2018年秋新课堂高中数学人教A版选修1-2练习：章末综合测评1

章末综合测评(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面是2×2列联表．
y1
y2
总计
x1
33
21
54
x2
a
13
46
总计
b
34
则表中a，b处的值应为(　　)

A．33,66　　　　　　 B．25,50
C．32,67 D．43,56
A　[由2×2列联表知a＋13＝46，所以a＝33，又b＝a＋33，所以b＝33＋33＝66.]
2．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是(　　)
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
D　[用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．]
3．独立检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)＝0.010表示的意义是(　　)

A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y有关系的概率为99%
D　[∵P(K2≥6.635)＝0.010，故有99%的把握认为变量X与变量Y有关系，故选D.]
4．已知对某散点图作拟合曲线及其对应的相关指数R2，如下表所示：
拟合曲线
直线
指数曲线
抛物线
二次曲线
y与x回归方程
＝19.8x－463.7
＝e0.27x－3.84
＝0.367x2－202
＝
相关指数R2
0.746
0.996
0.902
0.002
则这组数据模型的回归方程的最好选择应是(　　)
A.＝19.8x－463.7
B.＝e0.27x－3.84
C.＝0.367x2－202
D.＝
B　[∵R2越大，拟合效果越好，∴应选择＝e0.27x－3.84.]
5．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过(　　)
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A．点(2,3) B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)
C　[∵＝＝，
＝＝4.
∴y关于x的回归直线必过点(2.5,4)．]
6．若两个变量的残差平方和是325，(yi－i)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为(　　)

A．64.8% B．60%
C．35.2% D．40%
C　[相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量的贡献率为×100%＝×100%≈35.2%，故选C.]
7．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图1所示的等高条形图，则(　　)
图1
A．两个分类变量关系较弱
B．两个分类变量无关系
C．两个分类变量关系较强
D．无法判断
C　[从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y2的比重，所以两个分类变量的关系较强．]
8．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有(　　)
A．b与r的符号相同
B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反
D．a与r的符号相反
A　[因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.]
9．如图2所示，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是(　　)
图2
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
B　[由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．]
10．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝(　　)
A．58.5 B．46.5
C．60 D．75
A　[∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.]
11．根据下面的列联表得到如下四个判断：
①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
700
60
760
未患肝病
200
32
232
总计
900
92
992
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　[由列联表中数据可求得随机变量K2的观测值k＝≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确，故选C.]
12．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由上表可得线性回归方程＝x＋中的＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为(　　)
A．51个 B．50个
C．49个 D．48个
C　[∵＝＝17.5，
＝＝39.
∴由39＝－4×17.5＋得＝109.
∴当x＝15时，＝－4×15＋109＝49(个)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知下表所示数据的线性回归方程为＝4x＋242，则实数a＝________.
X
2
3
4
5
6
Y
251
254
257
a
266
262　[由题意，得＝4，＝(1 028＋a)，代入＝4x＋242，可得(1 028＋a)＝4×4＋242，解得a＝262.]
14．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.
0.05　[k≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05.]
15．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观测值．计算知iyi＝1 849，则y对x的回归方程是________．
y＝11.47＋2.62x　[由已知数据计算可得＝2.62，＝11.47，所以回归方程是＝11.47＋2.62x.]
16．对于回归分析，下列说法中正确的有________．(填序号)
①在回归分析中，若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定；②相关系数可以是正的也可以是负的；③回归分析中，如果R2＝1，说明变量x与y之间是完全线性相关；④样本相关系数r∈(－∞，＋∞)．
①②③　[在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|≤1，故④错误，①②③均正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图3是对用药与不用药，感冒已好与未好进行统计的等高条形图．若此次统计中，用药的患者是70人，不用药的患者是40人，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“感冒已好与用药有关”？
图3
[解]　根据题中的等高条形图，可得在用药的患者中感冒已好的人数为70×＝56，在不用药的患者中感冒已好的人数为40×＝12.
2×2列联表如下：
感冒已好
感冒未好
总计
用药
56
14
70
不用药
12
28
40
总计
68
42
110
根据表中数据，得到
k＝≈26.96>10.828.
因此，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为感冒已好与用药有关系．
18．(本小题满分12分)如图4是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
图4
注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
[解]　(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
19．(本小题满分12分)某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
不经常参加体育锻炼
15
总计
100
(1)完成上表；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
[解]　(1)填写列联表如下：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
35
75
不经常参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
(2)由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈1.333<3.841.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．
20．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定坐标系(如图5)中画出表中数据的散点图；
图5
(2)求y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试预测加工10个零件需要的时间.

[解]　(1)散点图如图所示：
(2)由表中数据得＝3.5，＝3.5，
(xi－)(yi－)＝3.5，(xi－)2＝5，
由公式计算得＝0.7，＝－＝1.05，
所以所求线性回归方程为＝0.7x＋1.05.
(3)当x＝10时，＝0.7×10＋1.05＝8.05，
所以预测加工10个零件需要8.05小时．
21．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的如图6所示散点图及一些统计量的值．
图6
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·(yi－)
(wi－)·(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
[解]　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
22．(本小题满分12分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图7是乙流水线样本频率分布直方图。
表1　甲流水线样本频数分布表
产品质量/克
频数
(490,495]
6
(495,500]
8
(500,505]
14
(505,510]
8
(510,515]
4
图7　乙流水线样本频率分布直方图
(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；
(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；
(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．
[解]　(1)甲流水线样本频率分布直方图如下：
(2)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为＝0.75，乙样本合格品的频率为＝0.9，
据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75.
从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.
(3)2×2列联表如下：
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
a＝30
b＝36
66
不合格品
c＝10
d＝4
14
总计
40
40
n＝80
因为K2的观测值
k＝＝≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．