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC=2．
【点睛】
本题考核知识点：旋转，直角三角形，等边三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记旋转性质和等边三角形的判定和性质.
21．（1）证明见解析；（2）5.
【解析】
【分析】
（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；
（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.
直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC===5．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键.
22．(1) A（1,0）、B（4,0）、 C（0,2）； (2)
【解析】
【分析】
（1）先利用因式分解法解方程x2-5x+4=0可确定A（1，0）、B（4，0）；再利用OB=2OC，且点C在y轴正半轴上可确定C点坐标；
（2）利用旋转的性质得OB=O′B′=4，OC=O′C′=2，∠COB=∠C0′B′=90°，∠OCO′=∠BCB′=90°，则可确定O′（-2，2）、B′（-2，-2），然后利用待定系数法求直线B′C的解析式．
【详解】
(1) ∵OA、OB的长是方程2-5+4=0的两个根，且OA＜OB，
解得
∴OA=1，OB=4
∵A、B分别在x轴正半轴上，
∴A（1,0）、B（4,0）
又∵OB2OC，且点C在轴正半轴上
∴OC2，C（0,2）
(2) ∵ 将△OBC绕点C顺时针旋转90°后得到
∴OB=O′B′=4，OC=O′C′=2，∠COB=∠C0′B′=90°，∠OCO′=∠BCB′=90°
∴O′（-2,2）、B′（-2,-2）
设直线B′C的解析式为
∴，解得
∴直线B′C的解析式为.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了旋转的性质和待定系数法求一次函数解析式．
同课章节目录