2018年秋新课堂高中数学人教A版必修五习题：章末综合测评 1 解三角形

章末综合测评(一)　解三角形
满分：150分　时间：120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A．0个　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．无数个
A　[由正弦定理得＝，
所以sin B＝＝>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]
2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　)
A．90° B．120°
C．135° D．150°
B　[设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝(　　)
A.或 B.
C. D.
C　[由＝，得sin C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.]
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝(　　)
A．± B.
C．－ D.
A　[因为＝，所以＝，
解得sin B＝.
因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.]
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
B　[∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k(k>0)，
则解得
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)
A. B．1＋
C. D．2
B　[∵S△ABC＝acsin B，∴ac＝6.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos 30°＝4b2－12－6，
∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.]
7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
D　[由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，
∵即
∴k>.]
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
B　[由已知可得＝－，
即cos A＝，b＝ccos A.
法一：由余弦定理得cos A＝，则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A.
在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，
从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A，
即sin Acos C＝0.在△ABC中，sin A≠0，
所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．]
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)
A．2 B．8
C. D.
C　[∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.]
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
B　[∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°.
由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.]
11．如图1-6，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为(　　)
图1-6
A.小时 B．1小时
C.小时 D．2小时
B　[在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．]
图1-7
12．如图1-7，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　)
A. B.
C. D.
D　[设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝.
又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝.
∴sin C＝·sin A＝·＝.]
二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________.
a2＋b2∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b214．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
　[由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.]
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________.
2　(，)　[设A＝θ?B＝2θ.
由正弦定理得＝，
∴＝1?＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°，
故30°<θ<45°?∴AC＝2cos θ∈(，)．]
16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cos C，则＋＝________.
4　[∵＋＝6cos C，
∴＝6·，
∴2a2＋2b2－2c2＝c2，
又＋＝＋＝＝＝＝＝＝＝4.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
[解]　(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，
故cos B＝，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
[解]　(1)∵cos B＝>0，且0∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，
∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝
.
19．(本小题满分12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
[解]　(1)∵cos A＝2cos2－1，
∴2cos2＝cos A＋1.
又2cos2＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0，
∴cos A＝－，∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)．
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
[解] 如图所示，
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得
cos β＝
＝＝－，
∴sin β＝.
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋×＝
.
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(千米)．
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋2cos C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值.
[解]　(1)∵cos 2C＋2cos C＋2＝0，
∴2cos2C＋2cos C＋1＝0，即(cos C＋1)2＝0，
∴cos C＝－.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝a，即sin C＝sin A，
∴sin A＝sin C＝.
∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，
∴absin C＝sin Asin B，
∴sin C＝，由正弦定理得
2sin C＝，解得c＝1.
22．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋cos A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
[解]　(1)依题意得2sin＝2，
即sin＝1，
∵0∴A＝.
(2)参考方案：选择①②.
由正弦定理＝，得b＝＝2.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
∴S△ABC＝absin C＝×2×2×＝＋1.