2018年高中物理第一章运动的描述匀变速直线运动规律知识梳理学案教科版必修1

匀变速直线运动规律
【学习目标】
1、掌握匀变速直线运动的速度公式和位移公式，并能运用。
2、掌握匀变速直线运动的三个重要结论及其应用。
3、掌握匀变速直线运动的重要特点及其应用。
【要点梳理】
知识点一：匀变速直线运动的速度与时间的关系
（1）匀变速直线运动的速度与时间的关系：
（2）推导：
①根据匀变速直线运动的速度—时间图象是一条倾斜的直线能够得到匀变速直线运动的速度时间关系：
②或者由变形即得到匀变速直线运动的速度与时间的关系式为：
（3）说明：
①此式反映出做匀变速直线运动的物体的瞬时速度v是t的一次函数。
②公式与一段运动过程相对应，式中涉及四个物理量，分别对应着该运动过程的初、末状态及其运动时间。
③、、均为矢量，应用公式计算时，须先规定正方向，凡与正方向相同者都取正值，与正方向相反者取负值。
通常取初速度方向为正方向，此时匀加速直线运动的加速度用表示，匀减速直线运动的加速度用表示。
④若，则：
知识点二：匀变速直线运动的位移与时间的关系
（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系为：
（2）推导：
我们知道对于匀速直线运动的位移，其数值上等于速度图线与时间轴之间围成的“长方形”的“面积”，这样速度一时间图线与时间轴所围成的“面积”就有了一定的物理意义，可以用来表示物体运动的“位移”。
对于变速直线运动，此种方法同样适用，运用无限取微逐渐逼近的“极限思想”也可利用速度一时间图线求其位移。如图所示匀变速直线运动在时间t内的位移
注意：速度图象与时间轴之间的“面积”只表示位移的大小。时间轴以上的面积，表示沿正方向的位移；时间轴以下的“面积”表示沿负方向的位移.
（3）说明：
①此式反映出做匀变速直线运动的物体的位移如何随时间而变化。
②公式与一段运动过程相对应，式中涉及四个物理量，分别对应着该运动过程的初、末状态及其运动时间。
③、、均为矢量，应用公式计算时，须先规定正方向，凡与正方向相同者都取正值，与正方向相反者取负值。
通常取初速度方向为正方向，此时匀加速直线运动的加速度用表示，匀减速直线运动的加速度用表示。
④若，则：
知识点三：匀变速直线运动的三个推论
（一）变速直线运动的速度位移关系：．
根据匀变速运动的基本公式
，
，
消去时间t，得．
即为匀变速直线运动的速度—位移关系．
要点诠释：
①式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用．
②公式中四个矢量、、a、x也要规定统一的正方向.
（二）匀变速直线运动的平均速度计算
做匀变速直线运动的物体，加速度均为，经初位置时的速度为，经末位置时的速度为，对所研究的一段时间而言
（1）在这段时间内的平均速度：
证明：
将代入
有：
可得：
说明：只适用于匀变速直线运动，其它运动不适用，但适用于一切运动。
（2）分成前一半时间和后一半时间，中间时刻的瞬时速度
证明：如图，设C点为从A到B所用时间一半时的物体的位置，则：
即：做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
（三）在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即
　　推证：设物体以初速v0、加速度做匀加速直线运动，自计时起时间T内的位移
． ①
在第2个时间T内的位移
． ②
即．
进一步推证可得
①
②．
③，，
知识点四：初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式
要点诠释：
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助．
设以t＝0开始计时，以T为时间单位，则
(1)1T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比为v1:v2:v3:…＝1:2:3:…．
可由vt＝at，直接导出
(2)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内的位移之比为：x1:x2:x3:xn＝1:3:5:…:(2n-1)．
推证：由位移公式得，
，
．
可见，x1 : x2 : x3 : … : xn＝1 : 3 : 5 : … : (2n-1)．
即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比．
(3)1T内、2T内、3T内、…、位移之比为：，
可由公式直接导出．
(4)通过连续相同的位移所用时间之比
．
推证：由知，
通过第二段相同位移所用时间
，
同理：，
，
则．
知识点五：纸带问题的分析方法
(1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x1、x2、x3…．
①若＝0，则物体做匀速直线运动．
②若，则物体做匀变速直线运动．
(2)“逐差法”求加速度，根据(为相邻两计数点的时间间隔)，有
，，，
然后取平均值，即
．
这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性．
要点诠释：①如果不用“逐差法”求，而用相邻的x值之差计算加速度，再求平均值可得：
．
比较可知，逐差法将纸带上x1到x6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x1和x6两个实验数据，实验结果只受x1和x6两个数据影响，算出a的偶然误差较大．
②其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用(x6+x5+x4)这一大段位移减去(x3+x2+x1)这一大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T)2而不是3T2．
(3)瞬间速度的求法
在匀变速直线运动中，物体在某段时间t内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻时的瞬时速度相同，即．所以，第n个计数点的瞬时速度为：．
(4)“图象法”求加速度，即由，求出多个点的速度，画出v-t图象，直线的斜率即为加速度．
【典型例题】
类型一、匀变速直线运动公式的灵活运用
例1、一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过这个路标时的速度为v2，求：
(1)列车的加速度a；
(2)列车中点经过此路标时的速度v；
(3)整列火车通过此路标所用的时间t．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度．其运动简图如图所示．
(1)由匀变速直线运动的规律得，则火车的加速度为．
(2)火车的前一半通过此路标时，有，
火车的后一半通过此路标时，有，
所以有，故．
(3)火车的平均速度，故所用时间．
总结升华：对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用可大大简化解题过程．
举一反三
【变式1】物体沿一直线运动，在t时间内通过的位移为x，它在中间位置x处的速度为v1，在中间时刻t时的速度为v2，则v1和v2的关系为(　　)
A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1>v2
C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1【答案】ABC
【解析】设物体的初速度为v0、末速度为vt，由
v－v＝v－v＝2a·.
所以路程中间位置的速度为
v1＝.①
物体做匀变速直线运动时中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，即v2＝②
第①式的平方减去第②式的平方得
v－v＝.
在匀变速或匀速直线运动的过程中，v－v一定为大于或等于零的数值，所以v1≥v2.
【变式2】某飞机着陆时的速度是216km/h，随后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s2。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？
【答案】900m
例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度．
【答案】，
【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同．
解法一：(基本公式法)
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：
．
．
将、、代入上式解得：，．
解法二：(用平均速度公式)
连续的两段时间t内的平均速度分别为：
，．
B点是AC段的中间时刻，则，，
．
得，，
．
解法三：(用法)
由，得．
再由，解得．
总结升华：(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力．
(2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式△x＝aT2求解，这种解法往往更简捷．
举一反三【变式1】汽车自O点由静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中5s时间内依次经过P、Q两根电线杆。已知P、Q相距50 m，车经过Q点时的速率为15 m/s，则
（1）汽车经过P时的速率是多少？
（2）汽车的加速度为多少？
（3）O、P两点间距离为多少？
思路点拨：根据题意已知匀变速直线运动的位移x和时间t，可确定初速v0与加速度a的关系，已知末速度v和时间t，可确定初速v0与加速度a的关系，联立两式问题即可求解。
解析：分析物理过程，画草图。
解法一：
根据有：
根据有：
联立两式解得
，
由得
所以
解法二：
若要求加速度，根据其定义式，只要知道两点速度及两点间的运动时间即可，题中已知两点位移和时间，那么就可知平均速度，而平均速度值与中间时刻的瞬时速度相等，于是可知从P点运动2.5s时刻的瞬时速度，用加速度定义式可求a。
PQ全程5s内的平均速度
PQ中间2.5s的瞬时速度
加速度
根据有：
解得
由得
所以
总结升华：(1)在解决运动学问题时，要认真分析物理过程，练习画过程草图确定已知量和未知量，关键是求加速度，然后确定解决方案，根据运动规律求解。(2) 匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，选择不同的公式所对应的解法也不同。对于具体问题要具体分析，方法运用恰当能使解题步骤简化，起到事半功倍之效。
【变式2】某物体做初速度为2m/s的匀加速直线运动，第4s内的位移是16m，求物体的加速度。
思路点拨：已知初速度和第4s内的位移，可以把第4s内的位移与前4s内的位移和前3s内的位移联系起来。
解析：分析物理过程，画草图。
解法一：
取物体运动的方向为正方向，设物体加速度的大小为a，其方向应与运动方向相同。
在0—3s时间内，物体的位移为：
在0—4s时间内，物体的位移为：
物体在第4s内的位移为：
解得：，加速度方向与运动方向相同
解法二：
已知第4s内的位移，可以求第4s内的平均速度，利用推论，可以求得在3.5秒末的速度，则根据公式可以求加速度。
第4s内的平均速度：
3.5秒末的速度：
加速度为：
总结升华：①一定要正确分析运动的过程，包括运动过程的初态、末态和运动时间； ②通常把第n秒内的位移与前n秒内和前n-1秒内的位移联系起来。③若已知时间和在这段时间内物体的位移，很快可得到这段时间内的平均速度，这时通常利用推论把平均速度转化为瞬时速度。
【变式3】一汽车做匀加速直线运动，先后经过A、B、C三点，AB＝1.6m，BC＝3.6m，由A到B、由B到C所用时间均为1s，求汽车的加速度和它经过A、B、C各点的速度。
解析：（1）汽车通过AB段的平均速度等于通过AB段中间时刻的瞬时速度：

通过BC段的平均速度等于通过BC段中间时刻的瞬时速度：
则汽车加速度
另解：利用推论也可求加速度，有：
（2）利用速度公式有：
总结升华：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同。对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，就优先考虑用求解。

类型二、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用例3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6 m/s，试求：(1)第4s末的速度；(2)运动后7s内的位移；(3)第5s内的位移．
【答案】（1）（2）（3） 5.4m
【解析】物体的初速度v0＝0，且加速度恒定，可用推论求解．
(1)因为v0＝0，所以，即，
故v4:v5＝4:5．
第4s末的速度．
(2)因为v0＝0，v5＝6m/s，则加速度，
所以7s内的位移．
(3)由
．
第5秒内的位移是5.4m．
举一反三【变式】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为x1，最后3s内的位移为x2，已知；，求斜面的总长．
【答案】 12.5m
【解析】由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s．
由题意知，，解得，．
由于连续相等时间内位移的比为1:3:5:…:(2n-1)，
故，可知，解得．
又因为，所以斜面总长：．
总结升华：切忌认为物体沿斜面运动了6s，本题中前3s的后一段时间与后3 s的前一段时间是重合的．
例4、一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端的站台前观察，第1节车厢通过他历时2s，全部车厢通过他历时8s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，求： （1）这列火车共有多少节车厢？　
（2）第9节车厢通过他所用时间为多少？【答案】 （1）16.（2）0.34s
【解析】（1）根据初速度为零的匀加速直线运动的物体，连续通过相等位移所用时间之比为：　　　　得　　　　
　　　　 所以，，故这列火车共有16节车厢　　（2）设第9节车厢通过他所用时间为
　 　　　。举一反三【变式1】一列火车从静止开始做匀加速直线运动，某观察者站在第一节车厢前端旁的站台上观察，他测得第一节车厢通过他历时10s，全部列车通过他历时30s，设每节车厢的长度相等，则这列火车共有几节车厢？
【答案】 9
【解析】解法一：
设每节车厢的长度为。根据匀变速直线运动的位移公式有：
两式联立解得n=9
即这列火车共有9节车厢。
解法二：
根据初速度为零的匀加速直线运动的推论：第1个T、第2个T、……、第n个T内的位移之比知：
第一个10s内有1节车厢通过，则第二个10s内有3节车厢通过，第三个10s内有5节车厢通过，
所以这列火车共有1+3+5=9节车厢。
【总结升华】：利用初速度为零做匀加速直线运动的规律解题，可使得问题变得简单，解起来快捷。
类型三、纸带问题的处理
例5、在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50 Hz．如图所示为小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点之间都有四个点未画出．按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个点，用刻度尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离如图所示．
(1)小车做什么运动?
(2)若小车做匀变速直线运动，那么当打第3个计数点时小车的速度为多少?小车的加速度为多少?
【答案】(1) 小车做匀减速直线运动 (2)
【解析】(1)T＝0.02s，相邻计数点的时间间隔t＝5T＝0.1s，设相邻计数点间的位移分别为，可得：，，，，，，x3-x2＝-1.51cm，x4-x3＝-1.50cm，x5-x4＝-1.51cm，在误差允许范围内，x2-x1＝x3-x2＝x4-x3＝x5-x4，所以小车做匀减速直线运动．
(2)．
加速度，
负号表示加速度方向与初速度方向相反．
【总结升华】用逐差法求加速度，碰到奇数个位移，如本题中只有x1至x3五个位移，就去掉中间的一个位移而求解．
举一反三【变式】某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了在不同拉力下的A、B、C、D、…等几种较为理想的纸带，并在纸带上每5个点取一个计数点，即相邻两计数点问的时间间隔为0.1s，将每条纸带上的计数点都记为0、1、2、3、4、5、…，如图所示甲、乙、丙三段纸带，分别是从三条不同纸带上撕下的．
(1)在甲、乙、丙三段纸带中，属于纸带A的是________．
(2)打A纸带时，物体的加速度大小是________m/s2．
【答案】(1)丙 (2)3.11
【解析】(1)由匀变速直线运动规律可知：

所以．
，
所以纸带丙的数据最接近，应和A是同一条纸带．
(2)．
例6、从斜面上某位置，每隔0.1 s释放一个小球，在连续释放几个后，对在斜面上的小球拍下照片，如图所示，测得sAB =15 cm，sBC =20 cm，试求
（1）小球的加速度.
（2）拍摄时B球的速度vB=?
（3）拍摄时sCD=?
（4）A球上面滚动的小球还有几个？
【答案】 （1）5 m/s2;（2）1.75 m/s;?（3）0.25 m;（4）2个
【解析】（1）由知小球的加速度

（2）B点的速度等于AC段的平均速度即

（3）由于相邻相等时间的位移差恒定即
所以
（4）设A点小球的速率为vA
因为
所以A球的运动时间，故A球的上方正在滚动的小球还有两个。
类型四、用匀变速运动规律分析两类匀减速运动
1．刹车类问题：即匀减速直线运动到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意先确定其实际运动时间．
2．双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正、负号．
3．逆向思维法：对于末速度为零的匀减速运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速运动．
例7、一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程中加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，后汽车通过的距离是多少？
【答案】40 m
【解析】设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．
v0＝72 km/h＝20 m/s，由v＝v0＋at0得
t0＝＝ s＝4 s
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经停止，最后1 s是静止的．
由x＝v0t＋at2知刹车后5 s内通过的距离
x＝v0t0＋at02＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
例8、汽车刹车前速度为20m/s，刹车获得的加速度大小为2m/s2，求：
（1）汽车刹车开始后20s内滑行的距离；
（2）静止前最后2.5s内汽车滑行的距离．
【答案】100m；6.25m
【解析】（1）汽车刹车速度减为零所需的时间．
则20s内的位移等于10s内的位移．
．
（2）根据逆向思维得，最后2.5s内的位移．
【总结升华】本题考查运动学中的刹车问题，是道易错题，注意汽车速度减为零后不再运动．
【变式】以10m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车刹车后第2s内的位移为6.25m
（刹车时间超过2s），则汽车刹车后6s内通过的位移是多大？
【答案】
【解析】设汽车刹车时的加速度为a，则有：
其中， ，，，代入数据解得
汽车速度减到零所用时间，即汽车在4s末停止后，剩余的2s处于静止状态，所以
刹车后6s内的位移与4s内的位移相同，即：。
例9、物体做竖直上抛运动，取g=10m/s2.若第1s内位移大小恰等于所能上升的最大高度的倍，求物体的初速度.
【答案】、或
【解析】常会有同学根据题意由基本规律列出形如的方程来求解，实质上方程左端的并不是题目中所说的“位移大小”，而只是“位移”，物理概念不清导致了错误的产生。
正确解法：由题意有
，
进而解得
，，
类型五、多运动过程的处理
例10、一辆长途客车正在以v0=20m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方x=33m处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措施．若从司机看见狗开始计时（t=0），长途客车的速度﹣时间图象如图乙所示．
（1）求长途客车司机从发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离；
（2）求长途客车制动时的加速度；
（3）若狗以v=4m/s的速度与长途客车同向且同时（t=0）奔跑，狗会不会被撞？
【答案】（1）长途客车司机从发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离为50m；
（2）长途客车制动时的加速度为﹣5m/s2；
（3）若狗以v=4m/s的速度与长途客车同向且同时（t=0）奔跑，狗会被撞．
【解析】（1）速度图象与时间轴围成的面积等于物体通过的位移：
（2）由题图乙得：
负号表示长途客车制动时的加速度方向与初速度方向相反
（3）
客车位移为
而狗通过的位移为

因为，所以狗会被撞．
【总结升华】熟练掌握速度图象的物理含义：图象的斜率等于物体的加速度，图象与时间轴
围成的面积等于物体通过的位移，这是解决此类题目的基本策略．
【变式1】跳伞运动员做低空跳伞表演，他从224m的高空离开飞机开始下落，最初未打开降落伞，自由下落一段距离打开降落伞,运动员以12.5m/s2的加速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员落地的速度不得超过5m/s（g=10m/s2）．求：运动员打开降落伞时，离地面的高度至少为多少？
【答案】99m
【变式2】某物体由静止开始做加速度为a1的匀加速直线运动，运动了t1时间后改为做加速度为a2的匀减速直线运动，经过t2时间后停下。则物体在全部时间内的平均速度为( )A．　　 　B．　　　　C．　　　　D．
【变式3】因测试需要，一辆汽车在某雷达测速区，沿平直路面从静止开始匀加速一段时间后，又接着做匀减速运动直到最后停止。下表中给出了雷达测出的各个时刻对应的汽车速度数值。　　　　求：（1）汽车匀加速和匀减速两阶段的加速度、分别是多少？　　 （2）汽车在该区域行驶的总位移x是多少？
【答案】（1）、（2）
【解析】：（1）由表数据得：
　　　，负号表示与车前进方向相反（2）由表可知匀加速运动的最大速度是
　　 匀加速运动的位移
匀减速运动的位移
总位移。