2018年秋新课堂高中数学人教A版必修五习题：专题强化训练 1 解三角形
文档属性
| 名称 | 2018年秋新课堂高中数学人教A版必修五习题：专题强化训练 1 解三角形 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 44.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-09 00:00:00 | ||
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文档简介
专题强化训练(一) 解三角形
(建议用时：45分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12 B.
C．28 D．6
D [由余弦定理得cos A＝＝＝，所以sin A＝，则S△ABC＝bcsin A＝×3×8×＝6.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A. B.
C．1 D.
D [由正弦定理可得＝＝＝.]
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于( )
A. B．－
C．± D．±
C [∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±＝±.]
4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A．3 m B. m
C．2 m D. m
D [在△ABC中，S＝AB×BCsin B，
∴＝×x×3×sin 30°，∴x＝.
由余弦定理，
得AC＝
＝＝(m)．]
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )
A. B．3
C. D．7
A [∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝.]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________.
等边三角形 [由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，△ABC为等边三角形．]
7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为________．
a＝7，b＝5，c＝3 [由题意知a边最大，sin A＝，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．
∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.]
8．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.
[由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
＝－2bccos A＋2bc.
又S＝bcsin A，∴bcsin A＝2bc－2bccos A.
∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.
∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.
∴cos A＝1(舍去)或cos A＝.]
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)因为0所以sin A＝＝，
又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋
sinC，
所以cos C＝sin C，tan C＝.
(2)由tan C＝得sin C＝，cos C＝，于是sin B＝cos C＝.
由a＝及正弦定理＝得c＝，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×××＝.
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C·(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
[解] (1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
[冲A挑战练]
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B [∵bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝＝a＝asin A，
∴sin A＝1.
∵A∈(0，π)，
∴A＝，即△ABC是直角三角形．]
2．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1
B [∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.]
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
[因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.]
4．如图1-5，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
图1-5
60 [根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)．]
5．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
[解] (1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，
即sin2A＋sin2 B－sin2C＝－sin Asin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cos C＝＝＝－，
又∵0(2)由正弦定理得＝＝＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋
＝2sin＋.
∵0∴∴2<2sin＋≤2＋，
∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．
(建议用时：45分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12 B.
C．28 D．6
D [由余弦定理得cos A＝＝＝，所以sin A＝，则S△ABC＝bcsin A＝×3×8×＝6.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A. B.
C．1 D.
D [由正弦定理可得＝＝＝.]
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于( )
A. B．－
C．± D．±
C [∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±＝±.]
4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A．3 m B. m
C．2 m D. m
D [在△ABC中，S＝AB×BCsin B，
∴＝×x×3×sin 30°，∴x＝.
由余弦定理，
得AC＝
＝＝(m)．]
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )
A. B．3
C. D．7
A [∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝.]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________.
等边三角形 [由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，△ABC为等边三角形．]
7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为________．
a＝7，b＝5，c＝3 [由题意知a边最大，sin A＝，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．
∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.]
8．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.
[由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
＝－2bccos A＋2bc.
又S＝bcsin A，∴bcsin A＝2bc－2bccos A.
∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.
∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.
∴cos A＝1(舍去)或cos A＝.]
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)因为0
又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋
sinC，
所以cos C＝sin C，tan C＝.
(2)由tan C＝得sin C＝，cos C＝，于是sin B＝cos C＝.
由a＝及正弦定理＝得c＝，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×××＝.
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C·(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
[解] (1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
[冲A挑战练]
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B [∵bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝＝a＝asin A，
∴sin A＝1.
∵A∈(0，π)，
∴A＝，即△ABC是直角三角形．]
2．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1
B [∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.]
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
[因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.]
4．如图1-5，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
图1-5
60 [根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)．]
5．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
[解] (1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，
即sin2A＋sin2 B－sin2C＝－sin Asin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cos C＝＝＝－，
又∵0
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋
＝2sin＋.
∵0
∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．