23.1 图形的旋转一点就通（知识回顾+夯实基础+提优特训+中考链接+答案）

23.1图形的旋转 一点就通
【知识回顾】
1.旋转的定义
把一个平面图形绕着_______某一点O转动一个_____,叫做图形的旋转,点O叫做_________,转动的角叫做_______.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的_______.
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离_____.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_______.
(3)旋转前、后的图形_____.
【夯实基础】
1、(打“√”或“×”)
（1.）汽车方向盘的转动就是旋转现象.( )
（2.）旋转角不能大于180°.( )
（3.）图形在旋转过程中,图形上一定不存在一个固定点.( )
（4.）在旋转过程中,只能用一个角表示旋转角的大小.( )
2、在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是( )
①三角形原来的位置; ②旋转中心; ③三角形的形状; ④旋转角.
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
3、如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C,若∠A=40°,∠B′=110°,则∠BCA′的度数是( )
A.110° B.80°
C.40° D.30°
4、如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 4
5、钟表的指针在不停地转动,从2时到6时,时针转动了 度.
6、如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将△ABP旋转后能与△CBQ重合.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转角是多少度?
(3)△BPQ是什么三角形?
7、如图所示,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,求DH的长.
8、如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C全等除外).
【提优特训】
1、如图,在△ABC中,∠CAB=75°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到
△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
2、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，DE＝1，把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接EE′，则线段EE′的长为( )
2题图
A．2 B．2 C．4 D．2
3、如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP＝3，则PP′的长度是( )
3题 图
A．3 B．3 C．5 D．4
4、如图，一次函数y＝－x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，则点D的坐标是__________．
5、如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________．
6、如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定的角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为　　　　.
7、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为________．
8、如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE′C的度数.
9、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D；
(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．
【中考链接】
1、(广州中考)如图,Rt△ABC的斜边AB=16,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′,则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D′的长度为 .
2、(南京中考)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α= °.
3、(仙桃中考)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角形OEF绕点O旋转.在旋转过程中,当AE=BF时,∠AOE的大小是__________.
【参考答案】
【夯实基础答案】
1.（1）√ （2）× （3）× （4）×
2.A 3.B 4.A 5.120
6.解：(1)旋转中心是点B.
(2)因为△ABC为等边三角形,当边AB旋转到边BC的位置时,正好转过了60°,所以旋转角的度数是60°.
(3)BP=BQ,而旋转角又等于60°,所以∠PBQ=60°,这样△BPQ就是一个等边三角形.
7.连接线段HC,如图所示,
由旋转的性质可以知道∠BCF=∠DCG=30°,∴∠FCD=60°,
∵∠F=∠D=90°,FC=DC,HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边,根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC,
∴∠FCH=∠DCH=30°,∴HC=2DH,
根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2,
即DH2+DC2=(2DH)2,∵DC=3,∴DH=.
8.由旋转性质,旋转角∠A1CA=α,△ABC≌△A1B1C.
∴∠A1=∠A,A1C=AC.
又∵AC=BC,∠A=∠CBA,∴∠A1=∠CBA,
又∵∠A1CF=∠BCD=α,A1C=BC,∴△A1FC≌△BDC.
【提优特训答案】
A
2.A [解析] ∵在正方形ABCD中，AB＝3，
点E在CD边上，DE＝1，∴EC＝2，BC＝3.
又∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE′，∴DE＝BE′＝1，
∴E′C＝BE′＋BC＝1＋3＝4.
又∵△EE′C是直角三角形，
∴EE′＝＝＝＝2 .故选A.
3．B [解析] ∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，
∴AP＝AP′，∠BAP＝∠CAP′.
∵∠BAC＝90°，∴∠PAP′＝90°，
故可得出△APP′是等腰直角三角形．
又∵AP＝3，∴PP′＝3 .
5
5. (36，0)
6. 1.6
7.3 [解析] ∵在等边三角形ABC中，∠B＝60°，AB＝6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴BD＝AB＝3，AD＝＝＝3 .
根据旋转的性质知∠EAC＝∠DAB＝30°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠EAC＋∠CAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3 .
故答案为3 .
9.解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，由ASA可证△BCF≌△BA1D
(2)四边形A1BCE是菱形，理由如下：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴∠A1＝∠A，∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∵∠C＝α，∴∠AED＝∠C，∴A1E∥BC，由(1)知△BCF≌△BA1D，∴∠C＝∠A1，∴∠A1＝∠AED＝α，∴A1B∥AC，∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形
【中考链接答案】
8
20
∵四边形ABCD和AB′C′D′均为矩形,∴∠BAD=∠B=∠D′=90°.
∵∠1=110°,∴∠2=110°,∴∠BAD′=70°,∴α=20°.
3. 15°或165°
提示：在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°;在正三角形OEF中, OF=OE,∠EOF=60°;∵AE=BF,∴△AOE≌△BOF,
∴∠AOE=∠BOF.
分情况讨论:当边EF在边AB左侧时,如图(1)所示,∠AOE= (∠AOB-∠EOF)=15°;当边EF在边AB右侧时,如图(2)所示,∠AOE=180°-15°=165°.
23.1图形的旋转 一点就通
【知识回顾】
1.旋转的定义
把一个平面图形绕着_______某一点O转动一个_____,叫做图形的旋转,点O叫做_________,转动的角叫做_______.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的_______.
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离_____.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_______.
(3)旋转前、后的图形_____.
【夯实基础】
1、(打“√”或“×”)
（1.）汽车方向盘的转动就是旋转现象.( )
（2.）旋转角不能大于180°.( )
（3.）图形在旋转过程中,图形上一定不存在一个固定点.( )
（4.）在旋转过程中,只能用一个角表示旋转角的大小.( )
2、在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是( )
①三角形原来的位置; ②旋转中心; ③三角形的形状; ④旋转角.
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
3、如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C,若∠A=40°,∠B′=110°,则∠BCA′的度数是( )
A.110° B.80°
C.40° D.30°
4、如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 4
5、钟表的指针在不停地转动,从2时到6时,时针转动了 度.
6、如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将△ABP旋转后能与△CBQ重合.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转角是多少度?
(3)△BPQ是什么三角形?
7、如图所示,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,求DH的长.
8、如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C全等除外).
【提优特训】
1、如图,在△ABC中,∠CAB=75°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到
△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
2、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，DE＝1，把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接EE′，则线段EE′的长为( )
2题图
A．2 B．2 C．4 D．2
3、如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP＝3，则PP′的长度是( )
3题 图
A．3 B．3 C．5 D．4
4、如图，一次函数y＝－x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，则点D的坐标是__________．
5、如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________．
6、如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定的角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为　　　　.
7、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为________．
8、如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE′C的度数.
9、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D；
(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．
【中考链接】
1、(广州中考)如图,Rt△ABC的斜边AB=16,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′,则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D′的长度为 .
2、(南京中考)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α= °.
3、(仙桃中考)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角形OEF绕点O旋转.在旋转过程中,当AE=BF时,∠AOE的大小是__________.
【参考答案】
【夯实基础答案】
1.（1）√ （2）× （3）× （4）×
2.A 3.B 4.A 5.120
6.解：(1)旋转中心是点B.
(2)因为△ABC为等边三角形,当边AB旋转到边BC的位置时,正好转过了60°,所以旋转角的度数是60°.
(3)BP=BQ,而旋转角又等于60°,所以∠PBQ=60°,这样△BPQ就是一个等边三角形.
7.连接线段HC,如图所示,
由旋转的性质可以知道∠BCF=∠DCG=30°,∴∠FCD=60°,
∵∠F=∠D=90°,FC=DC,HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边,根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC,
∴∠FCH=∠DCH=30°,∴HC=2DH,
根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2,
即DH2+DC2=(2DH)2,∵DC=3,∴DH=.
8.由旋转性质,旋转角∠A1CA=α,△ABC≌△A1B1C.
∴∠A1=∠A,A1C=AC.
又∵AC=BC,∠A=∠CBA,∴∠A1=∠CBA,
又∵∠A1CF=∠BCD=α,A1C=BC,∴△A1FC≌△BDC.
【提优特训答案】
A
2.A [解析] ∵在正方形ABCD中，AB＝3，
点E在CD边上，DE＝1，∴EC＝2，BC＝3.
又∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE′，∴DE＝BE′＝1，
∴E′C＝BE′＋BC＝1＋3＝4.
又∵△EE′C是直角三角形，
∴EE′＝＝＝＝2 .故选A.
3．B [解析] ∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，
∴AP＝AP′，∠BAP＝∠CAP′.
∵∠BAC＝90°，∴∠PAP′＝90°，
故可得出△APP′是等腰直角三角形．
又∵AP＝3，∴PP′＝3 .
5
5. (36，0)
6. 1.6
7.3 [解析] ∵在等边三角形ABC中，∠B＝60°，AB＝6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴BD＝AB＝3，AD＝＝＝3 .
根据旋转的性质知∠EAC＝∠DAB＝30°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠EAC＋∠CAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3 .
故答案为3 .
9.解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，由ASA可证△BCF≌△BA1D
(2)四边形A1BCE是菱形，理由如下：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴∠A1＝∠A，∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∵∠C＝α，∴∠AED＝∠C，∴A1E∥BC，由(1)知△BCF≌△BA1D，∴∠C＝∠A1，∴∠A1＝∠AED＝α，∴A1B∥AC，∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形
【中考链接答案】
8
20
∵四边形ABCD和AB′C′D′均为矩形,∴∠BAD=∠B=∠D′=90°.
∵∠1=110°,∴∠2=110°,∴∠BAD′=70°,∴α=20°.
3. 15°或165°
提示：在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°;在正三角形OEF中, OF=OE,∠EOF=60°;∵AE=BF,∴△AOE≌△BOF,
∴∠AOE=∠BOF.
分情况讨论:当边EF在边AB左侧时,如图(1)所示,∠AOE= (∠AOB-∠EOF)=15°;当边EF在边AB右侧时,如图(2)所示,∠AOE=180°-15°=165°.