12.3 角的平分线的性质同步课时作业
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12.3 角的平分线的性质同步课时作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则( )
A． ∠1>∠2 B． ∠1＝∠2 C． ∠1<∠2 D． 不能确定
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=（ ）
A． 4 B． 10 C． 8 D． 不能确定
4．如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=( )
A． 130° B． 150° C． 100° D． 140°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
6．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是( )
A． DE＝DF B． BD＝FD C． ∠1＝∠2 D． AB＝AC
7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A． 30° B． 35° C． 45° D． 60°
8．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A． 6 B． 2 C． 3 D．
二、填空题
9．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到_________________的点，在这个角的平分线上．
10．如图，已知点P是角平分线上的一点，，，M是OP的中点，，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为______cm．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
12．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是________；
13．随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有_______处.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝________．
15．如图，于E，于F，若，，则下列结论：；平分；；中正确的是_____．
三、解答题
16．如图所示，已知 △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到AB，BC，CA的距离相等．
17．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长?请说明理由．
19．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程。现有两条高速公路和A．?B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置。
20．如图所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD＝CD．
（1）求证：D在∠BAC的平分线上；
（2）若将条件：BD＝CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗?试说明理由．
21．如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD交BE于点O.
(1)若OC=OB,求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若点O在∠BAC的平分线上,求证:OC=OB.
参考答案
1．B
【解析】试题分析：根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故选B．
2．A
【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB，根据△ABD的面积和AB的长度得出DE=3，根据角平分线的性质可得：CD=DE=3，故选A．
3．B
【解析】∵AD是角平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵S△ADC=AC?DC=×3×DC=6，∴DC=DE=4，
∴S△ABD=AB?DE=×5×4=10．
故选B.
点睛：本题关键是角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
4．B
【解析】∵DB⊥AE，DC⊥AF，DB=DC，
∴∠GAD=∠BAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠GAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故选B.
5．C
【解析】分析：
过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，这样结合“角平分线的性质”和已知条件求出DE的长度即可.
详解：
如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故选C.
点睛：作出如图所示的辅助线，熟知：“垂线段最短”和“角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答本题的关键.
6．C
【解析】分析：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．
详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故选C．
点睛：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．
7．B
【解析】【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
8．C
【解析】【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】如图，过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3，
故选C．
【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
9．角两边的距离相等
【解析】
【分析】
根据教材中对角平分线性质定理的逆定理的描述内容进行填空即可.
【详解】
根据教材中知识可得：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．
故答案为：角两边的距离相等
【点睛】
本题考核知识点：角平分线性质定理的逆定理.解题关键点：熟记角平分线性质定理的逆定理.
10．4
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案．
【详解】
是角平分线上的一点，，
，
，M是OP的中点，，
，
，
点C是OB上一个动点，
的最小值为P到OB距离，
的最小值，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
11．15
【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=?AC?DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
12．10
【解析】分析：由题中条件可得Rt△ACD≌Rt△AED，进而得出AC=AE，把△BDE的边长通过等量转化即可得出结论．
详解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．
故答案为：10．
点睛：本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．
13．4
【解析】分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
详解：
如图所示，加油站站的地址有四处． 故选：D．
点睛：考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
14．108°
【解析】试题解析：如图，连接OB、OC，
∵，AO为∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
在△OCE中,
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据图形表示出AE、AF，再整理即可得到AC-AB=2BE．
【详解】
在和中，，
≌，
，故正确；
又，，
平分，故正确；
在和中，，
≌，
，
，
，
即，故正确；
由垂线段最短可得，故错误，
综上所述，正确的是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
16．证明见解析
【解析】
【分析】
如图作PE，PF，PM分别垂直三边AB，BC，CA，根据角平分线的性质可得PE=PF，PF=PG，所以PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等．
【详解】
证明：如图，过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，
∵BP平分∠ABC，
∴PE＝PF，
同理PF＝PG，
∴PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等．
17．证明见解析.
【解析】分析：根据角平分线的性质得出PE=PF，结合OP=OP得出Rt△OPE和Rt△OPF全等，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，从而得出答案．
详解：证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，
在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，
∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及中垂线的性质，属于基础题型．根据题意得出OC是线段EF的中垂线是解决这个问题的关键．
18．能，理由见解析.
【解析】
【分析】
如图作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DC=DE，进而证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到AC=AE，再利用相等线段之间的替换即可得证.
【详解】
能．如图，过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．
理由：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋EB＝BD＋DC＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，在判定三角形全等时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
角平分线的性质逆定理：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
19．见解析
【解析】【分析】求作角平分线和线段AB的垂直平分线的交点即可.
【详解】解：如图所示，
【点睛】本题考核知识点：作角平分线和线段垂直平分线.解题关键点：掌握各种基本作图方法.
20．（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先通过“角角边”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得到DE=DF，再根据角平分线的性质得出证明；
（2）根据角平分线的性质得到DE=DF，再通过“角边角”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得到BD=CD.
【详解】
（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵（对顶角相等），
∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），
∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（2）解：成立．理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），
∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）．
21．见解析
【解析】
【分析】
①连接AO．通过全等三角形的判定定理ASA证明△CEO≌△BDO，然后根据全等三角形的对应边相等知OC=OB；
②由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．
【详解】
证明：（1）连接AO．
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CEB=∠BDO=90°；
又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等），
∴∠C=∠B（等角的余角相等）；
∴在△CEO和△BDO中，
∴△CEO≌△BDO（ASA），
∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），
∴点O在∠BAC的平分线上；
（2）∵点O在∠BAC的平分线上,
?∴OE=OD.?又∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠OEC=∠ODB=90°.
在△OEC和△ODB中,
?∴△OEC≌△ODB(ASA),
∴OC=OD.
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则( )
A． ∠1>∠2 B． ∠1＝∠2 C． ∠1<∠2 D． 不能确定
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=（ ）
A． 4 B． 10 C． 8 D． 不能确定
4．如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=( )
A． 130° B． 150° C． 100° D． 140°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
6．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是( )
A． DE＝DF B． BD＝FD C． ∠1＝∠2 D． AB＝AC
7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A． 30° B． 35° C． 45° D． 60°
8．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A． 6 B． 2 C． 3 D．
二、填空题
9．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到_________________的点，在这个角的平分线上．
10．如图，已知点P是角平分线上的一点，，，M是OP的中点，，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为______cm．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
12．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是________；
13．随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有_______处.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝________．
15．如图，于E，于F，若，，则下列结论：；平分；；中正确的是_____．
三、解答题
16．如图所示，已知 △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到AB，BC，CA的距离相等．
17．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长?请说明理由．
19．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程。现有两条高速公路和A．?B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置。
20．如图所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD＝CD．
（1）求证：D在∠BAC的平分线上；
（2）若将条件：BD＝CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗?试说明理由．
21．如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD交BE于点O.
(1)若OC=OB,求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若点O在∠BAC的平分线上,求证:OC=OB.
参考答案
1．B
【解析】试题分析：根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故选B．
2．A
【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB，根据△ABD的面积和AB的长度得出DE=3，根据角平分线的性质可得：CD=DE=3，故选A．
3．B
【解析】∵AD是角平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵S△ADC=AC?DC=×3×DC=6，∴DC=DE=4，
∴S△ABD=AB?DE=×5×4=10．
故选B.
点睛：本题关键是角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
4．B
【解析】∵DB⊥AE，DC⊥AF，DB=DC，
∴∠GAD=∠BAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠GAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故选B.
5．C
【解析】分析：
过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，这样结合“角平分线的性质”和已知条件求出DE的长度即可.
详解：
如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故选C.
点睛：作出如图所示的辅助线，熟知：“垂线段最短”和“角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答本题的关键.
6．C
【解析】分析：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．
详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故选C．
点睛：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．
7．B
【解析】【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
8．C
【解析】【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】如图，过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3，
故选C．
【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
9．角两边的距离相等
【解析】
【分析】
根据教材中对角平分线性质定理的逆定理的描述内容进行填空即可.
【详解】
根据教材中知识可得：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．
故答案为：角两边的距离相等
【点睛】
本题考核知识点：角平分线性质定理的逆定理.解题关键点：熟记角平分线性质定理的逆定理.
10．4
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案．
【详解】
是角平分线上的一点，，
，
，M是OP的中点，，
，
，
点C是OB上一个动点，
的最小值为P到OB距离，
的最小值，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
11．15
【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=?AC?DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
12．10
【解析】分析：由题中条件可得Rt△ACD≌Rt△AED，进而得出AC=AE，把△BDE的边长通过等量转化即可得出结论．
详解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．
故答案为：10．
点睛：本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．
13．4
【解析】分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
详解：
如图所示，加油站站的地址有四处． 故选：D．
点睛：考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
14．108°
【解析】试题解析：如图，连接OB、OC，
∵，AO为∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
在△OCE中,
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据图形表示出AE、AF，再整理即可得到AC-AB=2BE．
【详解】
在和中，，
≌，
，故正确；
又，，
平分，故正确；
在和中，，
≌，
，
，
，
即，故正确；
由垂线段最短可得，故错误，
综上所述，正确的是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
16．证明见解析
【解析】
【分析】
如图作PE，PF，PM分别垂直三边AB，BC，CA，根据角平分线的性质可得PE=PF，PF=PG，所以PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等．
【详解】
证明：如图，过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，
∵BP平分∠ABC，
∴PE＝PF，
同理PF＝PG，
∴PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等．
17．证明见解析.
【解析】分析：根据角平分线的性质得出PE=PF，结合OP=OP得出Rt△OPE和Rt△OPF全等，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，从而得出答案．
详解：证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，
在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，
∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及中垂线的性质，属于基础题型．根据题意得出OC是线段EF的中垂线是解决这个问题的关键．
18．能，理由见解析.
【解析】
【分析】
如图作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DC=DE，进而证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到AC=AE，再利用相等线段之间的替换即可得证.
【详解】
能．如图，过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．
理由：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋EB＝BD＋DC＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，在判定三角形全等时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；
角平分线的性质逆定理：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
19．见解析
【解析】【分析】求作角平分线和线段AB的垂直平分线的交点即可.
【详解】解：如图所示，
【点睛】本题考核知识点：作角平分线和线段垂直平分线.解题关键点：掌握各种基本作图方法.
20．（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先通过“角角边”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得到DE=DF，再根据角平分线的性质得出证明；
（2）根据角平分线的性质得到DE=DF，再通过“角边角”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得到BD=CD.
【详解】
（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵（对顶角相等），
∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），
∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（2）解：成立．理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），
∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）．
21．见解析
【解析】
【分析】
①连接AO．通过全等三角形的判定定理ASA证明△CEO≌△BDO，然后根据全等三角形的对应边相等知OC=OB；
②由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．
【详解】
证明：（1）连接AO．
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CEB=∠BDO=90°；
又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等），
∴∠C=∠B（等角的余角相等）；
∴在△CEO和△BDO中，
∴△CEO≌△BDO（ASA），
∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），
∴点O在∠BAC的平分线上；
（2）∵点O在∠BAC的平分线上,
?∴OE=OD.?又∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠OEC=∠ODB=90°.
在△OEC和△ODB中,
?∴△OEC≌△ODB(ASA),
∴OC=OD.
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．