2018年秋新课堂高中数学人教A版必修五习题：专题强化训练 3 不等式

专题强化训练(三)　不等式
(建议用时：45分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－或a>1　　　　 B．－C．－D　[a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，解得－2．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C　[<成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．]
3．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
A　[原不等式可化为或，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.]
4．已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则x－y的取值范围是(　　)
A．[－2，－1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[1,2]
C　[题中的不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线x－y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时x－y取得最小值，最小值是x－y＝0－1＝－1；当平移到经过该平面区域内的点(2,0)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时x－y取得最大值，最大值是x－y＝2－0＝2.因此x－y的取值范围是[－1,2]，选C.]
5．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．2 B.
C．4 D．8
C　[由题意知3a×3b＝()2，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，且a＝b＝时取等号，所以最小值为4，选C.]
二、填空题
6．函数y＝2－x－(x>0)的值域为________.
(－∞，－2]　[当x>0时，y＝2－≤2－2＝－2.当且仅当x＝，即x＝2时取等号．]
7．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k<3，则k的取值范围为________．
(0,1)　[由题意得＋1＋k<3，即(＋2)·(－1)<0，且k>0，因此k的取值范围是(0,1)．]
8．若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为________.
7　[根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y＝－x，当直线y＝－x＋过点A时，目标函数取得最大值．由可得A(1,2)，代入可得z＝1＋3×2＝7.
]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋，解不等式f(x)－f(x－1)>2x－1.
[解]　由题意可得
x2＋－(x－1)2－>2x－1，
化简得<0，
即x(x－1)<0，
解得0所以原不等式的解集为{x|010．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥36.
[证明]　∵(x＋y＋z)＝14＋＋＋＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36，
∴＋＋≥36.
当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．
[冲A挑战练]
1．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，当＋取最小值时，实数对(a，b)是(　　)
A．(5,10) B．(6,6)
C．(10,5) D．(7,2)
A　[＋＝··30
＝(4a＋b)
＝
≥＝.
当且仅当
即时取等号．]
2．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是(　　)
A. B．2
C．3 D．4
D　[画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
]
3．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
　[要满足f(x)＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，只需
即
解得－4．已知向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，m>0，n>0，若a∥b，则＋的最小值是________．
3＋2　[向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当n＝m时等号成立，故＋的最小值是3＋2.]
5．已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围.
[解]　(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，
∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∵对一切x>2，均有不等式≥m成立，
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．