2018年秋新课堂高中数学人教A版选修1-1练习：专题强化训练3

专题强化训练(三)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
1．一物体作直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝－2t2＋8t，则这一物体在t＝1 s时的加速度为 (　　)
A．4 m/s2　　　　　 B．－4 m/s2
C．6 m/s2 D．－6 m/s2
B　[由导数的概念可求得速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v(t)＝－4t＋8，它在t＝1时的导数就是这一物体在t＝1时的加速度a，所以a＝v′(1)，又v′(t)＝－4，所以a＝－4.]
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)在R上 (　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．是常函数 D．既不是增函数也不是减函数
A　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3b＝4(a2－3b)．因为a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数．]
3．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　)

A．0,1，－1 B．
C．－ D．，－
B　[f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝.
令f′(x)＝0得x＝或x＝－(舍去)，
当x>时，f′(x)>0，当0所以当x＝时，f(x)取得极小值，从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．]
4．如果函数f(x)的图象如图3-2所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
图3-2
A　[由函数f(x)的图象知，函数f(x)的增减情况为增，减，增，减，对应f′(x)的正负情况为正，负，正，负．故选A.]
5．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 (　　)
A．24 cm3 B．72 cm3
C．144 cm3 D．288 cm3
C　[设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.
则y＝(10－2x)(16－2x)x
＝4x3－52x2＋160x,0∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
1　[∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]
7．函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
2　[∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.]
8．若函数f(x)＝(mx－1)ex在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__________.
[1，＋∞)　[f′(x)＝mex＋(mx－1)ex＝(mx＋m－1)ex，
由题意知，f′(x)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立．
也就是mx＋m－1≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
当m≤0时显然不成立，
当m>0时，令g(x)＝mx＋m－1，
只需g(0)≥0，得m≥1.
即实数m的取值范围为[1，＋∞)．
三、解答题
9．已知函数g(x)＝1－.
(1)求g(x)的单调区间；
(2)当[解]　(1)因为g(x)＝1－，
所以g′(x)＝－＝.
令g′(x)>0，得x>1；
令g′(x)<0，得0所以g(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．
(2)证明：由(1)知g(x)＝1－在(0,1)上单调递减，
所以当g(y)，
即1－>1－，
所以<，即<.
10．如图3-3，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r(r>0)，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD＝2x，梯形面积为S.
图3-3
(1)求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
[解]　(1)依题意，设AB的中点为O，以O为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，
设C的坐标为(x，y)，则x，y满足方程＋＝1(y>0)，
解得y＝2(0所以S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)，其定义域为(0，r)．
(2)由(1)可得S＝.
记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f′(x)＝0，得x＝.
当00；当所以f是f(x)的最大值．
因此，当x＝时，S也取得最大值，最大值为＝r2，
即等腰梯形的面积S的最大值为r2.
[能力提升练]
1．函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)
D　[∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]
2．已知函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝(　　)
A.　 　 　B. 　 　 　C.　 　 　D.
C　[f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝0(舍去)．当1≤x<3时，f′(x)<0，当30，故x＝3为极小值点，也是最小值点．∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b，∴，解得，∴a＋b＝.]
3．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为__________．
y＝－　[由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.]
4．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是__________．
　[由题意可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)>0，得函数f(x)的单调增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调减区间为.由于函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<5．已知函数f(x)＝aln x(a>0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点A(2，f(2))处的切线斜率为2，求实数a的值；
(2)当x>0时，求证：f(x)≥a；
(3)若在区间(1，e)上，>1恒成立，求实数a的取值范围.
[解]　(1)∵f′(x)＝，∴f′(2)＝＝2，∴a＝4.
(2)证明：令g(x)＝f(x)－a，则g(x)＝aln x－1＋，
g′(x)＝a.
令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，
令g′(x)<0，即a<0，解得x<1，又x>0，∴0∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(x)的最小值为g(1)＝0，∴f(x)≥a.
(3)令h(x)＝aln x＋1－x，则h′(x)＝－1，
令h′(x)>0，解得xa.
当a≥e时，h(x)在(1，e)上是增函数，∴h(x)>h(1)＝0；
当1∴只需h(e)≥0，即a≥e－1；
当a≤1时，h(x)在(1，e)上单调递减，则只需h(e)≥0，
又h(e)＝a＋1－e<0，∴此时a不存在．
综上，实数a的取值范围为[e－1，＋∞)．