2018年秋新课堂高中数学人教A版选修2-2练习：章末综合测评1 导数及其应用

章末综合测评(一)　导数及其应用
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列求导运算正确的是(　　)
A．(cos x)′＝sin x B．′＝cos
C．′＝－ D．′＝
D　[A错误，(cos x)′＝－sin x；B错误；′＝0；C错误；′＝－；D正确．]
2．如果物体的运动方程为s＝＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是(　　)
A.米/秒 B.米/秒
C.米/秒 D.米/秒
A　[∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2.
故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)＝－＋2＝.]
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
A　[∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]
4．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0 B．2
C．1 D．－1
A　[∵f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，
∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，
∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，∴f′(1)＝0.]
5．函数f(x)＝x·e－x的一个单调递增区间是(　　)
A．[－1,0] B．[2,8]
C．[1,2] D．[0,2]
A　[f(x)＝x·e－x，则f′(x)＝＝，
令f′(x)＞0，得x＜1，故增区间为(－∞，1)，
又因为[－1,0]?(－∞，1)，故选A.]
6．函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为(　　)
A．[0，e] B．(0，e)
C．[0，e) D．(0，e]
A　[f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0.
∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.]
7．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s)做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是(　　)
A．31 m B．36 m
C．38 m D．40 m
B　[S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)．]
8．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
C　[f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.]
9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图1所示，若|x1|＞|x2|，则有(　　)
图1
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＞0，b＜0
B　[∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋1有两个零点x1，x2，且|x1|＞|x2|，
由图可知x1＋x2＝－＜0，且x1是极小值点，∴a＜0，b＜0.]
10．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
A　[f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
令f′(x)＝0，
得x＝－2或x＝1，
当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0，
当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，
则f(x)极小值为f(1)＝－1.]
11．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D　[f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．]
12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
A　[当x＞0时，令F(x)＝，则F′(x)＝＜0，
∴当x＞0时，
F(x)＝为减函数．
∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.
在区间(0,1)上，F(x)＞0；在(1，＋∞)上，F(x)＜0.
即当0＜x＜1时，f(x)＞0；
当x＞1时，f(x)＜0.
又f(x)为奇函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f(x)＜0.
综上可知，f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13． (3x＋sin x)dx＝__________.
[解析]　
＝－(0－cos 0)＝＋1.
[答案]　＋1
14．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
[解析]　设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝2，
∴点P的坐标为(－ln 2,2)．
[答案]　(－ln 2,2)
15．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．
[解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2[答案]　(－2,2)
16．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高分别为________时，其体积最大.
[解析]　设长、宽、高分别2x，x，h，则4(2x＋x＋h)＝18，h＝－3x，∴V＝2x·x·h＝2x2＝－6x3＋9x2，由V′＝0得x＝1或x＝0(舍去)．
∴x＝1是函数V在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故长、宽、高分别为2 cm,1 cm， cm时，体积最大．
[答案]　2　1　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)，求函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积．
[解]　根据题意，得到
f(x)＝，
从而得到y＝xf(x)＝
所以围成的面积为S＝ (－2x2＋2x)dx
＝.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
[解]　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性.
[解]　f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
(1)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞－，则ln(－2a)＜1，
故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．
③若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)[解]　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈[0,1)时，f′(x)>0；
当x∈[1,2]时，f′(x)<0；
当x∈(2,3]时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)所以9＋8c9.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
21．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
22．(本小题满分12分)抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值.
[解]　由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－，
所以S＝， ①
又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式Δ＝0，
即(b＋1)2＋16a＝0.
于是a＝－(b＋1)2，代入①式得：
S(b)＝(b>0)，S′(b)＝；
令S′(b)＝0，得b＝3，且当00；
当b>3时，S′(b)<0.
故在b＝3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，
且Smax＝.