2018年高中物理第三章万有引力定律宇宙航行知识梳理学案教科版必修2

宇宙航行
【学习目标】
1.会推导第一宇宙速度
2.掌握地球（或天体）的卫星各物理量的关系
3.理解同步卫星的特点，了解三种宇宙速度
4.了解卫星的变轨问题
【要点梳理】
要点一、天体问题的处理方法
要点诠释：
（1）建立一种模型
天体的运动可抽象为一个质点绕另一个质点做匀速圆周运动的模型
（2）抓住两条思路
天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：
①利用在天体中心体表面或附近，万有引力近似等于重力
即（g为天体表面的重力加速度）
②利用万有引力提供向心力。
由此得到一个基本的方程，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。
要点二、人造卫星
要点诠释：
1．人造卫星
将物体以水平速度从某一高度抛出，当速度增加时，水平射程增大，速度增大到某一值时，物体就会绕地球做圆周运动，则此物体就成为地球的卫星，人造地球卫星的向心力是由地球对卫星的万有引力来充当的．
(1)人造卫星的分类：卫星主要有侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星、地球资源勘测卫星、科学研究卫星、预警卫星和测地卫星等种类．
(2)人造卫星的两个速度：①发射速度：将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度．②环绕速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度．
由于发射过程中要克服地球的引力做功，所以发射速度越大，卫星离地面越高，实际绕地球运行的速度越小．向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难得多．
2．卫星的轨道
卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道．
卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律．
卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必须是卫星圆轨道的圆心．卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度，如图所示．
要点三、宇宙速度
要点诠释：
1.第一宇宙速度（环绕速度）
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度，其大小为
说明：
（1）由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要转化为重力势能。
（2）第一宇宙速度的推导
根据万有引力提供向心力可得：
所以
若已知地球表面的重力加速度，则由万有引力和重力近似相等有
所以
2.第二宇宙速度（逃逸速度）
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去所必须的最小发射速度，其大小为
3.第三宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必须的最小发射速度，其大小为
要点四、同步卫星
要点诠释：
1.概念
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通讯卫星．
2.基本特征
(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．
(2)同步卫星的运行周期与地球自转周期相同．且T＝24 h．
(3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．
(4)要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方．不可能定点在我国某地上空．
(5)同步卫星高度固定小变
所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同．
由，知，由于T一定，所以r不变，而r＝R+h，h为离地面的高度，，又，代入数据T＝24h＝86400 s，g＝9.8 m/s2，R＝6400 km，得h＝3.6×104km．
也就是说，同步卫星必须定位于赤道的正上方，离地面的高度约为3.6×104 km．
(6)同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于
，
则
(7)三颗同步卫星作为通讯卫星，则可覆盖全球．(两极有部分盲区)
要点五、地球同步卫星与赤道上随地球做圆周运动的物体以及人造卫星的区别与联系
要点诠释：
（1）地球同步卫星与赤道上随地球做圆周运动的物体相当于同轴转动的物体，它们的角速度相同，周期相同，线速度关系遵循的关系；
（2）地球同步卫星与人造卫星同属于地球卫星，它们之间的关系遵循天体运动所需的向心力由万有引力提供，符合的公式是：
，r越大a越小； ， r越大v越小
，r越大越小； ，r越大T越大
要点六、卫星的稳定运行与变轨问题
要点诠释：
当卫星的速度突然增加时，，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由知，其运行速度要减小。
当卫星的速度突然减小时，，即万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做向心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，但卫星一旦进入新的轨道运行，由知，其运行速度要增加。
由此，要想使卫星进入更高一级轨道，就要加速；反之要减速。
【典型例题】
类型一、卫星运行的规律
例1、可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道（ ）
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆
C．与地球表面上赤道线是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，但卫星相对地球是运动的
【答案】C、D
【解析】人造地球卫星飞行时，由于地球对卫星的引力作为它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，即所有无动力的卫星其轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不能是地轴上(除地心外)的某一点，故A是不对的．
由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B也是不对的．
相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千公里，而低于或高于该高度的人造卫星也是可以在赤道平面内运动的，不过由于它们自转的周期和地球自转的周期不相同，就会相对于地面运动．
【总结升华】(1)人造地球卫星的轨道一般有三种：赤道轨道、极地轨道和一般轨道．共同特点是轨道中心必须和地心重合．
(2)没有跟某一经度重合的轨道，也没有跟某一纬度重合的轨道(除赤道平面)．事实上大约三万六千公里高空的赤道轨道上只有和地球自转方向相同的卫星才能称之为同步卫星，如果转向正好与地球自转方向相反，就不能称其为地球同步卫星了．
(3)发射到赤道轨道上的同步卫星为了节省动力，发射场所选地点应尽可能靠近赤道，且要借助地球自转的线速度．
【变式】火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分．火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的向心加速度较大
【答案】AC
类型二、第一宇宙速度的应用
例2、已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面的高度为h，求卫星的运行周期T．
【解析】(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面处物体的质量为m′，
在地球表面附近满足，
则GM＝R2g， ①
卫星受到的万有引力提供做圆周运动的向心力，则，②
将①式代入②式，得到．
(2)结合①式卫星受到的万有引力为，③
由万有引力提供向心力得， ④
③④两式联立解得．
【总结升华】第一宇宙速度是在天体表面发射卫星的最小发射速度，也是卫星近“地”最大绕行速度，不同天体的第一宇宙速度一般不同．求解第一宇宙速度常用或．在G未知时除非估算类问题，一般不能把G作为已知量，而通常用黄金代换或比较法消去G求解．
【变式】某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为（ ）

【答案】D
【思路点拨】以初速度竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速度减为0时，物体上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根据匀变速直线运动的速度位移关系可以求出该星球表面的重力加速度g，再根据万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．
【解析】在该星球表面以初速度v0竖直上抛出一物体，则该物体上升的最大高度为H．
由，得：，根据，而，得该星球的第一宇宙速度为：，故D正确，ABC错误；
类型三、同步卫星的规律
例3、用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加程度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是（ ）
A．等于0 B．等于 C．等于 D．以上结果均不对
【答案】B、C
【解析】根据万有引力定律，有，
又因为，所以，
地球对通信卫星的万有引力提供卫星的向心力，所以，．
又因，所以有，
因而．
【总结升华】所有地球同步卫星的周期都相同，为24 h，根据可知，所有同步卫星的轨道半径和线速度、角速度的大小都相同．
【变式】如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ωo，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行周期．
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】（1）（2）
例4、地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为；地球同步卫星所受的向心力为，向心加速度为，线速度为，角速度为，地球表面重力加速度为，第一宇宙速度为，假设三者质量相等，则（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】比较同步卫星和随地球自转的物体的时，要抓住二者的周期或角速度相同这一桥梁。
【答案】D
【解析】赤道上的物体随地球自转的向心力为万有引力在垂直地轴方向上的分力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故，，加速度：，选项A、B错误；
同步卫星和随地球自转的物体角速度相同，因此，又，故有，选项D正确；
线速度，因此，而，选项C错误。
类型四、卫星的变轨运动
例5、如图所示是嫦娥三号奔月过程中某阶段的运动示意图，嫦娥三号沿椭圆轨道Ⅰ运动到近月点处变轨进入圆轨道Ⅱ，嫦娥三号在圆轨道Ⅱ做圆周运动的轨道半径为，周期为，已知引力常量为，下列说法中正确的是（ ）
A．由题中（含图中）信息可求得月球的质量
B．由题中（含图中）信息可求得月球第一宇宙速度
C．嫦娥三号在处变轨时必须点火加速
D．嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时的加速度大于沿圆轨道Ⅱ运动到处时的加速度
【答案】A
【解析】A、万有引力提供向心力：，得：，既根据轨道半径为，周期为，万有引力常量为，计算出月球的质量，故A正确；
B、万有引力提供向心力：，得：，此处的r指的是月球的半径，而不是嫦娥三号运行的轨道半径，所以由于不知道月球半径，所以不能计算月球第一宇宙速度，故B错误；
C、椭圆轨道和圆轨道是不同的轨道，航天飞机不可能自主改变轨道，只有在减速后，做近心运动，才能进入圆轨道，故C错误；
D、嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时和沿圆轨道Ⅱ运动到处时，所受万有引力大小相等，所以加速度大小也相等，故D错误。
【总结升华】注意在求解月球的“第一宇宙速度时”， ，r指的是月球的半径，而不是嫦娥三号运行的轨道半径。
类型五、有关航天问题的分析
例6、我国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征-2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
（1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？
（2）远地点B距地面的高度h2为多少？
【解析】（1）设地球质量为M，飞船的质量为m
飞船在A点受到的地球引力为
地球表面的重力加速度
由牛顿第二定律得
（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期
由牛顿运动定律得
解得
例7、侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道上在日照条件下的地方全都摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R，地面上的重力加速度为g，地球自转周期为T．
【解析】侦察卫星环绕地球一周，通过有日照的赤道一次，在卫星一个周期时间(设为T1)内地球自转的角度为θ，只要θ角所对应的赤道弧长能被拍摄下来，则一天时间内，地面上赤道上在日照条件下的地方都能被拍摄下来．
设侦察卫星的周期为T1，地球对卫星的万有引力为卫星做圆周运动的向心力，卫星的轨道半径r＝R+h，根据牛顿第二定律，则
， ①
在地球表面的物体重力近似等于地球的万有引力，即
． ②
①②联立解得侦察卫星的周期为，已知地球自转周期为T，则卫星绕行一周，地球自转的角度为，
摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为θ角所对应的圆周孤长，应为
．
【总结升华】侦察卫星实际上是极地卫星，也被称为间谍卫星，它的轨道平面与赤道平面相垂直，所以该卫星可拍摄到地球上任何地点．