第5章 平面直角坐标系
5.1 物体位置的确定
【基础巩固】
1．教室里的座位摆放整齐，如果1排1号用(1，1)表示，那么、(4，5)表示的意思是_______，(5，4)表示的意思
是_______．
2．如图，若用(3，2)表示点B的位置，则点A、C的位置可分别用________、_______表示；将图中的△ABC向右平移5格，再向上平移3格得△A'B'C，则点A'、B'、C'的位置分别是________、_______、_______．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在⊙P上．
(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)点P的坐标是_______．
4．如图是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1，0)，安化县城所在地用坐标表示为（－3，－1），那么南县县城所在地用坐标表示为_______．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点(0，1)且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点(0，2)且平行于x轴的直线l2的一个交点；…，按照这样的规律进行下去，点An的坐标为_______．
【拓展提优】
6．如图，点O表示为(0，0)，点A表示为(2，－1)．
(1)写出图中点C、D、E、F的表示方法；
(2)在图中标出点B(－2，－3)，M(4，－1)和N(－5，2)．
7．如图是南京市地图的一部分，根据该图回答问题：
(1)若小明家位于A2区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆的位置分别在哪个区域？
(2)某路公交车从小明家门口车站出发，途经A2区、A3区、B2区、B1区、C1区、C2区、D2区、D1区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线．
8．如图，点A用(2，3)表示，点B用(7，5)表示，如果用(2，3)→(3，3)→(4，3)→(5，3)→(6，3)→(7，3)→(7，4)→(7，5)表示一只蚂蚁从点A到B的一种走法，且从点A到B只能向上走和向右走，请表示出另外一些不同的走法（写出3种即可）．这些走法的路程相等吗？
9．如图(1)，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，若y关于x的函数图像如图(2)所示，则当x＝9时，点R应运动到( )．
A．N处 B．P处
C．Q处 D．M处
10．如图，一个机器人从点O出发，向正东方向走3m到达点A1，再向正北方向走6m到达点A2，再向正西方向走9m到达点A3，再向正南方向走12m到达点A4，再向正东方向走15 m到达点A5．按如此规律下去，当机器人走到点A6时，离点O的距离是_______m．
11．如图，某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．
12．将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在射线_______上．
13．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1 cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．
(1)第一次到达点G时移动了_______cm；
(2)当微型机器人移动了2012 cm时，它停在点_______．
14．一质点P从距原点1个单位的点M处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为( )．
A． B．
C． D．
参考答案
1．4排5号 5排4号
2．(1，1) (2，4) (6，4) (8，5) (7，7)
3．(1)略 (2)(6，6) 4．(2，4)
5．（，n）
6． (1)C（－3，－2） D(－2，3) E(3，3) F(－4，1) (2)略
7．(1)光明中学在D1区，市民广场在C2区，购物中心在C3区，电视台在B4区，体育馆在D4区． (2)略
8．①(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)→(6，4)→(7，4)→(7，5)
②(2，3)→(2，4)→(3，4)→(3，5)→(4，5)→(5，5)→(6，5)→(7，5)
③(2，3)→(2，4)→(2，5)→(3，5)→(4，5)→(5，5)→(6，5)→(7，5)
这些走法的路程相等．
9．C 10．15
11．略 12．AB 13．7 E 14．D
5.2 平面直角坐标系
第1课时
【基础巩固】
1．在平面内，两条互相_______且有公共原点的数轴组成_______，水平的数轴叫做_______轴或_______，垂直的数轴叫做_______轴或纵轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的_______．
2．点P的横坐标是1，纵坐标比横坐标小2，则点P的坐标是_______．
3．点P(－6，5)到x轴的距离是_______，到y轴的距离是_______，到原点的距离是_______．
4．如图，点A的坐标是_______，点B的坐标是_______，点N的坐标是_______，点_______与点_______的横坐标相同．
5．如图，在直角坐标系中，矩形ABOC的长为3，宽为2，则顶点A的坐标是_______，BC的长等于_______．
6．如图，在矩形ABCD中，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．若BC＝6，AB＝3，写出矩形4个顶点的坐标．
【拓展提优】
7．已知点P在第三象限，它的横坐标与纵坐标的差为2，则点P的坐标是_______．（写出符合条件的一个点即可）
8．x轴上的点的特点是_______；y轴上的点的特点是_______．
9．若点A(4，1－2m)在x轴上，则m＝_______．
10．已知x，y为实数，且P(x，y)的坐标满足x2＋y2＝0，则点P必在_______．
11．若点（，）在第三象限，则m的取值范围是________．
12．在第一象限内，到x轴距离为4，到y轴距离为7的点的坐标是_______；在第四象限内，到x轴距离为5，到y轴距离为2的点的坐标是_______；在第二象限内，到x轴距离为a（a>0），到y轴距离为b(b>0)的点的坐标是_______．
13．在x轴上到原点距离为3的点的坐标为_______；在x轴上到点（－2，0）距离为5个单位的点的坐标是_______；在x轴上到点（－，0）距离为4.5个单位的点的坐标是_______．
14．如图，ABCD是平行四边形，AD＝4，AB＝5，点A的坐标为（－2，0），求点B、C、D的坐标．
15．在平面直角坐标系中画出下列各点：A（－4，3），B(－1，3)，C(2，3)，D(3，3)，并观察你画的各点，发现了什么规律？
16．已知点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，则点P的坐标是_______．（写出符合条件的一个点即可）
17．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2013次，点P依次落在点P1、P2、P3、…、P2013的位置，则点P2013的横坐标为_______．
18．如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋的坐标是_______．
19．已知三角形的三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：
方法1：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高．
方法2：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．
方法3：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．
现给出三点坐标：A(－1，4)，B(2，2)，C(4，－1)，请你选择一种方法计算△ABC的面积，你的答案是S△ABC＝_______．
20．已知在平行四边形ABCD中，点A在坐标原点，点D在第二象限的角平分线上，点B在x轴上，AB＝8，AD＝，求点B、C、D的坐标．
21．在平面直角坐标系中，已知点P(2，－3)，则点P在( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
22．如图，点P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有( )．
A．P1、P2、P3 B．P1、P2
C．P1、P3 D．P1
23．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（－2，3），以点O为圆心，OP长为半径画弧，交x轴的负半轴子点A，则点A的横坐标介于( )．
A．－4和－3之间 B．3和4之间
C．－5和－4之间 D．4和5之间
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝2，则点B的坐标是_______．
25．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是_______；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m＝_______．（用含n的代数式表示）
参考答案
1．垂直 直角坐标系 x 横轴 y 原点
2．（1，－1）3．5 6
4．(－2，3) (4，0) (0，3) M A
5． (－3，2)
6．A(－3，3) B(－3，0) C(3，0) D(3，3)
7．(－2，－4)（答案不唯一）
8．纵坐标为0 横坐标为0
9． 10．原点
11．－12．(7，4) （2，－5） (－b，a)
13，(3，0)或（－3，0） (3，0)或（－7，0） (3，0)或（－6，0）
14．B(3，0)，C(5，)，D(0，)
15．由于A，B，C，D四点的纵坐标都是3，因此这四个点都在过(0，3)且平行于x轴的一条直线上，这条直线上任意一点的纵坐标都等于3．规律：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．
16．形如（a，1－a）且a<0，如（－，）
17．2013 18．（－3，－7） 19．
20．B(8，0)，C(5，3)，D(－3，3)或B(－8，0)，C(－11，3)，D(－3，3)
21．D 22．D 23．A
24．（2，） 25．3或4 6n－3
5.2 平面直角坐标系
第2课时
【基础巩固】
1．如图，下列说法正确的是( )．
A．点A与点D的横坐标相同
B．点A与点B的横坐标相同
C．点B与点C的纵坐标相同
D．点C与点D的纵坐标相同
2．下列与（－1，5）相连所得的直线与y轴平行的点为( )．
A．（1，－5） B．(－1，2)
C．(4，－5) D．(2，5)
3．在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于y轴的对称点在( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在平面直角坐标系中点P(－2，3)关于x轴的对称点在第_______象限．
5．如果点A(3，b)与B（a，－2）关于原点对称，那么a＝_______，b＝_______．
6．在直角坐标系中，点P(2，－3)向左平移3个单位长度后的坐标为_______．
7．在直角坐标系中，点Q(－1，－2）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后的坐标为_______．
8．以点P(0，－1)为圆心，3为半径画圆，分别交y轴的正半轴，负半轴于点A、B，则点A坐标为_______，点B坐标为_______．
【拓展提优】
9．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(5，0)，点Q的坐标为(0，3)，把线段PQ向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为_______，点Q1的坐标为_______．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A'，则平移后点B的对应点B'的坐标为_______．
11．点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135°到点B，那么点B的坐标是_______．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
(1)由图观察易知，A(0，2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)，C(－2，5)关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：B'_______，C'_______；
归纳与发现：
(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为_______．（不必证明）
13．已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )．
14．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2013个点的横坐标为_______．
15．如图，在直角坐标系中，图(1)中的图案“A”经过变换分别成为图(2)至图(6)中的相应图案（虚线对应于原图案）．试写出图(2)至图(6)中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化，对应点的坐标之间有什么关系．
16．点P（－2，3）关于x轴对称点的坐标是( )．
A．(－3，2) B．（2，－3）
C．(－2，－3) D．(2，3)
17．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A1的坐标是( )．
A．(6，1) B．(0，1)
C．(0，－3) D．(6，－3)
18．已知点P（－3，1），则点P关于y轴的对称点的坐标是_______，点P关于原点O的对称点的坐标是_______．
19．如图，点A、B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a），(b，3)，则a＋b＝_______．
参考答案
1．C 2．B 3．B
4．三 5．－3 2
6．(－1，－3) 7．(0，1)
8．A(0，2) B(0，－4)
9．(9，2) (4，5)
10．（－2，1） 11．(－1，－1)
12．(1)图略 (3，5) （5，－2） (2)（b，a）
13．A
14．45
15．图(1)中各顶点的坐标为(0，0)，(2，4)，(4，0)；图(2)中是(0，0)，(4，4)，(8，0)，横坐标为原来的两倍，纵坐标不变；图(3)中为(3，0)，(5，4)与(7，0)，纵坐标不变，横坐标都加3；图(4)各顶点为(0，0)，（2，－4），(4，0)，顶点横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数；图(5)各顶点为(0，0)，(2，8)，(4，0)，横坐标不变，纵坐标扩大为原来的两倍；图(6)各顶点为(0，0)，(4，8)，(8，0)，横、纵坐标都为原来的两倍，
16．C 17．B
18．(3．1)，（3，－1） 19．2
5.2 平面直角坐标系
第3课时
【基础巩固】
1．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是( )．
A．(1，7)，(－2，2)，(3，4)
B．(1，7)，(－2，2)，(4，3)
C．(1，7)，(2，2)，(3，4)
D．(1，7)，（2，－2），(3，3)
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（－1，6）．若点C与点A关于y轴对称，则点B与点C之间的距离为_______．
3．通过平移把点A（1，－3）移到点A1(3，0)，按同样的平移方式把点P(2，3)移到P1，则点P1的坐标是_______．
4．将点A(4，0)绕着原点顺时针方向旋转45°角得到点B，则点B的坐标是_______．
5．如图是某市区部分简图，建立恰当的平面直角坐标系，分别写出图中各个地方的坐标．
【拓展提优】
6．如图是边长为2的等边三角形ABC，请你建立适当的平面直角坐标系，并写出点A、B、C的坐标．
7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时钟旋转90°所得的△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
(4)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
8．(1)在平面直角坐标系中，将点A(3，4)向右平移5个单位到点A1，再将点A1绕坐标原点顺时针旋转90°到点A2，直接写出点A1、A2的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，将第二象限内的点B(a，b)向右平移m个单位到第一象限点B1，再将点B1绕坐标原点顺时针旋转90°到点B2，直接写出点B1、B2的坐标；
(3)在平面直角坐标系中．将点P(c，d)沿水平方向平移n个单位到点P1，再将点P1绕坐标原点顺时针旋转90°到点P2，直接写出点P2的坐标．
9．如图，在一次文物考古工作中发现的一张破旧的地图上，有两个标志点A(－2，1)，B（－2，－1）被找到，但标志主要建筑的点C(3，4)已破损，请你利用所学知识帮助考古学家找到图中点C的位置．
10．如图，△AOB为正三角形，点A、B的坐标分别为(1，a)，(b，0)，求a，b的值及△AOB的面积．
11．已知线段AB平行于纵轴，B(1，－1)，A(1，1)，若点B固定，点A绕点B旋转使线段AB与横轴平行，则平行后的点A、B的坐标分别是什么？
12．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，－1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为_______．
13．如图，平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中点C、D的坐标分别为(1，0)和(2，0)．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，过点(45，2)的是点_______．
14．操作与探究：
(1)对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P'．点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别为A'、B'．如图(1)，若点A表示的数是－3，则点A'表示的数是_______；若点B'表示的数是2，则点B表示的数是_______；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'与点E重合，则点E表示的数是_______；
(2)如图(2)，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0，n>0)，得到正方形A'B'C D'及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为A'、B'．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，求点F的坐标．
参考答案
1．A 2．3 3．(4，6)
4．（4，－4） 5．略
6．答案不唯一 7．略
8．(1)点A1的坐标为(8，4)，A2的坐标为(4，－8)；
(2)点B1的坐标为(a＋m，b)，B2的坐标为(b，－a－m)；
(3) P2的坐标为(d，－c－n)或(d，－c＋n)．
9．连接AB，作AB的中垂线作为x轴，交AB于E，把线段AB的一半作为一个单位，从E向右取两个单位长度定为O，即为坐标原点，过点O作x轴的垂线作为y轴，在新的坐标系中找到(3，4)点即为C点．
10．△AOB的面积＝，a＝，b＝2．
11．B(1，－1)，当点A在点B左侧时，
A(－1，－1)；当点A在点B右侧时，A(3，－1)．
12．(2，1006) 13．B
14．(1)0 3
(2)点F的坐标为(1，4)．
