第4讲 有理数的加法
【知识扫描】
知识点一 有理数的加法分类
1. 同号两数相加，包括同为正和同为负，如：2＋1，(－3)＋(－4)
2. 异号两数相加，即一正一负，如：(＋8)＋(－5)
3. 一个数同0相加，包括正数与0，负数与0，0与0相加，如：1＋0，(－7)＋0，0＋0
知识点二 有理数加法法则
1. 加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。如(＋1)＋(＋2)＝＋（|＋1|＋|＋2|）＝＋3；(－3)＋(－6)＝－（|－3|＋|－6|）＝－9
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。如(－7)＋(＋2)＝－（|－7|－|＋2|）＝－5；(＋7)＋(－2)＝＋（|＋7|－|－2|）＝＋5
（3）互为相反数的两个数相加得0。如（＋3）＋（－3）＝0
（4）一个数同0相加，仍得这个数。如（－9）＋0＝－9
2. 运算步骤
（1）确定和的符号
（2）求和的绝对值，即确定两个数的绝对值的和或差。
知识点三 加法运算定律
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
使用运算定律的技巧：（1）正、负数分开加；
（2）互为相反数的两数先相加；
（3）和为整数的先相加；
（4）同分母的分数先相加；
（5）带分数拆开相加；
（6）小数与分数应化成统一形式后相加。
【典型例题】
考点一 运用有理数加法法则进行运算
【例1】计算下列各题
（1） （2）
【变式】计算下列各题
（1） （2）(－10.5)＋(－1.3)
考点二 运用加法运算定律进行简便运算
【例2】计算下列各题
（1） （2）(＋0.56)＋(－0.9)＋(＋0.44)＋(－8.1)
【变式】计算下列各题
（1）
（2）0.36＋(－7.4)＋0.3＋(－0.6)＋0.64
考点三 巧用“裂项”进行有理数的加法
【例3】（1）请观察下列算式：，，，……
则第10个算式为：__________________；
第n个算式为：____________________
（2）运用以上规律计算：
【变式】阅读下面文字：
对于，可以如下计算：
原式＝
＝
＝0＋
＝
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，请你计算：
考点四 有理数加法在实际生活中的应用
【例4】教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：＋5，－4，－8，＋10，＋3，－6，＋7，－11．
（1）将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？
（2）若汽车耗油量为0.2升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为6.20元/升，则小王共花费了多少元钱？
【变式】10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7。那么10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？
第4讲 有理数的加法（随堂练习）
1. 计算－3＋1的结果是（ ）
A．－2 B．－4 C．4 D．2
2. 温度由－4℃上升7℃是（ ）
A．3℃ B．－3℃ C．11℃ D．－11℃
3. 如果两个数的和是负数，那么这两个数（ ）
A．同是正数 B．同为负数
C．至少有一个为正数 D．至少有一个为负数
4. 绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）
A．0 B．7 C．14 D．28
5. 若|x|＝3，y＝－7，且x＞y，则x＋y的值是（ ）
A. B. C. －4或－10 D．－1
6. （1）(＋45)＋(－30)＝_________；（2）
7. 最小的正整数与最大的负整数的和为_________
8. 如果a＝－5，b＝－9，则a＋b＝_________，|a|＋|b|＝_________
9. 一只海豚从水面先潜入水下40米，然后又上升了23米，此时海豚离水面_______米。
10. 如果a＝4，b＝3，那么2a＋b的值是________
第4讲 有理数的加法（课后作业）
1. 计算1＋(－2)的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．3 D．－3
2. 一天早晨的气温是－21℃，中午的气温比早晨上升了14℃，中午的气温是（ ）
A．14℃ B．4℃ C．－7℃ D．－14℃
3. 如果两个数的和为负数，那么这两个数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．一正一负 D．至少一个为负数
4. 若两个非零有理数a，b，满足|a|＝a，|b|＝－b，a＋b＜0，则a，b的取值符合题意的是( )
A．a＝2，b＝－1 B．a＝－2，b＝1
C．a＝1，b＝－2 D．a＝－1，b＝－2
5. 在－50与49之间，所有整数的和是（ ）
A．－48 B．48 C．－49 D．49
6. 已知A地的海拔高度为－53米，而B地比A地高25米，则B地海拔高度为_____米
7. 绝对值不大于6的整数的和是________
8. |a|＝3，|b|＝1，且a，b同号，则a＋b＝________
9. 小明做这样一道题：“计算：|(－4)＋■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于9，那么“■”表示的数是________
10. 某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）1000，－1200，1100，－800，1400，该运动员共跑的路程为________米
11. 计算
（1）9＋(－17)＋21＋(－23) （2）
（3）
（4）
12. 王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作＋1，向下一楼记作－1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：＋6，－3，＋10，－8，＋12，－7，－10．
（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．
（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？
13. 10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7．
10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？
第4讲 有理数的加法
【知识扫描】
知识点一 有理数的加法分类
1. 同号两数相加，包括同为正和同为负，如：2＋1，(－3)＋(－4)
2. 异号两数相加，即一正一负，如：(＋8)＋(－5)
3. 一个数同0相加，包括正数与0，负数与0，0与0相加，如：1＋0，(－7)＋0，0＋0
知识点二 有理数加法法则
1. 加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。如(＋1)＋(＋2)＝＋（|＋1|＋|＋2|）＝＋3；(－3)＋(－6)＝－（|－3|＋|－6|）＝－9
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。如(－7)＋(＋2)＝－（|－7|－|＋2|）＝－5；(＋7)＋(－2)＝＋（|＋7|－|－2|）＝＋5
（3）互为相反数的两个数相加得0。如（＋3）＋（－3）＝0
（4）一个数同0相加，仍得这个数。如（－9）＋0＝－9
2. 运算步骤
（1）确定和的符号
（2）求和的绝对值，即确定两个数的绝对值的和或差。
知识点三 加法运算定律
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
使用运算定律的技巧：（1）正、负数分开加；
（2）互为相反数的两数先相加；
（3）和为整数的先相加；
（4）同分母的分数先相加；
（5）带分数拆开相加；
（6）小数与分数应化成统一形式后相加。
【典型例题】
考点一 运用有理数加法法则进行运算
【例1】计算下列各题
（1） （2）
解：原式＝ 解：原式＝
＝ ＝
【变式】计算下列各题
（1） （2）(－10.5)＋(－1.3)
解：原式＝ 解：原式＝－(10.5＋1.3)
＝ ＝－11.8
考点二 运用加法运算定律进行简便运算
【例2】计算下列各题
（1）
解：原式＝
＝(－1)＋(－2)
＝－3
（2）(＋0.56)＋(－0.9)＋(＋0.44)＋(－8.1)
解：原式＝(＋0.56)＋(＋0.44)＋(－0.9)＋(－8.1)
＝1＋(－9)
＝－8
【变式】计算下列各题
（1）
解：原式＝
＝(－2)＋(－20)
＝－22
（2）0.36＋(－7.4)＋0.3＋(－0.6)＋0.64
解：原式＝0.36＋0.64＋(－7.4)＋(－0.6)＋0.3
＝1＋(－8)＋0.3
＝－6.7
考点三 巧用“裂项”进行有理数的加法
【例3】（1）请观察下列算式：，，，……
则第10个算式为：__________________；
第n个算式为：____________________
（2）运用以上规律计算：
【解答】解：（1）第10个算式为：
第n个算式为：
（2）
＝
＝
＝
＝
【变式】阅读下面文字：
对于，可以如下计算：
原式＝
＝
＝0＋＝
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，请你计算：
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
考点四 有理数加法在实际生活中的应用
【例4】教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：＋5，－4，－8，＋10，＋3，－6，＋7，－11．
（1）将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？
（2）若汽车耗油量为0.2升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为6.20元/升，则小王共花费了多少元钱？
【解答】解：（1）＋5＋(－4)＋(－8)＋10＋3＋(－6)＋7＋(－11)＝－4
则距出发地西边4千米；
（2）汽车的总路程是：5＋4＋8＋10＋3＋6＋7＋11＝54千米，
则耗油是54×0.2＝10.8升，花费10.8×6.20＝66.96元，
答：小王距出发地西边4千米；耗油10.8升，花费66.96元．
【变式】10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7。那么10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？
【解答】解：(＋0.5)＋(＋0.3)＋0＋(－0.2)＋(－0.3)＋(＋1.1)＋(－0.7)＋(－0.2)＋(＋0.6)＋(＋0.7)
＝1.8（千克），
50×10＋1.8＝501.8（千克）．
答：10袋大米共超重1.8千克，总重量是501.8千克．
第4讲 有理数的加法（随堂练习）
1. 计算－3＋1的结果是（ ）
A．－2 B．－4 C．4 D．2
【解答】A
2. 温度由－4℃上升7℃是（ ）
A．3℃ B．－3℃ C．11℃ D．－11℃
【解答】温度由－4℃上升7℃是－4＋7＝3℃，故选：A．
3. 如果两个数的和是负数，那么这两个数（ ）
A．同是正数 B．同为负数
C．至少有一个为正数 D．至少有一个为负数
【解答】D
4. 绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）
A．0 B．7 C．14 D．28
【解答】解：绝对值大于2且小于5的所有整数是：－4，－3，3，4．
则－4＋(－3)＋3＋4＝0
故选：A
5. 若|x|＝3，y＝－7，且x＞y，则x＋y的值是（ ）
A. B. C. －4或－10 D．－1
【解答】解：根据题意得，
x＝3或x＝－3，
当x＝3时，x＋y＝3－7＝－4；
当x＝－3时，x＋y＝－3－7＝－10，
综上所述，x＋y＝－4或－10，．
故选：C．
6. （1）(＋45)＋(－30)＝_________；（2）
【解答】（1）15；（2）
7. 最小的正整数与最大的负整数的和为_________
【解答】解：∵最小的正整数为1，最大的负整数为－1，∴1＋(－1)＝0．
8. 如果a＝－5，b＝－9，则a＋b＝_________，|a|＋|b|＝_________
【解答】∵a＝－5，b＝－9，
∴a＋b＝－5＋(－9)＝－14，|a|＋|b|＝|－5|＋|－9|＝5＋9＝14
9. 一只海豚从水面先潜入水下40米，然后又上升了23米，此时海豚离水面_______米。
【解答】解：－40＋23＝－(40－23)＝－17，即海豚离水面17米．
10. 如果a＝4，b＝3，那么2a＋b的值是________
【解答】解：当a＝4，b＝3时，2a＋b＝8＋3＝11
第4讲 有理数的加法（课后作业）
1. 计算1＋(－2)的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．3 D．－3
【解答】A
2. 一天早晨的气温是－21℃，中午的气温比早晨上升了14℃，中午的气温是（ ）
A．14℃ B．4℃ C．－7℃ D．－14℃
【解答】解：中午的气温是：－21＋14＝－7℃．故选：C．
3. 如果两个数的和为负数，那么这两个数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．一正一负 D．至少一个为负数
【解答】D
4. 若两个非零有理数a，b，满足|a|＝a，|b|＝－b，a＋b＜0，则a，b的取值符合题意的是( )
A．a＝2，b＝－1 B．a＝－2，b＝1
C．a＝1，b＝－2 D．a＝－1，b＝－2
【解答】解：∵|a|＝a，|b|＝－b，a＋b＜0，
∴a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
在四个选项中只有C选项符合，
故选：C．
5. 在－50与49之间，所有整数的和是（ ）
A．－48 B．48 C．－49 D．49
【解答】解：在－50与49之间，所有整数是－49，－48，…，47，48，它们的和是－49＋(－48＋48)＋…＋(－1＋1)＋0＝－49．
故选：C．
6. 已知A地的海拔高度为－53米，而B地比A地高25米，则B地海拔高度为_______米
【解答】解：B地的海拔高度＝(－53)＋25＝－28（米）．
7. 绝对值不大于6的整数的和是________
【解答】解：绝对值不大于6的整数有：±6，±5，±4，±3，±2，±1，0．
根据互为相反数的两数的和为0．
可知它们的和为0．
8. |a|＝3，|b|＝1，且a，b同号，则a＋b＝________
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝1，且a，b同号，
∴a＝3，b＝1或a＝－3，b＝－1，
则a＋b＝4或－4，
9. 小明做这样一道题：“计算：|(－4)＋■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于9，那么“■”表示的数是________
【解答】解：设这个数为x，则
|(－4)＋■|＝9，
∴－4＋x＝－9或－4＋x＝9，
∴x＝－5或13．
10. 某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）1000，－1200，1100，－800，1400，该运动员共跑的路程为________米
【解答】解：各个数的绝对值的和：1000＋1200＋1100＋800＋1400＝5500千米，
则该运动员共跑的路程为5500米
11. 计算
（1）9＋(－17)＋21＋(－23) （2）
（3）
（4）
12. 王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作＋1，向下一楼记作－1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：＋6，－3，＋10，－8，＋12，－7，－10．
（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．
（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？
【解答】解：（1） (＋6)＋(－3)＋(＋10)＋(－8)＋(＋12)＋(－7)＋(－10)，
＝6－3＋10－8＋12－7－10，
＝28－28＝0，
∴王先生最后能回到出发点1楼；
（2）王先生走过的路程是
3×(|＋6|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|＋12|＋|－7|＋|－10|)，
＝3×(6＋3＋10＋8＋12＋7＋10)，
＝3×56＝168（m），
∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）
13. 10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7．
10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？
【解答】
解：(＋0.5)＋(＋0.3)＋0＋(－0.2)＋(－0.3)＋(＋1.1)＋(－0.7)＋(－0.2)＋(＋0.6)＋(＋0.7)
＝1.8（千克），
50×10＋1.8＝501.8（千克）．
答：10袋大米共超重1.8千克，总重量是501.8千克．
