1.1 认识三角形同步练习（第3课时）

1.1认识三角形（第3课时）
1.三角形的三条重要的线段
三角形的重要线段
定义
图形
表示法
三角形的中线
三角形中，连接一个顶点和它对边
的线段
A
B E C
AE是△ABC的边BC上的中线；
BE= =
三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角
之间的线段
A
1 2
B M C
AM是△ABC中∠BAC的平分线；
∠1= =
三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，
之间的线段
A
B D C
AD是△ABC的边BC上的高线；
AD⊥BC于点D；
∠ADB= =
2.三角形的重心
三角形三条 的交点。
典例精析·拓新知
知识点一 三角形的三条重要线段的画法及表示
【典例 1】如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号表示：
（1）∠ABC的平分线。 A
（2）AC边上的中线。
（3）AC边上的高。 B C
学霸提醒
三条重要线段在三角形的位置
中线，角平分线，都在三角形的内部，均交与一点。
2.高：（1）锐角三角形：三条高都在三角形内部
（2）直角三角形：一条在内部，两条为直角边，交点为直角顶点。
（3）钝角三角形：一条在内部，两条在外部，三条高没有交点，但是三条高所在直线交于三角形外一点。
【变式训练】如图，以下是三角形的角平分线、中线、高线的画法，其中错误的有（ ）个。
A E M L
D
B C F Q G J K
A.0 B.1 C.2 D.3
知识点二 三角形三条重要线段的应用
【典例 2】如图，已知AD，AE分别是△ABC的中线和高，AB=13cm，AC=5 cm。 A
△ABD和△ACD的周长相差多少？
△ABD和△ACD的面积有什么样的关系？说出你的理由。
B E D C
【规范解答】 （1）因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD（三角形中线的定义）
所以△ABD与△ACD的周长之差是(AB+AD+BD)-(AD+AC+CD)=AB+AD+BD-AD-AC-CD=AB-AC=13-5=8（厘米）。 （三角形周长的定义）
（2）△ABD和△ACD的面积相等。
理由如下：因为AD是△ABC的中线，所以BD=BC，DC=BC，（三角形中线的定义）
又因为S△ABD=BD·AE=·BC?AE，S△ACD=DC·AE=·BC·AE。
所以S△ABD=S△ACD。（三角形的面积公式）
【变式训练】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的和为13 cm，求AC的长。 A

C D B
达标训练?夯基础
知识点一 三角形的三条重要线段的画法及表示
1.下列语句正确的是（ ）
A.三角形的三条高都在三角形内部
B.三角形的三条主线交于一点
C.三角形的中线是一条直线
D.三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
3.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的中线、角平分线、高，那么下列结论错误的是（ ）
C
D E F
AD=DB B、∠ACE=∠ECB C、∠AFC = ∠BFC = 90o D、∠ACF = ∠BCF
知识点二 三角形三条重要线段的应用
（2018·威海国际中学期中）如图所示是一块三角形的草坪，现要从A点修一条小路AD，使小路AD两边草坪的面积一样多，则AD为△ABC的（ ） A

B C
高 B、中线 C、角平分线 D、不能确定
如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，已知S△ABE =7cm2 ,则△ABC的面积是（ ）
A
A.18cm2 B .28cm2 C.36cm2 D.45cm2
E
B D C A
3.如图，已知△ABC。
（1）画△ABC的角平分线AD。
（2）过点D画△ABD的高DE，过点D画△ACD的高DF。 B C
（3）量出DE，DF的长度，你有怎样的发现？用语言表达表达出来。
纠错：
在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求△ABC各边长。
解：如图，因为BD为△ABC的中线，所以AD=CD。 A
设AD=CD=X，则AB=2X，所以X+2X=12，解得X=4.
又因为BC+X=15，则BC=11.
则此时△ABC的三边长为：AB=AC=8，BC=11. B C
【错因】
考题变式·提能力
（长沙中考）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A A A
D D
B C D B C B C B C
D
母题变式
【变式一】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A C B B
E E
B C A B A E C A C E
【变式二】如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12.
（1）求△ABC的面积。
（2）求BC的长。
参考答案及解析
新知识记
1.中点
2.EC 1/2BC 顶点与交点
2. ∠2 1/2∠BAC 顶点和垂足
3. ∠ADC 90o
2.中线
典例精析·拓新知
【典例 1】【变式训练】D
【典例 2】【变式训练】解：因为AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，CD=BD。
因为△ADC的周长 - △ABD的周长 = 5 cm。所以AC – AB = 5 cm。
又因为AB+AC = 13 cm，所以AC = 9 cm。即AC的长度是9 cm。
达标训练·夯基础 A
知识点一 1.B 2.B 3.D
知识点二 1.B 2.B E F
3.解：（1）△ABC的角平分线AD如图所示。
（2）△ABD的高DE，△ACD的高DF如图所示。 B D C
（3）可得DE=DF，结论：角平分线上的点到角的两边距离相等。
纠错：
题目中没有明确说明哪一部分的周长为12cm，应分两种情况讨论，漏掉其中一种情况。
考题变式·提能力
【母题变式】[变式一]D
[变式二]解：（1）因为CE=9，AB=12，所以△ABC的面积=×12×9=54.
（2）△ABC的面积=BC·AD=54，即BC·10=54，解得BC=。