2018年秋新课堂高中数学人教A版选修1-1练习：专题强化训练2

专题强化训练(二)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为 (　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
C　[依题意，得|F1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．故选C.]
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 (　　)
A.＋＝1　　 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
B　[椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.]
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e＝(　　)
A.　　B．2　　　C.　　D．3
A　[由题意知－×＝－1，即＝1，
∴e2＝1＋＝2，即e＝.]
4．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　[双曲线的渐近线方程为y＝±x，则直线y＝与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点．]
5．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．0或1
A　[由题意，得>2，所以m2＋n2<4，则－2二、填空题
6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．
x2＝4y　[由题意知e＝1，则＝1，从而2p＝4.抛物线方程为x2＝4y.]
7．椭圆的两个焦点为F1，F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
　[由题意知|F1A|＝|F2A|＝a，|F1F2|＝2c.由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos 120°.
即3a2＝4c2，所以e2＝＝.
所以e＝.]
8．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________．
2x－y－15＝0　[设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
则
②－①整理得
＝，又x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝2，即弦所在的直线的斜率为2.
故弦所在的直线方程为2x－y－15＝0.]
三、解答题
9．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程．
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围.
[解]　(1)依题意可设椭圆方程为
＋y2＝1(a>1)，
则右焦点F(，0)，
由题设，知＝3，
解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点P为弦MN的中点，由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即m2<3k2＋1，①
所以xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1，②
把②代入①得2m>m2，解得0由②得k2＝>0，解得m>，
故所求m的取值范围是.
10．已知椭圆C经过点A，两个焦点为(－1，0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
[解]　(1)由题意，c＝1，设椭圆的方程为＋＝1.
因为A在椭圆上，所以＋＝1，
解得b2＝3或b2＝－(舍去)．
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，
代入＋＝1，
得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4－12＝0，
设E(xE，yE)，F(xF，yF)，
所以xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得
xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.
[能力提升练]
1．已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A.若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
B　[如图，延长AF交l2于A1，则易得|OA|＝|OA1|.在△OAA1中，F为AA1的中点，而BF∥OA，所以B为OA1的中点．
又AB⊥OA1，于是△OAA1中边OA1上的高线与中线重合，从而△OAA1为等边三角形，所以边OA即直线l1与x轴的夹角为30°，所以e＝＝.]
2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
2　[如图所示，双曲线－y2＝1的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，
所以|F1F2|＝4.
双曲线－y2＝1的右准线方程为x＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
由得P.同理可得Q.
∴|PQ|＝，
∴S四边形F1PF2Q＝·|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.]
3．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为________.
－＝1　[法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．又点(3，2)在双曲线上，故－＝1.又a2＋b2＝16＋4＝20，得a2＝12，b2＝8，则双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设双曲线的标准方程为－＝1(－44．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
2　[设点P(x0，y0)，则点P到准线x＝－的距离为x0＋，由抛物线的定义，得x0＋＝4，所以x0＝3，则|y0|＝2，故△POF的面积为××2＝2.]
5．已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
[解]　(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)由题意知|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，.
此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由
得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，
当且仅当m＝±时，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值为2.