人教版九年级上《24.4弧长和扇形的面积》测试题（含答案）

弧长和扇形的面积测试题
时间：100分钟 总分： 100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，在中，，，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为　　
A. B. C. D. 
一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是　　
A. B. C. D.
的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是　　
A. 3 B. 4 C. 9 D. 18
如图，PA、PB是的切线，切点分别为A、B，若，，则的长为　　
A. B. C. D. 
如图，正六边形ABCDEF内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为　　
A. 2，B. ，C. ，D. ，
如图，是的外接圆，，，则劣弧的长等于　　
A. B. C. D. 
如图，将绕点C按顺时针旋转得到，已知，，则线段AB扫过的图形的面积为　　
A. B. C. D. 
一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是　　
A. 1cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm
如图，在边长为6的菱形ABCD中，，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是　　
A. B. C. D.
如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若，则图中阴影部分的面积是　　
A. B. C. D. 
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在OA上，则边BC扫过区域图中阴影部分的面积为______．
如图，半圆O的直径，弦，，则图中阴影部分的面积为______ ．
用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为______ ．
如图，在中，，，，把以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点处，那么AC边扫过的图形图中阴影部分的面积是______ ．
如图，的半径是2，弦AB和弦CD相交于点E，，则扇形AOC和扇形BOD的面积图中阴影部分之和为______ ．
如图，的半径为2，点A、C在上，线段BD经过圆心O，，，，则图中阴影部分的面积为______．
如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则 ______ 填“”“”“”
如图，在中，，，，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于______结果保留
如图，点A，B，C都在上，，的直径是6，则劣弧AB的长是______．
如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为______．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
如图，已知AB是的直径，点C，D在上，点E在外，．求的度数；求证：AE是的切线；当时，求劣弧AC的长．

如图，BC是的直径，点A在上，，垂足为D，，BE分别交AD、AC于点?F、G．证明：；若，求弧EC的长度．

如图，AB是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．求证：BE与相切；设OE交于点F，若，，求阴影部分的面积．

如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知，，．求的半径OD；求证：AE是的切线；求图中两部分阴影面积的和．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；求证：；若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．

如图，AB为的直径，C是上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，，垂足为E，F是AE与的交点，AC平分．求证：DE是的切线；若，，求图中阴影部分的面积．

答案和解析
【答案】
1. B 2. B 3. C 4. C 5. D 6. A 7. D8. B 9. A 10. A
11. ??
12. ??
13. ??
14. ??
15. ??
16. ??
17. ??
18. ??
19. ??
20. ??
21. 解：与都是所对的圆周角，；证明：为圆O的直径，，，，即，经过半径OA的外端点A，为圆O的切线；解：如图，连接OC，，，为等边三角形，，，，则的长为??
22. 证明：?是?的直径，，；，；，，，．解：如图，连接AO、EO，，，，，，，是等边三角形，，，，，的弧长??
23. 证明：连接OC，如图，为切线，，，，，即OD垂中平分BC，，在和中， ≌，，，与相切；解：设的半径为r，则，在中，，，解得，，，，在中，，阴影部分的面积   ??
24. 解：与圆O相切，，在中，，，；连接OE，，，四边形AEOD为平行四边形，，，，又为圆的半径，为圆O的切线；，，即，，，   ．??
25. 解：结论：DE是的切线．理由：，，四边形OABC是平行四边形，平行OC，，，是的切线．连接BF．四边形OABC是平行四边形，，，，，，．，是等边三角形，，在中，，，，，，，，的长，阴影部分的周长为．??
26. 证明：连接OC， ，，平分，，，，，，，，，点C在圆O上，OC为圆O的半径，是圆O的切线；解：在中，，，，在中，，，，，，，，，，， ，阴影部分的面积为．??
【解析】
1. 解：连接OE、OD，设半径为r，分别与AB，AC相切于D，E两点，，，是BC的中点，是中位线，，，同理可知：，，，由勾股定理可知，，故选：B．连接OE、OD，由切线的性质可知，，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型．
2. 解：一个扇形的弧长是，面积是，，即，解得：，，解得：，故选B 利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
3. 解：根据弧长的公式，得到：，解得．故选C．根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径r的值．此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．
4. 解：、PB是的切线，，在四边形APBO中，，，，的长，故选：C．由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出的度数，利用弧长公式求出的长即可．此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
5. 解：连接OB，，，，，故选：D．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
6. 解：如图，连接OB、OC，，，又，是等边三角形，，劣弧的长为：．故选：A．连接OB、OC，利用圆周角定理求得，然后利用弧长公式来计算劣弧的长．本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质根据圆周角定理得到是解题的关键所在．
7. 解：绕点C旋转得到，≌，，．扫过的图形的面积，扫过的图形的面积，扫过的图形的面积故选：D．根据图形可以得出AB扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出AB扫过的图形的面积求出其值即可．本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
8. 解：设扇形的半径为R，由题意：，解得，，，这个扇形的半径为3cm．故选：B．根据扇形的面积公式：代入计算即可解决问题．本题考查扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：是弧长，R是半径，属于中考常考题型．
9. 解：四边形ABCD是菱形，，，，是菱形的高，，，图中阴影部分的面积菱形ABCD的面积扇形DEFG的面积．故选：A．由菱形的性质得出，，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积菱形ABCD的面积扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
10. 解：为直径，，，为等腰直角三角形，，和都是等腰直角三角形，，，．故选A．先利用圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，接着判断和都是等腰直角三角形，于是得到，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：，扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
11. 解：，是绕圆心O逆时针旋转得到的，，，，，，，，，，，，阴影部分面积；故答案为：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．
12. 解：弦，，．故答案为：．由可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出，进而得出，根据扇形的面积公式即可得出结论．本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．
13. 解：如图，设的中点为P，连接OA，OP，AP，的面积是：，扇形OAP的面积是：，AP直线和AP弧面积：，阴影面积：．故答案为：．连OA，OP，AP，求出AP直线和AP弧面积，即阴影部分面积，从而求解．本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是得到阴影部分面积扇形OAP的面积的面积．
14. 解：，以点B为中心按逆时针方向旋转了，按反方向旋转相同的角度即可得到阴影部分为两个扇形面积的差，， ．故答案为：．根据题意可知该阴影部分的面积为两个扇形面积的差，分别计算出两个扇形的面积相减即可得到阴影部分的面积．本题考查了扇形的面积的计算，解决此题的关键是根据题目中旋转的角度判断阴影部分的组成．
15. 解：连接BC，如图所示：，，扇形AOC与扇形DOB面积的和，故答案为：．根据三角形的外角的性质、圆周角定理得到，利用扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积的计算、圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16. 解：在中，，，，，，．同理，可得出：，．．在和中，有，≌．．故答案为：通过解直角三角形可求出，，从而可求出，再通过证三角形全等找出，套入扇形的面积公式即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据拆补法将不规则的图形变成规则的图形，再套用规则图形的面积公式进行计算即可．
17. 解：如图，． 故答案为：．利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．本题考查了弧长公式：圆周长公式：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
18. 解：，，，，，又，弧CD的长为，故答案为：．先根据，，，得到，进而得出，再根据，即可得到弧CD的长．本题主要考查了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为．
19. 解：如图连接OA、OB．，劣弧AB的长，故答案为．如图连接OA、根据圆周角定理求出，健康旅游弧长公式计算；本题考查弧长公式、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20. 解：连接CF，DF，则是等边三角形，，在正五边形ABCDE中，，，的长，故答案为：连接CF，DF，得到是等边三角形，得到，根据正五边形的内角和得到，求得，根据弧长公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21. 利用同弧所对的圆周角相等确定出所求角度数即可；由AB为圆的直径，确定出所对的圆周角为直角，再由度数求出度数，进而求出为直角，即可得证；连接OC，由，且，确定出三角形OBC为等边三角形，进而求出度数，利用弧长公式求出弧AC的长即可．此题考查了切线的判定，以及弧长的计算，涉及的知识有：圆周角定理，外角性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
22. 根据BC是的直径，，，推出，即可推得．根据，，求出，再根据，求出，即可求出的长度是多少．此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．
23. 连接OC，如图，利用切线的性质得，再根据垂径定理得到，则OD垂中平分BC，所以，接着证明≌得到，然后根据切线的判定定理得到结论；设的半径为r，则，利用勾股定理得到，解得，再利用三角函数得到，则，接着计算出，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了不规则图形的面积的计算方法．
24. 由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据及BD的值，求出OD的值即可；连接OE，由，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；阴影部分的面积由三角形BOD的面积三角形ECO的面积扇形DOF的面积扇形EOG的面积，求出即可．此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
25. 结论：DE是的切线首先证明，都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；只要证明是等边三角形即可解决问题；求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．
26. 连接OC，先证明，进而得到，于是得到，进而证明DE是的切线；分别求出的面积和扇形OBC的面积，利用即可得到答案．本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解的关键是证明，解的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．