2018年高中物理第三章万有引力定律万有引力理论的成就知识梳理学案教科版必修2

万有引力理论的成就
【学习目标】
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量．
3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法．
【要点梳理】
要点一、万有引力与重力
要点诠释：
地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力，如图所示，引力F的另一个分力才是物体的重力mg．
在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力(R为地球半径)．由公式可见，随着纬度的升高，向心力将减小，作为引力的另一个分量，重力则随纬度的升高而增大，在两极处r＝Rcos90°＝0，，所以在两极，引力等于重力．在赤道上，物体的重力、引力和向心力在一条直线上，方向相同，此时重力等于引力与向心力之差，即．此时重力最小．从图中还可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才指向地心．
(1)重力是由万有引力产生的，重力实际上是万有引力的一个分力，物体的重力随其纬度的增大而增大，并且除两极和赤道上外，重力并不指向地心．
(2)物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力，即．
要点二、天体质量计算的几种方法
要点诠释：
万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力．
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法．
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即，可求得地球的质量
．
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
．
可得地球的质量为．
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
，
．
以上两式消去r，解得
．
(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
，解得地球的质量为．
要点三、天体密度的计算
要点诠释：
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
由和，
得 ．
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
，
，
得 ．
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为
．
要点四、发现未知天体
要点诠释：
发现海王星
天王星的“出轨”现象，激发了法国青年天文学家勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣．勒维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料，并把这些资料跟自己理论计算的结果对比．亚当斯也不断到剑桥大学天文台去，他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料，这使他的理论计算能及时跟观察资料比较他们两人根据自己的计算结果，各自独立地得出结论：在天王星的附近，还有一颗新的行星！
1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”．这就是海王星．
凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分地显示了科学理论的威力．
要点五、解决天体运动问题的基本思路
要点诠释：
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的．根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系：
．
若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的质量．
此种方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量．
(2)若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有，所以．
其中是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金代换”．
【典型例题】
类型一、万有引力的计算
例1、已知地球的质量大约是M＝6.0×1024kg，地球的平均半径为R＝6370 km，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2．求：
(1)地球表面一质量为10 kg的物体受到的万有引力；
(2)该物体受到的重力；
(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．
【思路点拨】明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键。
【解析】(1)由万有引力定律得：，代入数据得：F＝98.6 N．
(2)该物体受到的重力为mg＝98N．
(3)比较结果万有引力比重力大．原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需向心力远小于它受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力．
【点评】重力是由万有引力产生的，它与万有引力能不能视为相等，关键要看题目的条件．
举一反三
【变式】要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是（ ）
A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的
B．两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的
C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
【答案】B
【解析】根据知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力减为原来的，故A错误；两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的 ，则万有引力减为原来的，故B正确；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 ，则万有引力变为原来的4倍，故C错误；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍，则则万有引力减为原来的，故D错误。
类型二、补偿法计算万有引力
例2、如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R．如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?
(1)从球的正中心挖去；
(2)从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
【思路点拨】所求万有引力可由均质实心球与m间的万有引力减去所挖去的小球与m间万有引力求得。
【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为
，．
(1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
．
(2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算．为此，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为
．
由于填补空心球而增加的引力为
，
所以，这时M′与m之间的引力为
，
当时，M′可以视为质点．这时，引力变为
．
即这时两种计算结果相同．
【点评】万有引力定律表达式只适用于计算质点间变力，在高中阶段常见的质点模型是质量分布均匀的球体，因而利用“割补法”构成质点模型，再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺失”球间的引力．
类型三、天体表面重力加速度问题
例3、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比:＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比:．
【思路点拨】本题是平抛运动与万有引力知识的综合题目。
【解析】(1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：，
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：
，所以．
(2)星球表面物体所受的重力等于其所受星球的万有引力，则有，
所以，可解得:＝1:80．
【点评】本题主要考查学生的类比迁移能力、对物理过程的分析能力以及运用所学知识处理问题的实践应用能力．把竖直上抛运动的规律迁移到星球上运用．
举一反三
【变式1】如果地球表面的重力加速度为g，物体在距地面3倍的地球半径时的重力加速度为g'。则二者加速度之比是　　 。
A．1：91　　 B．9：1　　 C．1：16　　 D．16：1
【答案】D
【解析】距地面的高度为3R，则距地心为4R，根据万有引力公式有：
解上述方程得
类型四、天体质量、密度的计算
例5、1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶然发现一个奇怪的放射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲讯号．贝尔和他的导师曾认为他们和外星人接上了头，后来大家认识到，事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”，“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定，这意味着脉冲星一定进行准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动．
(1)已知蟹状星云的中心星PSO53l是一颗脉冲星，其周期为0.331 s，PSO531的脉冲现象来自自转，设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，试估算PSO531的最小密度．
(2)如果PSO531的质量等于太阳的质量，该星的可能半径最大是多少?(太阳的质量是M＝2×1030 kg)
【思路点拨】本题中，脉冲星脉冲周期即为其自转周期，星体上质点随其高速自转的向心力是万有引力，星体不离散的条件是万有引力大于或等于向心力，这是关键信息．在此基础上可取星体表面一物体为研究对象，建立匀速圆周运动模型，列出方程，再与一些辅助方程联立即可求解．
【解析】脉冲星周期即为自转周期．脉冲星高速自转不瓦解的临界条件为：该星球表面的某物体m所受星体的万有引力恰等于向心力．
(1)设PSO531脉冲星的质量为M，半径为R，最小密度为ρ，体积为V，
则 ，
又 ，
而 ，
解得
＝1.3×1012 kg/m3．
(2)由 ，
得
＝7.16×105 m．
【点评】对于信息题，不少学生解题时往往大致看一下题目后，觉得这种题从没见过就丧失信心，自动放弃，不愿仔细阅读、认真分析，或者在没有明确题意的情况下，草率完成题目．其实这类题完全是“大帽子”吓人．帽子底下仍是同学们熟悉的老面孔．解答信息题的正确方法是：仔细阅读，明确题意，弄清原理，善于提取题中的有用信息．
举一反三
【变式1】一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量。
【答案】
【变式2】设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v、R和引力常量G表示为________．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约为________．
【答案】 1011
【解析】地球围绕太阳运动，而两者间的万有引力是其做匀速圆厨运动的向心力，则由，可得．设太阳的运动速率为v′，则v′＝7v．轨道半径r＝2×109 R，则，所以，又因为，故个．
类型五、双星问题
例6、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
【思路点拨】 双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有引力定律可以解得。
【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有
ω1＝ω2 ①
r1+r2＝r ②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
③
④
联立①②③④式解得
⑤
根据角速度与周期的关系知
⑥
联立③⑤⑥式解得

【点评】由于双星做匀速圆周运动的角速度相等，其轨道半径和线速度均与双星的质量成反比．
举一反三
【变式1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为，试求（用表示）
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T、和质量之间的关系式。
【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有，，
设A、B之间的距离为r,又，由上述各式得
由万有引力定律，有
令
比较可得
（2）由牛顿第二定律，有
又可见星A的轨道半径
综上可得
【变式2】所谓“双星”，就是太空中有两颗质量分别为M1和 M2的恒星，保持它们之间的距离不变，以它们连线上的某一位置为圆心，各自作匀速圆周运动, 如图所示．不计其它星球对它们的作用力。则 （ ）
A．它们运行的周期之比T1:T2＝M2:M1
B．它们的回转半径之比r1:r2==M2:M1
C．它们的线速度大小之比v1:v2=M2:M1
D．它们的向心加速度大小之比a1:a2=M2:M1
【答案】BCD
类型六、三星问题
例7、由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
A星体所受合力大小FA；
B星体所受合力大小FB；
C星体的轨道半径RC；
三颗星体做圆周运动的周期T。
【思路点拨】（1）（2）由万有引力率，分别求出单个的力，然后求出合力即可；（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；（4）选择一颗星体，根据万有引力提供向心力和联立可求得周期T
【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
方向如图，则合力大小为
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
方向如图，则合力大小为
。可得
（3）通过对B受力分析可知，由于，，合力的方向经过BC的的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在在中垂线AD的中点，故：
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由
可得
【总结升华】该题借助于三星模型考察万有引力定律，其中B、C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的，画出它们的受力图像，再结合图像和万有引力定律即可正确解答。